2.3 用反馈降低干扰

降低干扰是反馈的主要用途之一。詹姆斯·瓦特（JamesWatt）利用反馈让蒸汽机在负载变化的情况下能以恒定的速度运行，电气工程师靠它让水轮机驱动发电机以恒定的频率和电压提供电力。反馈常用于降低加工工业、机床、汽车发动机和巡航控制中的干扰。人体也利用反馈来保持体温、血压和其他重要参数的恒定。例如，瞳孔反射可以在环境光强大幅变化的情况下，保证视网膜的光强基本恒定。在受到干扰的情况下，保持变量接近于所需的、恒定的参考值，这称作 调节问题 （regulationproblem）。

为了讨论干扰的衰减，考虑图2.7所示的系统。

由于重点关注的是负载干扰 v 的影响，因此暂时假定参考 r 为零。为了推得从干扰输入 v 到过程输出 y 的传递函数 G _yv ，假定干扰为指数函数 v =e ^st 。应用框图代数运算于图2.7可得：

因此，输出 y 与负载干扰 v 之间的传递函数为：

为了研究反馈提高干扰衰减效果的机制，将重点放在具有以下一阶微分方程的简单过程上：

相应的传递函数是：

对于所含的质量、动量或能量能用单个状态变量来描述的物理过程，这个模型是一个合理的近似。典型的例子包括行驶在道路上的车辆的速度、旋转系统的角速度，以及油箱的液位等。

2.3.1 比例控制

先研究比例控制的情况，这里的控制信号正比于输出误差 u = k _p e ，跟1.6节介绍的一样。因此控制器的传递函数是 C （ s ）= k _p 。过程传递函数由式（2.22）给定，干扰对输出的影响由式（2.21）的传递函数描述：

因此，干扰 v 与输出 y 之间的关系为以下的微分方程：

如果 a + bk _p >0，那么闭环系统是稳定的。因此，恒定干扰 v = v ₀ 的输出将按时间常数 T =1/（ a + bk _p ）的指数方式趋近于以下数值：

如果没有反馈， k _p =0，那么恒定干扰 v ₀ 的输出将趋向于 bv ₀ / a 。因此， k _p >0时干扰的影响将降低。

至此已证明，恒定干扰引起的误差可以使用具有比例控制器的反馈来降低。误差随着控制器增益的增加而降低。图2.8a给出了控制器具有不同增益值 k _p 时的响应。

2.3.2 比例积分（PI）控制

1.6节中引入的PI控制器可描述为：

为了确定控制器的传递函数，对上式进行微分可得：

因此传递函数为 C （s）= k _p + k _i / s 。为了研究干扰 v 对输出的影响，使用图2.7所示的框图，可以得到从 v 到 y 的传递函数为：

利用式（2.10）和式（2.16）给出的传递函数和微分方程之间的关系，可以得到负载干扰与输出之间的关系为以下的微分方程：

请注意，由于干扰是以导数的形式出现在上式右端的，因此恒定的干扰不会产生稳态误差。注意由 G _yv （0）=0也可以得出同样的结论。这与1.6节关于积分作用与稳态误差的讨论是一致的。

为了找到控制器参数 k _p 和 k _i 的适当数值，考虑微分方程（2.25）的特征多项式：

通过控制器增益 k _p 和 k _i 的选择，可以给特征多项式分配任意的特征根。最常见的做法是分配复特征根，从而给出以下的特征多项式：

从结构上看，这个多项式的根为 s = -σ _d ±i ω _d 。其齐次方程的通解为下述项的线性组合：

这是有阻尼的正弦和余弦函数，如图2.3e所示。系数 σ _d 确定衰减的速率，参数 ω _d 称作 阻尼频率 （damped frequency），它给出衰减振荡的频率。从多项式（2.26）和式（2.27）中识别出 s 的等幂系数，可得：

因此，可以依此选择控制器的增益，以提供所需的闭环响应。

相比用 σ _d 和 ω _d 来参数化闭环系统的做法，更常用的做法是使用 （无阻尼的）自然频率 [（undamped）natural frequency] 和 阻尼比 （damping ratio） ζ _c = σ _d / ω _c 来使闭环系统参数化。这样一来，闭环特征多项式为：

此参数化表示具有这样的优势： ζ _c 位于[-1,1]的范围，它决定响应曲线的形状； ω _c 确定响应的速度。

图2.8b给出了 和设计参数 ω _c 取不同数值时的输出 y 和控制信号 u 的波形。比例控制给出的稳态误差随着控制器增益 k _p 的增加而减少。PI控制的稳态误差为零。当设计参数 ω _c 增加时，衰减速率和峰值误差都会减少。较大的控制器增益会产生较小的误差，并需要较小的控制信号，对干扰的响应也更快。

采用式（2.28）的控制器参数，从干扰 v 到过程输出 y 的传递函数（2.24）变为：

为了有效衰减干扰，希望对所有 ω 都有较小的 。对于小的 ω ，有 ，而对于大的 ω ，有 ≈ b / ω 。当 ω = ω _c 时， 的最大值是 b /（2 ζ _c ω _c ）。因此，大的 ω _c 会产生良好的负载干扰衰减效果。

总之，对于动态模型可以近似为一阶系统的过程，传递函数的分析为确定其PI控制器的参数提供了一个简单的方法。这一技术可以推广到更复杂的系统，但控制器将更为复杂。为了实现大的控制增益，模型必须在宽广的频率范围内具有良好的精度，这将在下面讨论。

2.3.3 未建模动态

迄今为止的分析表明，可以实现的性能是没有限制的。图2.8b表明，只要 ω _c 足够大，任意快速的响应都是可以获得的。但在实际上，可实现的性能是有限制的。原因之一是控制器的增益随着 ω _c 增加：比例增益是 k _p =（2 ζ _c ω _c -a ）/ b ，积分增益是 。因此，较大的 ω _c 值会产生较大的控制器增益，这可能导致控制信号饱和。另一个原因是式（2.22）的模型是简化的：它仅在给定的频率范围内有效。如果将模型替换为：

式中，1+ sT 项表示在推导式（2.22）时被忽略的传感器、执行器等的动力学特性——即所谓的 未建模动态 （unmodeled dynamics），那么闭环系统的闭环特征多项式将成为：

根据式（2.18）的劳斯-赫尔维茨判据，如果 ，或者

ω _c T <2 ζ _c （1+ aT ）

则闭环系统是稳定的。因此，频率 ω _c 和可实现的响应时间受 T 所代表的未建模动态的限制（ T 通常小于过程的时间常数1/ a ）。所以，如果开发模型是为了控制，那考虑未建模的动态就很重要。

未建模动态会限制反馈系统的性能，这是一个重要性质，必须在系统设计中加以考虑。在设计复杂系统的部件时使用简化模型是常用的做法，但如果未能正确考虑这些部件（或与它们相互作用的其他子系统）的未建模动态，那么所实现系统的性能就可能会不佳（一个极端的例子就是不稳定）。在后面几章将会看到，控制理论能分析不确定性的影响，是系统设计的一个特别强大的数学工具。 TtZJyPefMc891Ep5/dw1iWnf1RiL2FoxLcOchvOWjzvjmzZtZqXxcwY0nGBxJAeN