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在文艺复兴时期，曾经流传过一句话：“不懂数学，就不配成为一名画家”。这句话虽然有些夸张，但也反映了当时人们对数学的重视。这句话也与我们熟知的古希腊柏拉图学园门口挂的那句“不懂几何者，不得入内”有些相似。
波兰克拉科夫市恰尔托雷斯基博物馆里收藏着一幅达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（见图1-1）。
图1-1 《抱银鼠的女子》
女子手上抱着的小动物，乍看之下像一只白鼬，但实际上是一只银鼠。整幅画看上去并没有什么奇特的地方，似乎只是一幅人物肖像画，然而在这幅画的背后，却埋藏着一段数学往事。
在达·芬奇创作《抱银鼠的女子》这幅画时，他的脑海中闪现了一个疑问：女子脖颈上佩戴的项链应该如何描绘才能使其看起来是自然下垂的呢？要表现出这种自然下垂的曲线，又该采用什么样的手法和技巧呢？
这个问题看似简单，甚至有些无厘头，但实际上它背后藏着一个极为强大的数学工具——微积分。微积分可以帮助我们更好地理解和描绘物体的运动轨迹。然而，虽然达·芬奇非常聪明，但他对这个问题束手无策，在达·芬奇生活的年代，还没有微积分这个数学工具。
100多年后，伽利略也曾思考过这个问题。他认为这条曲线应该类似于开口向上的抛物线，但实际上是否如此，他也说不准。他只是根据自己的直觉和观察进行了猜测，并没有进行严密的证明。
又过了几十年，来自荷兰的数学家兼物理学家惠更斯将对这个问题的研究又向前推进了一步，不过他只是证明了伽利略的猜测是错的，这条曲线不是开口向上的抛物线，仅此而已。至于这条曲线究竟是什么，他也不知道。
在17至18世纪的瑞士，出现了一个在数学上取得非凡成就的家族——伯努利家族（见图1-2）。根据科学史上的统计数据，有超过100个姓氏为伯努利的人从事了与科学或文化研究相关的工作。伯努利家族在数学领域的地位堪比巴赫家族之于音乐。
令人惊叹的是，在伯努利家族三代人中，竟然出现了8位杰出的数学家。这些数学家的成就不仅是他们个人的荣誉，也是这个家族的骄傲。而这个家族中被称为数学家的人，更是多如繁星。
图1-2 伯努利家族主要族谱
伯努利家族曾有一段流浪的日子，这一家人先是来到了法兰克福——德国的一座重要城市。在这里，他们得以暂时安居，为未来的生活打下基础。后来，他们决定离开法兰克福，前往瑞士的巴塞尔寻求庇护。
在巴塞尔，他们终于找到了一个可以安定下来的地方，有了一个属于自己的新家园。在这个新家园里，伯努利家族的成员们继续发扬他们的智慧，培养出更多杰出的人才。这些人才在数学领域取得了举世瞩目的成就，也使得伯努利家族成为一个数学世家。
雅各布·伯努利和约翰·伯努利是伯努利家族的第一代，两兄弟对待数学问题的态度都非常认真。然而，虽然在学术上有着共同的热爱和追求，但可能是出于对彼此的嫉妒，也可能是想要在学术上争夺一个高低，他们常常因各种问题发生争论。这两兄弟的年龄相差13岁，这种年龄差对他们的关系也可能产生了一定的影响。
在弟弟约翰还是个孩子的时候，哥哥雅各布就一直在公开场合宣称自己是弟弟的老师。这种行为虽然在一定程度上体现了他对弟弟的关心和照顾，但也可能让弟弟感到压力和困扰。当约翰长大后，他发现自己无法忍受在哥哥的光环下的生活，于是他选择了离开，转而跟随另一位大数学家莱布尼茨学习。
当时，达·芬奇遗留下来的“项链下垂曲线问题”在数学界广为流传，这个问题的复杂性和独特性使它成为数学家们研究的重点，甚至多次引发激烈的辩论。然而，虽然大家花费了大量的时间和精力去研究和探讨这个问题，但始终无法找到一个满意的答案。这个问题在当时的数学界曾一度被誉为“无解的难题”。
在这个问题上，雅各布·伯努利展现了他的卓越才智。当时，他是一位在数学界已经有一定影响力的学者，因此他决定发布一个悬赏令，希望能够吸引更多数学家来解答这个问题。
在悬赏令发布后，雅各布收到了大量来信，其中大部分来信中的答案都是错误的，它们或是基于猜测的解答，或是证明过程存在严重错误。
在这些来信中，有3封来信给出了正确的答案。一封来自莱布尼茨，他是一位在数学界享有崇高声誉的数学家；一封来自惠更斯，他是科学史上最伟大的科学家之一；还有一封来自他的弟弟约翰·伯努利，虽然他在数学上的造诣并不深厚（至少在哥哥雅各布看来并不深厚），但他的答案却让雅各布大为惊喜。
实际上，这个问题涉及“双曲余弦函数”这一数学概念，它也被人们称为“悬链线”。这个数学概念在科学领域和工程领域都有广泛应用，如今，任何一个在大学攻读理工科的学生，都会很快接触并了解它。
这个“双曲余弦函数”的图像是一个具有特殊性质的曲线，其标准方程为：
。
在这个方程中， a 是一个常数，是曲线顶点到横坐标轴的距离。这意味着，当 x 等于0时， y 的值等于 a ；而当 x 增加或减少时， y 的值也会按照相同的规律变化。这种变化模式使得这个函数的图像看起来像一个倒挂的双曲线。
通过这段故事，你可能已经发现每一个伟大数学发现的背后，都隐藏着一段引人入胜的故事。这些故事不仅揭示了数学的奥秘，也展示了数学与我们日常生活之间的紧密联系。在很多领域，我们都可以看到数学的影子，它无处不在，无时不在。
数学，不只是学校里的计算与答题，更是一种思维方式，一种有用的工具。
它的强大与魅力，远超我们的想象。