下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
2.1 （传递函数和微分方程）令 y ∈ℝ和 u ∈ℝ。对 t ＞0，解微分方程
当初始条件为零时，分别确定对单位阶跃函数 u （ t ）=1和指数信号 u （ t ）=e st 的响应。推导系统的传递函数。
2.2 （零点对时域响应的影响）设 y 0 （ t ）为具有传递函数 G 0 （ s ）的系统对给定输入的响应。传递函数 G =（1+ sT ） G 0 具有相同的零频增益，但它在 s =-1/ T 处有一个额外的零点。设 y （ t ）为具有传递函数 G （ s ）的系统的响应，请证明：
接下来考虑具有以下传递函数的系统
它具有单位零频增益，即 G （0）=1。使用式（2.44）的结果分析在 s =-1/ T 处的零点对系统阶跃响应的影响。
2.3 （PI控制）考虑一个闭环系统，其过程动态和PI控制器的模型为：
式中， r 是参考， u 是控制变量， y 是过程输出。
（a）通过直接处理方程，推导输出 y 与参考 r 之间的微分方程。采用直接微分方程运算和多项式代数运算两种方法，推导传递函数 H yr （ s ）。
（b）绘制系统的框图，推导过程 P （ s ）和控制器 C （ s ）的传递函数。
（c）使用框图代数求闭环系统从参考 r 到输出 y 的传递函数，并验证答案是否与（a）部分的一致。
2.4 （零频增益）考虑由式（2.10）的微分方程和式（2.16）的传递函数描述的系统。通过计算式（2.10）对恒定输入 u （ t ）= u 0 的特解，确定系统的零频增益。并与 G （0）的值相比较。
2.5 （瞳孔反射）瞳孔反射的动态可以采用以下传递函数的线性系统来近似：
假定控制瞳孔开度的神经系统被建模为一个增益为 k 的比例控制器。使用劳斯-赫尔维茨判据确定能保证闭环系统稳定的最大增益。
2.6 （参数灵敏度）考虑图2.7所示的反馈系统。令干扰 v =0， P （ s ）=1， C （ s ）= k i / s 。确定从参考 r 到输出 y 的传递函数 G yr 。并确定当过程增益变化10%时， G yr 变化的程度。
2.7 （PID控制设计）2.3节中的计算可解释为一阶系统的PI控制器的一个设计方法。对于二阶系统的PID控制，也可以进行类似的计算。设过程和控制器的传递函数为：
证明其控制器参数为：
给出的闭环系统的特征多项式为：
2.8 （用反馈实现线性特性）考虑一个具有非线性输入/输出关系 y = F （ u ）的开环系统。假定利用比例控制器 u = k （ r-y ）将该系统变为闭环系统。证明闭环系统的输入/输出关系为：
估计该系统与理想线性响应
y
=
r
的最大偏差。取
k
=5、10和100，在0≤
u
≤1范围内，分别绘制
和
F
（
u
）=
u
2
的输入输出响应曲线，以做进一步说明。
2.9 （非线性失真）以下的MATLAB命令将加载并播放音乐汉德尔的《弥赛亚》（Handel's Messiah）：
写一个MATLAB函数，实现具有静态增益的以下非线性放大器：
y =2[ z + az （1 -z ）-0.5]， z =（ x +1）/2
式中， x 是原始信号（设取-1到1之间的值），放大器增益为 a 。比较两种情况的音乐：通过具有所给非线性且 a =1的放大器的两次处理后的音乐；通过以上同样的两个放大器的处理，但放大器的反馈系数 k =10的音乐。
2.10 （排队系统）考虑以下模型的排队系统：
式中， λ 是任务的到达率， x 是队列的长度。该模型是非线性的，且系统的动态随列队长度的变化存在着显著的变化（更详细的讨论请参考例3.15）。研究采用PI控制器进行准入控制的情况。令 r 为期望的队列长度，（平均）到达率 λ 可建模为：
控制器参数从以下近似模型确定：
求控制器参数，以使近似模型的闭环特性多项式为 s 2 +2 s +1。令输入为 r =5+4sin（0.1 t ），仿真研究控制策略在完整非线性模型上的行为表现。