03
数学，最重要的是什么

在你看来，在数学中最重要的是什么？你可能会认为是计算能力，或是读懂数学概念的能力。但我认为，在数学中最重要的是公理化。那么，什么是公理化呢？

公理化是一种方法，属于方法论的范畴，它指的是，在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一些不加证明的公理出发，用纯逻辑的方式来演绎出一套完整自洽的数学体系。

比如欧几里得的《几何原本》，它足以被称为数学史上的“名著”了，很多数学家就是从此书中发现了数学或科学的乐趣，比如法国数学家帕斯卡。爱因斯坦曾说：“如果欧几里得未能激发你少年时代的科学热情，那么你肯定不会是一个天才的科学家。”

除了《几何原本》，欧几里得也写过其他著作，比如《已知数》《纠错集》《圆锥曲线论》《曲面轨迹》与《观测天文学》等，但很遗憾的是，除了《几何原本》，其他的著作都丢失了，没有流传下来。就连欧几里得的生平记录，也不知道被丢到了哪里，因此关于他的一生，我们知之甚少，他和他的著作一起消失在了茫茫的历史之中。

在欧几里得的时代，古希腊人已经在数学上向前迈进了一大步，但大家都是“东一榔头西一棒子”地研究，在当时几乎所有的数学问题都与几何和数论有关。基于前人的研究，比如毕达哥拉斯和他的学生在数论上已经走出了一条康庄大道，又如柏拉图和亚里士多德师徒的逻辑思维也影响深远，大家心中对数学都有了一个基本的认知，即数学源于理性。

当时的数学界可谓是百家争鸣，大家都有自己的著作，但大多是杂乱无章的，每个数学家都是从自己的假设出发，不怎么考虑数学体系的一致性，甚至会出现互相矛盾的说法。

在这样的时代背景下，欧几里得出现了。尽管我们对欧几里得的生平了解不多，但根据后世的推测，他早年在雅典学习过，后来在托勒密国王的邀请下，去了古埃及的亚历山大里亚城。欧几里得整合前人的研究，建立了一套基于最少的假设与公理却自洽的数学体系。

《几何原本》共有13卷，其中包含了465个命题或定理，每个命题都不是凭空想象的，而是基于前面的命题，或称上一个定理。就像多米诺骨牌一样，一个定理只要确定了，就可以不断向前推进，推导其余的定理。

而其中最重要的，就是第一张骨牌。欧几里得共得出10条公理，其中前5条是一般性的公理，后5条则是假设，被称为公设，但现在我们也将其称为公理。

前5条一般性公理如下。

1.等于相同量的量，彼此相等。比如 a = b ， b = c ，则 a = c 。

2.如果等量加等量，和相等。比如 a = b ， c = d ，则 a + c =b+d。

3.如果等量减等量，差相等。比如 a = b ， c = d ，则 a-c = b-d 。

4.彼此重合的物体是全等的。

5.整体大于部分。

这5条一般性公理非常简单，一目了然。

这正是一切研究的前提。只有把前提弄明白，接下来才能稳步向前。数学从来没有想当然的事情，一切推理过程都有根据。但这会带来一个问题，即向前推进到某一步，我们会遇到无法再向前推进的情况。这个时候，对于那些实在找不到根据，但在多次验证之下，又找不到任何反例的情况，我们就将其称为公理。

需要明白的是，公理不是证明出来的，而是人类定义出来的，而根据公理推导出来的结论，我们将其称为定理。

公理有着天然的缺陷，即无法证明，因此，公理显然是越少越好，越简单明了越好，否则根据这些公理延伸出来的数学世界，很容易出现自相矛盾的情况。

欧几里得的前5条一般性公理是显而易见的，但后面5条公设则不那么明显，尤其是第五条，我们一起来看看（欧几里得公理仅限于平面几何）。

1.从任意点到另一点仅可作一条直线。

2.任意有限直线可沿直线无限延长。

3.给定任两点，可以一点为圆心，以到另一点的距离为半径作圆。

4.所有直角都彼此相等。

5.给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

相对来说，前面4条公设还算显而易见，第五条则显得有些奇怪，看上去似乎并不是那么明显。后世对于第五条公设的解说也多种多样，也有很多人换了一种表达方式来阐述这条公设。到了高斯的时代，有很多人对这条公设提出了质疑，高斯本人也做过一些假设。

我们可以做一个实验，假设有3根筷子，或者3根牙签。牙签a平放在桌子上，牙签b与牙签a保持垂直，垂直放在桌子上，牙签a与牙签c不在一个平面内，牙签c向下倾斜与牙签b相交，牙签b与牙签c的夹角小于90°。牙签b与牙签a的夹角等于90°，而牙签b与牙签c的夹角明显小于90°，两个夹角加起来小于两个直角的和，也就是小于180°。那么问题来了，如果牙签a与牙签c无限延伸下去，它俩不会相交。

在平面内，第五条公设是成立的，但它看上去多少有些不对劲，一直让数学家们感到困惑。后人在第五条公设的基础上，开创了非欧几何，罗巴切夫斯基和黎曼成了非欧几何的奠基人。

需要注意的是，非欧几何是对欧几里得几何中的第五条公设进行否定而产生的一种几何体系。欧几里得的第五条公设是关于平行线的公设，即过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。然而，在非欧几何中，存在多种不同的平行公设，与欧几里得的第五条公设相矛盾。非欧几何通过否定欧几里得的第五条公设，构建了一套与欧几里得几何完全不同的几何体系。

欧几里得几何与非欧几何是两套不同的体系，这就是说，欧几里得几何并不完美，它仅适用于平面几何，一旦到了立体空间中，欧几里得几何就不再适用了。

既然欧几里得开创的这套几何体系并不完美，那《几何原本》还有什么用呢？它并不是放之四海而皆准的一套理论，科技在发展，时代在进步，人们对数学的理解与认识也在不断提升，《几何原本》是否应该继续享有世人的崇敬呢？

我的回答是：“应该！”

欧几里得的《几何原本》不仅包含数学上的讨论，还提供了一套方法论上的范式——它在教人们怎么思考！

毫不夸张地讲，欧几里得在《几何原本》中教你如何用逻辑思考事情，如何从最基本的几个公理出发，一步步建立一个复杂的理论。每一个新的事物，都可以从原有的事物中找到关联。

现在我们遇到一些人，会告诉他，不要信口开河，不要胡言乱语，说话要有根据、讲证据。这一现代社会的共识，或多或少源于欧几里得的《几何原本》。

据说，在19世纪的耶鲁大学，大二的学生们在完成数学课程后，会举行一场仪式，这场仪式被称为“埋葬欧几里得”。在仪式的某个节点，班上的每个同学依次用一根烧得通红的铁棒刺穿欧几里得的书本，以象征他已掌握了欧几里得几何学知识。接下来，每个人会轮流拿起这本书在手中停留一会儿，表示他已读懂了欧几里得几何学知识。最后每个人都把书本放在脚下跨过去，表示他可以把欧几里得几何学知识抛到九霄云外了。

数学史家埃里克·坦普尔·贝尔曾说：“欧几里得教导我，没有假设就没有证明。因此，在任何论证中，都要先检查其假设。”

在进行证明时，必须明确列出所有假设，并在证明过程中使用这些假设。这样可以确保证明的正确性和严谨性。如果一个假设不成立，那么相应的结论也就无法得出。因此，在进行任何论证或证明时，都应该仔细检查和验证自己所依赖的假设是否成立，以确保推理的准确性和可靠性。这一原则也广泛应用于数学和科学领域的推理和证明过程中。

如今，大部分从事科学研究的人，都将公理化视为必不可少的数学方法。若是人类至今还未掌握公理化这个数学方法，科学的发展可能也是“东一榔头西一棒子”，无法形成系统又自洽的体系，可能时至今日，我们每天都还在重新发明轮子吧！ KCUuXcq1nbCrb2HW3fzGsW1Vaw7tWCPFYzJ98uROyrpbHTuakQluck6PVid9UCFg