01
数学是真实存在的吗

你们班有多少名同学呢？

可能有三十几名，也有可能有四十几名，总之，你们班的学生人数——加上你，肯定是一个具体的数。

但是，假设你们班里共有43名同学，你有没有想过，“43”是真实存在的吗？

进一步说，当我们说“这里有4个苹果”或“那里有5个人”的时候，我们究竟在说什么？

这里的“4个苹果”和“5个人”似乎并不具有实际意义，因为它们并不指代具体的个体。它们更像一种抽象的表达方式，用来描述某种数量关系或者特征。

因此，有些人认为数学世界是抽象的。比如，著名的认知语言学专家乔治·拉科夫，曾在2000年与心理学家拉斐尔·努涅斯合著了一本名为《数学从何而来》的书。书中的观点认为，数学是人类大脑的产物，数学不过是我们头脑中的一种思维模式，并不是客观存在的。正如尤瓦尔·赫拉利在《人类简史》中提到的，很多我们以为真实存在的东西，其实都是想象的共同体，比如国家、政府与货币，等等。按照乔治·拉科夫的观点，数学也可以被认为是想象的共同体。

然而，大部分人还是认为数学是真实存在的，持这一观点的人包括古希腊时期的柏拉图。

同样是古希腊时期的数学家，毕达哥拉斯坚信，数学是构成世界的基石，他将人类的理性知识推向了前所未有的高度。数学以其确定性的证明过程，成为知识的典范。在文艺复兴时期的伽利略等科学家的眼中，数学如同一把打开世界之谜的钥匙，或者说一种知识的密码。然而，引人深思的是，数学并非来自自然界，自然界中并没有任何数的存在，虽然我们将“0、1、2、3…”称为自然数，但这只是因为在人类的早期历史中，我们很容易就能得出这些概念。数学表面上是由人类创造出来的抽象的数字、图形和符号组成的，但它真的只是人类得出的概念吗？如果数学真的只是人类得出的概念，那么为什么人类通过数学计算而不是直接观察来发现自然界的事物呢？

如果我们有机会回顾一下人类的发展史，我们就会发现，对人类来讲，最先认识的数必然是自然数，比如早期社会，我们需要对一些事物的数量进行标示，比如1个苹果，2只羊，3个敌人等。使用自然数标示是最直接的方法，也是最简单的方法，但其背后的数是抽象的，比如1、2、3等。

再后来，随着人类认知的发展，人类对于数的理解也越来越抽象，由此诞生了分数、负数，这些数被称为有理数，与无理数并称为实数。在人类认知继续发展的过程中，实数不能满足人类需求，于是出现了虚数，实数与虚数统称为复数。

从柏拉图主义者的视角来看，数学并不是人类的发明，而是独立于人类之外的存在。比如，我们定义“1+1=2”，可能某一天我们遇见了外星人，他们定义“1+1=3”，这些都不是问题，其本质是一样的，只不过表达形式可能会因文明的不同而有所不同。正如我们中国人将苹果称为“苹果”，英国人将苹果称为“apple”，法国人将苹果称为“la pomme”，虽然叫法不一样，但它所指代的东西却是一样的。

证实了电磁波存在的海因里希·鲁道夫·赫兹曾经说：“一个人总是不能摆脱这种感觉，这些数学公式是独立的存在，而且拥有它们自己的智慧。它们比我们更聪明，甚至比它们的发现者更聪明，我们从中得到的比最初放进去的还要多。”这或许暗示了数学可能就是游离在人类思想之外的真实存在，如果存在是没有任何物质实体的抽象的存在，那么存在这个词的意义又是什么呢？

好了，我决定就此打住，再这样说下去，我们就会陷入无休止的形而上学之中。

至于数学是存在于我们头脑中的一种思维方式还是独立于我们头脑的客观存在，到目前为止，没有任何人可以给出一个确定的答案。但是，我们人类的文明是在不断发展的，各种概念与定义也在不断完善。

不过，若真想从中得出一个结论，我希望，你们能够认为数学是客观存在的。只有这样，我们才能立足于数学，不断提升我们对数学的理解和认识。 2o3KQ53VClRpyFUZvh7gAaxVUdtbPaV4v9jCHajZnBNBBtLRjL9Jv8QGyphgY0cN