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自行车是一个有趣的动态系统，它有一个重要特征，就是它通过前叉的设计引入了反馈机制。自行车的详细建模是件很复杂的事情，因为它不仅有很多个自由度，而且几何形状复杂。不过只需用一个简单模型即可深入理解其中的机理。
为了推导其运动方程，假定自行车在水平面上滚动。引入如图4.5a和图4.5b所示的坐标系，它固定在自行车上，其 ξ 轴通过车轮与地面的两个接触点， η 轴沿着水平方向， ζ 轴沿着垂直地面的方向。令 v 0 为自行车后轮的速度， b 为车架的轴距， φ 为侧倾角， δ 为转向角。坐标系以角速度 ω = v 0 δ / b 绕 O 点旋转，固定在自行车上的观测者将体验到因坐标系运动引起的力。
自行车的侧倾运动类似于倒摆的运动，如图4.5b的后视图所示。为了对侧倾运动进行建模，考虑车轮、骑车者及前叉全部固定在车架上所得的刚体结构。令 m 为系统的总质量， J 为刚体相对 ξ 轴的转动惯量， D 为相对于 ξ 轴和 ζ 轴的惯性积。此外，令质心相对于后轮触地点 P 1 的 ξ 、 ζ 坐标分别为 a 和 h 。可得 J ≈ mh 2 、 D = mah 。作用在系统上的转矩是由重力及向心作用引起的。假定转向角 δ 很小，则运动方程变为：
式中，
mgh
sin
φ
项是重力引起的转矩；包含
δ
或其导数的项是转向产生的转矩，其中（
Dv
0
/
b
）d
δ
/d
t
项由惯性力引起，
项由向心力引起。
转向角受骑手施加于车把上的转矩的影响。由于转向轴的倾斜以及前叉形状的特殊性，前轮与地面的接触点 P 2 落在前叉总成旋转轴的后面，如图4.5c所示。前轮接触点 P 2 到前叉总成旋转轴投射点 P 3 间的距离称作 伸距 （trail）。自行车的转向性能严重依赖伸距。较大的伸距可以增大稳定性，但会降低转向的灵活性。
图4.5 自行车原理示意图。转向角为 δ ，侧倾角为 φ ；质心的高为 h ，质心和后轮触地点 P 1 之间的水平距离为 a ；轮距 b 是点 P 1 和点 P 2 间的距离，伸距 c 为点 P 2 和点 P 3 间的距离
采用前叉设计的自行车，其转向角 δ 会受转向转矩 T 和车架侧倾角 φ 的影响。这意味着拥有前叉的自行车是一个如图4.6所示的反馈系统。转向角 δ 影响侧倾角 φ ，侧倾角又影响转向角，这种因果循环关系是反馈的特征。对于前叉的伸距为正的情况，自行车将往倾斜的一侧转，从而产生一个离心力，试图使倾斜减小。
图4.6 带前叉的自行车原理框图。作用在车把上的转向转矩为 T ，侧倾角为 φ ，转向角为 δ 。可以看到，前叉将侧倾角 φ 作为反馈信号，产生转向角 δ （在某些条件下，转向角 δ 可以稳定系统）
在某些条件下，反馈实际上能够稳定自行车。假定前叉可以建模为静态系统，则可以得到一个粗略的经验模型：
结合式（4.5）的自行车架模型以及式（4.6）的前叉模型，可以得到以下的系统模型：
式（4.7）用
φ
近似代替了sin
φ
。该式的左侧类似弹簧质量系统的方程，其中的阻尼项为
Dv
0
k
2
/b，弹簧项为
。请注意，当
v
0
=0时，弹簧项为负，当
时，弹簧项为正。因此可以得出这样的结论：小速度时自行车是不稳定的，但在速度足够大的情况下，由前叉提供的反馈使自行车变得稳定。
由式（4.5）和式（4.6）给定的简单模型忽略了前叉的动态、轮胎-道路间的相互作用以及参数与速度有关等因素。利用前叉和车架的刚体动态特性，可以得到一个更精确的模型，即所谓的 惠普尔模型 （Whipple model）。假定相关的角度较小，则模型变成：
式中，2×2的矩阵 M 、 C 、 K 0 以及 K 2 的元素由自行车的几何形状及质量分布决定。请注意，这个模型的形式跟第3章介绍的弹簧-质量系统以及例3.2介绍的平衡系统有点相似。虽然这个模型更为复杂，但它也是不精确的，因为其忽略了轮胎与道路的相互作用（如要考虑这个因素，就必须额外增加两个状态变量）。同样，图3.5b的不确定性柠檬图也为理解该模型在相关假设下的有效性提供了一个思路框架。
文献[118,225]对自行车的发展历史作了有趣的介绍。式（4.8）的模型来自文献[249]。文献[20,164]对自行车建模进行了更详尽的介绍，其中列出了许多其他的文献。