1.1　工作原理

图1.1展示了科赫雪花是什么样的。其左、右两部分的形状与中间那部分完全相同，只是规模更小。同理，中间那部分本身是由形状与其相同但规模更小的部分组成的。这就是分形的自相似重复特征。

只要知道如何计算构成科赫雪花的基本形状中的各个点，便可开发一种算法来递归地执行相同的计算，从而绘制出越来越小的基本形状，构建出科赫雪花这种分形。本节将首先概述递归的工作原理，然后研究如何利用递归、一些线性代数知识和Python模块turtle来绘制科赫雪花。

1.1.1　使用递归

为对递归的工作原理有所认识，下面来看一个简单的递归算法：计算阶乘。阶乘可使用下面的函数定义：

f ( N )=1×2×3×…×( N −1)× N

换而言之， N 的阶乘就是整数1～ N 的乘积。对于上面的函数，可改写成下面这样：

f ( N )= N ×( N −1)×…×3×2×1

并进一步改写为下面这样：

f ( N )= N × f ( N −1)

上面使用 f 本身定义了 f 的阶乘，这就是递归。调用 f ( N )将导致调用 f ( N −1)，进而导致调用 f ( N −2)，以此类推。然而，在什么情况下停止递归呢？为此，需要将 f (1)定义为1，为递归指定终点。

下面演示如何使用Python来实现递归的阶乘函数：

def factorial(N):
❶   if N == 1:
        return 1
    else:
      ❷ return N * factorial(N- 1)

在❶处，处理了N为1的情形——直接返回1；在❷处，实现了递归调用：调用函数factorial()，并传入参数N−1。这个函数将不断调用自身，直到N为1。这样做的效果是，当这个函数返回时，就计算出了整数1～N的乘积。

一般而言，实现使用递归的算法时应采取如下步骤。

1．定义一个基线条件（base case）。满足基线条件时，递归将终止。阶乘的基线条件是factorial(1)=1。

2．定义递归步骤。为此，需要考虑如何将算法表示为递归过程。在有些算法中，可能需要执行多次递归调用（稍后将介绍）。

解决可分解为其小型版本的问题时，递归是一个很有用的工具。可用于阶乘算法，也可用于科赫雪花的绘制。然而，递归并非总是效率最高的问题解决方式，在有些情况下，合理的选择是以循环的方式重新实现递归算法。但相比于循环实现，递归算法通常更紧凑、更优雅。

1.1.2　构建科赫雪花

下面来看看如何构建科赫雪花。图1.2展示了用于绘制科赫雪花的基本图案，以下称之为片段（flake）。这个片段基于长度为 d 的线段 AB ，该线段被分为等长的3部分（ AP ₁ 、 P ₁ P ₃ 和 P ₃ B ），其中每部分的长度都为 r 。 P ₁ 并非直接连接到 P ₃ ，而是经由 P ₂ 连接到 P ₃ 。 P ₂ 是这样确定的： P ₁ 、 P ₂ 和 P ₃ 构成一个边长为 r 、高为 h 的等边三角形。点 C 为 P ₁ 和 P ₃ 之间的中点，它位于 P ₂ 的正下方，因此 AB 和 CP ₂ 是垂直的。

明白如何确定图1.2所示的各点后，就可递归地绘制越来越小的片段，从而构建出科赫雪花。大致而言，目标如下：给定点 A 和点 B ，需要计算点 P ₁ 、 P ₂ 和 P ₃ 的坐标，并像图1.2那样将它们连接起来。要计算这些坐标，需要使用一些线性代数知识，线性代数是数学的一个分支，能够根据向量计算距离以及确定点的坐标。所谓向量，指的是有长度和方向的量。

下面介绍一个简单的线性代数公式，后面将用到它。给定三维空间中的点 A 和单位向量 n （单位向量是长度为1的向量），要计算从点 A 出发沿这个单位向量移动距离 d 到达的点 B 的坐标，可使用下面的公式：

B = A + d × n

可通过示例轻松地验证这一点。假设点 A 的坐标为(5, 0, 0)，单位向量 n 为(0, 1, 0)，从点 A 出发沿这个单位向量移动10个单位到达点 B ，那么点 B 的坐标是多少呢？使用刚才的公式，可得到如下结果：

B =(5, 0, 0)+10×(0, 1, 0)=(5, 10, 0)

换而言之，要从点 A 到点 B ，需要沿 y 轴的正方向移动10个单位。

下面介绍另一个技巧，即垂直向量计算技巧（perpendicular vector trick）。假设有向量 A = ( a , b )，如果有另一个向量 B ，它与向量 A 垂直，那么可将它表示为向量 B = (− b , a )。要验证这个关系，可计算 A 和 B 的点积。要计算两个二维向量的点积，可将两个向量的第一个分量相乘，并将第二个分量相乘，再将这两个乘积相加。在这里， A 和 B 的点积如下：

两个向量垂直时，它们的点积为0，因此 B 确实垂直于 A 。

掌握这些线性代数知识后，回过头来看图1.2所示的片段。给定点 A 和点 B 的坐标，如何计算点 P ₂ 的坐标呢？要到达点 P ₂ ，可从点 C 出发，沿单位向量 n 移动距离 h 。根据前面的第一个线性代数公式可知：

下面来将变量代入公式。点 C 为线段 AB 的中点，因此 C =( A + B ) / 2。其次， h 为边长为 r 的等边三角形的高。根据勾股定理可知：

在这里， r 为点 A 到点 B 的距离的三分之一。如果点 A 的坐标为( x ₁ , y ₁ )，点 B 的坐标为( x ₂ , y ₂ )，可使用下面的公式计算它们之间的距离：

只需将这个公式的结果除以3，就可得到 r 的值。

最后，需要将向量 n 表示出来。假设 n 与向量 垂直，而向量 可表示为点 B 的坐标减去点 A 的坐标：

向量 的长度 。现在利用前面的垂直向量计算技巧，使用 A 和 B 来表示 n ：

接下来需要计算 P ₁ 和 P ₃ 的坐标，为此需要用到另一个线性代数公式。假设有线段 AB ，而点 C 位于这条线段上；同时假设 a 为 A 到 C 的距离，而 b 为 B 到 C 的距离。可使用下面的公式来计算点 C 的坐标：

要明白这个公式，可假设点 C 为线段 AB 的中点，此时 a 和 b 相等。在这种情况下，凭直觉就能知道 C 的坐标应该为( A+B ) / 2。在上面的公式中，将所有的 b 都替换为 a ，结果如下：

有了这个新公式后，就可计算 P ₁ 和 P ₃ 的坐标了。这两个点将线段 AB 三等分，这意味着 P ₁ 到 B 的距离为 P ₁ 到 A 的距离的两倍（即 b ₁ =2 a ₁ ）， P ₃ 到 A 的距离为 P ₃ 到 B 的距离的两倍（即 a ₃ =2 b ₃ ）。将这些值代入前面的公式，可得到如下计算 P ₁ 和 P ₃ 坐标的公式：

至此，就获得了绘制科赫雪花分形的第1层级所需的一切：给定点 A 和点 B ，然后通过计算确定点 P ₁ 、 P ₂ 和 P ₃ 。在这个分形的第2层级，将第1层级中片段内的每条线段（如图1.2所示）替换为更小的片段，结果如图1.3所示。

注意，对于图1.2所示的4条线段（ AP ₁ 、 P ₁ P ₂ 、 P ₂ P ₃ 和 P ₃ B ），以每条线段为基础构建了一个新片段。在绘制科赫雪花的程序中，将把每条线段的端点（如 A 和 P ₁ ）作为新片段的 A 和 B 的值，并递归地执行生成图1.2所示点的计算。

在分形的每个层级，都将再次对片段进行替换，从而绘制出越来越小的自相似图形。这就是科赫雪花绘制算法中的递归步骤，此后不断地重复这个步骤，直到满足基线条件。基线条件应该为线段 AB 的长度小于特定的阈值，如10像素。到达这个阈值后，将只绘制线段，而不再递归。

为让最终绘制出的科赫雪花更漂亮，可在分形的第1步绘制3个相连的片段，这样结果将更像雪花，呈六角对称，如图1.4所示。

知道如何计算绘制科赫雪花所需的坐标后，下面来看看如何在Python中使用这些坐标来绘制图形。

1.1.3　使用海龟绘图法绘图

为绘制科赫雪花，本章将使用Python模块turtle，这是一款简单的绘图程序，以海龟在沙滩上拖着尾巴前行为模型，绘制出各种图案。模块turtle包含用于设置画笔（相当于海龟的尾巴）位置和颜色的方法，还有很多有助于绘图的函数。

只需使用几个绘图函数就可绘制出科赫雪花。实际上，从turtle的角度看，绘制科赫雪花几乎与绘制三角形一样简单。为证明这一点，并初步讲解turtle是如何工作的，下面的程序使用turtle绘制了一个三角形。请输入这些代码，将其保存为test_turtle.py文件，再在Python中运行它。

❶ import turtle
　
  def draw_triangle(x1, y1, x2, y2, x3, y3, t):
      #尝试绘制一个三角形
    ❷ t.up()
    ❸ t.setpos(x1, y1)
    ❹ t.down()
      t.setpos(x2, y2)
      t.setpos(x3, y3)
      t.setpos(x1, y1)
      t.up()
　
  def main():
      print('testing turtle graphics...')
　
    ❺ t = turtle.Turtle()
    ❻ t.hideturtle()
　
    ❼ draw_triangle(-100, 0, 0, -173.2, 100, 0, t)
　
    ❽ turtle.mainloop()
　
  # 调用main()函数
  if __name__ == '__main__':
      main()

首先，导入了模块turtle❶。接下来，定义了方法draw_triangle()，其参数为3对坐标（三角形的3个顶点），以及turtle对象t。在这个方法中，先调用了up()❷，让Python抬起画笔，换而言之，就是让画笔离开虚拟纸张，以免在移动海龟时进行绘画。开始绘画前，需要指定海龟的位置。调用函数setpos()❸将海龟的位置设置为第1对坐标对应的点。调用函数down()❹将画笔放下，因此每次调用setpos()时，都相当于将海龟移到了下一组坐标处，进而绘制出一条线段。最终的结果为一个三角形。

接下来，声明了函数main()，实际的绘画工作是由它来完成的。在这个函数中，创建了用于绘画的turtle对象❺，并将其隐藏起来❻。如果没有隐藏turtle对象，将在绘制的线段开头看到一个海龟的图案。接下来，为绘制三角形，调用了draw_triangle()，并将所需的坐标作为参数传递给它❼。调用函数mainloop()❽确保绘制三角形后不会关闭tkinter窗口（tkinter是Python默认使用的GUI库）。

图1.5显示了这个简单程序的输出。

有了完成本章项目所需的一切后，下面来绘制科赫雪花。 l8SPR/J72AsAhq4FTFZtALs+o6Nwd+sT65uRMvS5OVT6qtWy76+OSEsVNVuns0QB