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1986的诺贝尔物理学奖由Gerd Binnig和Heinrich Rohrer分享，以表彰他们在设计 扫描隧道显微镜 （scanning tunneling microscope）方面的贡献。该仪器的思路是，让原子量级的尖头极其靠近一个导电的表面，从而产生隧道效应。让尖头在样品上移动，并测量出隧道电流随尖头位置的变化，就可以得到一副图像。这项发明激发了一系列仪器的开发，它们容许在纳米尺度上显示表面结构的图像。其中之一是 原子力显微镜 （atomic force microscope，AFM），它利用一个悬臂上的尖头来检测样品。AFM有两种运行模式。在 轻敲模式 （tapping mode）中，悬臂是振动的，振动的幅度由反馈进行控制。在 接触模式 （contact mode）中，悬臂与样品接触，其弯曲程度由反馈进行控制。在两种情况下，控制都由压电元件来执行，这个压电元件控制着悬臂基（或样品）的垂直位置。控制的设计对图像质量和扫描速度有着直接的影响。
图4.14a所示的是原子力显微镜的原理示意图。一个微型悬臂，其上有一个直径为10nm数量级的尖头，靠近样品放置。依靠压电驱动器，尖头可以进行垂直和水平移动。尖头将因受到范德华吸力和泡利斥力而被钳制在样品的表面。悬臂的倾斜度取决于样品表面的形态结构以及悬臂基所处的位置，后者由压电元件控制。利用光电二极管检测激光束的偏转，可以测量出悬臂的倾斜度。来自光电二极管的信号被放大，再送往控制器，去驱动放大器，以控制悬臂的垂直位置（ z ）。控制压电元件，以使悬臂的偏转恒定，此时，使压电元件产生垂直偏移的信号表征了悬臂尖头与样品原子之间的原子力大小。让悬臂沿着样品表面扫描，就可以得到样品表面的图像。图像的解析度很高，有可能让人们在原子水平上看到样品的结构，图4.14b就是DNA的AFM图像。
图4.14 原子力显微镜（AFM）。图a为AFM的原理示意图，它有一个压电扫描器，在AFM尖头的下方扫描样品；悬臂反射激光，控制器根据反射的激光来控制 z 向的移动量，从而获得尖头的侦测结果。图b是DNA的AFM图像（该图像获Veeco仪器公司授权使用）
AFM的水平运动通常建模为欠阻尼的弹簧-质量系统，垂直运动则较为复杂。为了对该系统建模，先看图4.15所示的原理框图。其中容易获得的信号包括：（驱动压电元件的）功率放大器的输入电压 u ，施加在压电元件上的电压 v ，以及光电二极管信号经放大后的输出电压 y 。控制器为由计算机实现的PI控制器，由模数转换器（A/D）和数模转换器（D/A）连接到系统。图中还标出了悬臂的偏转角 φ 。期望的偏转参考值是通过计算机输入的。
图4.15 接触模式下原子力显微镜悬臂垂直定位系统的原理框图。控制系统力求保持悬臂的偏转值等于给定的参考值。悬臂的实际偏转值被测量、放大并转换成数字信号后，与参考值比较。然后计算机产生校正信号，被转换成模拟形式，再放大并送往压电元件
垂直定位有好几种不同的配置，其动态特性也不相同。这里讨论文献[217]介绍的一种高性能系统，其悬臂基采用压电堆来进行垂直定位。从该系统的一个简单实验开始建模。图4.16a给出了驱动器从功率放大器输入电压 u 到光电二极管信号放大器的输出电压 y 的阶跃响应曲线。该曲线捕获了图4.15的框图中从 u 到 y 的一串方块的动态。图4.16a表明，该系统的响应很快，但存在周期约为35 μ s、阻尼很弱的振荡模态。建模的首要任务是理解该振荡行为的根源，因此需要研究系统的更多细节。
夹紧的悬臂的自然振荡频率通常是几千赫兹，这远高于观测到的30kHz的振荡。作为一阶近似，按静态系统来建模。由于偏转很小，假定悬臂的偏转角 φ 正比于悬臂上探针尖头与压电驱动器之间的高度差。若将悬臂建模为第3章讨论的弹簧-质量系统，则可以得到更精确的模型。
图4.16a也表明功率放大器的响应很快。光电二极管和信号放大器也具有快速的响应，因此也可以建模为静态系统。剩下的模块是带悬架的压电系统。图4.16b为驱动器垂直运动的力学模型示意图。将该系统建模为由一个理想压电元件分隔的两个质量块。质量 m 1 等于压电系统质量的一半，质量 m 2 等于压电系统的另一半质量加上支撑物的质量。
图4.16 原子力显微镜的建模。图a为测得的阶跃响应：上方的曲线是施加在驱动放大器上的电压 u （50mV/格），中间的曲线是功率放大器的输出电压 V p （500mV/格），下方的曲线是信号放大器的输出 y （500mV/格）；时标是25 μ s/格（数据由Georg Schitter提供）。图b是垂直定位器与压电晶体的简单力学模型
假设压电晶体在两个质量块间产生的力为 F ，弹簧的阻尼为 c 2 ，可以得到一个简单的模型。令质量块中心的位置分别为 z 1 和 z 2 ，由力的平衡可以得到以下的系统模型：
将压电元件的伸长量 l = z 1 -z 2 设为控制变量，将悬臂基的高度 z 1 设为输出。消除上式中的 F ，并用 z 1 -l 来代换 z 2 ，可以得到以下模型：
综上所述，压电部分用式（4.24）来建模，其余部分采用静态模型，就得到了系统的一个简单模型。引入线性方程 l = k 3 u 及 y = k 4 z 1 ，就得到一个将输出 y 与控制信号 u 联系在一起的完整模型。通过引入悬臂及功率放大器的动态，可以得到更精确的模型。跟前面的例子一样，图3.5b的不确定性柠檬图的概念为描述本系统的不确定性提供了一个框架：在所建模型的最快模式的频率以下并且可以使用线性化刚度模型的运动范围内，该模型是精确的。
图4.16a的实验结果可定性解释如下。当电压施加到压电元件上时，其膨胀量为 l 0 ， m 1 立即往上运动， m 2 立即往下运动。在经过一个欠阻尼振荡过程之后，系统就稳定下来。
设计一个垂直运动控制系统来提供快速的响应和小的振荡是非常必要的。仪器设计者有几种选择：要么接受振荡及响应时间缓慢的现状；要么设计一个控制系统来对振荡起阻尼作用；要么重新设计有关机构，使其具有较高的谐振频率。后面的两个选择能够获得较快的响应和较快的成像速度。
由于系统的动态行为随样品的性质而变化，因此对反馈环进行参数整定是必要的。在简单的系统中，目前的方法是手工调整PI控制器的参数。通过引入自整定及自适应功能，可使AFM系统更易于使用。
文献[214]覆盖了原子力显微镜的方方面面。靠近表面的原子间的相互作用问题在固体物理学中是很基础的知识，感兴趣的读者可以参考文献[147]。本节讨论的模型主要基于文献[216]。