2.5 反馈提供鲁棒性

利用反馈，可以用不精确的元件制作出性能良好的系统。布莱克（Black）发明电话网络反馈放大器就是一个早期的例子 ^[46] 。他利用负反馈设计了特别好的线性放大器，但他所用的元件却具有非线性和时变的特性。众所周知，信号在经过远距离传输后，必须进行放大。当时（在1947年晶体管发明之前），热电子阀[1906年由李·德·福里斯特（Lee de Forest）发明的一种真空管]是唯一可用的电信号放大技术。真空管是20世纪上半叶无线电、电话和电子技术发展的关键。目前它仍被一些高保真爱好者用于高品质的音频放大器中。

真空管可以提供高增益，但它具有非线性和时变的输入/输出特性，这扭曲了传输的信号。伯德是这样描述这一问题的：

“毫无疑问，大多数拥有高保真系统的人都对放大器的音质感到自豪，但我怀疑，你们中的许多人是否愿意听信号在连续通过你们的几十个甚至几百个高品质的放大器之后所发出来声音。” ^[52]

习题2.9说明了这种效果。

为了开发更好的放大器，布莱克的想法是，用负反馈构成一个闭环，让放大器位于闭环中。这样，他就获得了一个具有输入/输出线性关系的闭环系统，其增益是恒定的。更一般的做法是，定位非线性和过程变化的来源，并围绕它们形成反馈环。

2.5.1 降低参数变化与非线性的影响

考虑一个放大器，它具有图2.12a所示的输入/输出非线性静态关系，并具有可观的参数变化。粗虚线为标称的输入/输出特性曲线，细线为参数变化的示例。图中的非线性可描述为：

对应粗虚线的标称值参数为 α =0.2和 β =1。参数 α 和 β 的变化范围为0.1≤ α ≤0.5，0≤ β ≤2。对于以下的输入：

系统的响应如图2.12b所示。期望的响应 y = u 是一条粗实线，在一定参数范围内的一系列响应如细线所示。非线性系统的标称响应如粗虚线所示，由于非线性的原因，它发生了失真。请特别注意在小信号幅值和大信号幅值时都有严重的失真。

该系统的行为显然是难以令人满意的，不过通过引入反馈可以取得显著改善。图2.13所示为带有简单积分控制器的系统的框图，其中参考输入取为 r 。图2.14所示为闭环系统的响应，其参数变化情况与图2.12相同。图2.14a为反馈系统的输入输出散点图。输入/输出关系实际上是线性的，接近所需的响应。由于反馈引入的动态，因此尚存在一些变动性。图2.14b所示为输出信号（对参考信号的响应），可见相比图2.12b有了显著的改善。误差如图2.14c所示。

*2.5.2 非线性分析与近似

分析非线性的闭环系统通常很困难。不过可以通过近似来获得一些重要的认识。下面用前述非线性放大器的例子来阐明一些见解。

首先请注意，当 β =0时系统是线性的。对于其他的情况，可以在工作点 u = u ₀ 的附近用直线来近似非线性函数。非线性函数在 u = u ₀ 点的斜率为 F′ （ u ₀ ），将过程用增益为 F′ （ u ₀ ）的线性系统来近似，则过程和控制器的传递函数分别为：

式中， u ₀ 表示工作点。根据式（2.21）可知，从参考信号 r 到输出 y 及误差 e 的传递函数分别为：

可见，闭环系统是一阶系统，极点为 s = -bk _i 。过程增益 取决于 α 、 β 和 u ₀ 的数值，其最小值为0.1。如果积分增益选为 k _i =1000，则闭环极点的最小值为100 rad/s，这与输入信号的高频分量π ² rad/s相比相当快。由式（2.40）可得误差 e （ t ）的微分方程为：

忽略式（2.41）中的d e /d t 项可得：

当 b 取最小值0.1时，最大误差估计为 e （ t ）≈0.1cos（π ² t ）。图2.14c以虚线显示了估计的最大误差，可见，在不确定参数的范围内，这是一个很好的估计。

以上的分析基于这样一个假设，即放大器的增益恒定。然而，由于控制器为积分器，因此闭环系统是一个动态系统。根据式（2.40），该闭环动态系统的时间常数为 T _cl =1/（ bk _i ）。如果放大器具有动态的特性，则其时间常数必须小于 T _cl ，才能提供良好的跟踪。因此，最大可容许的积分增益 k _i 是由未建模的动态来决定的。

这个例子说明，即使基础放大器具有非线性和强烈变化的特征，也可以用反馈来设计出几乎为线性输入/输出关系的放大器。 MxW8W+L5s/ef3kkvd7GYn5R4JepyXMso0cDrvsue9mEnY7tueswZPxYoaQBOfp5w