2.1 非线性静态模型

首先介绍用静态模型表示过程和控制器的行为特性的方法。虽然这类模型非常简单，却非常有助于深刻理解反馈的基本特性。负反馈的基本特性是能增大线性范围，改进对参考信号的跟踪，降低干扰、参数变化等的增益与影响。适度的正反馈则具有相反的特性：会缩小线性范围，增大系统的增益。在临界值下，增益将变成无穷大，系统的行为将类似于继电器；较大的增益会导致滞环行为。尽管静态模型能为读者提供一些参考，但它们无法捕捉动态现象（稳定性等）。正反馈与动态特性相结合，往往引起不稳定和振荡，这将是本书从头至尾一直要讨论的问题。

考虑图2.1所示框图中的闭环系统，图中参考（或命令）信号为 r ，即期望的系统输出。控制器 C 的输入为 e ，它等于参考 r 和过程输出 y 之间的差值，控制器的输出是控制信号 u 。在过程的输入中还存在负载干扰 v ，它使系统受到干扰。虽然本书重点研究负反馈，但图2.1也可以用于分析正反馈。

将过程 P 建模为这样一个函数：当输入的幅值小于1时，函数是线性的；当输入的幅值大于1时，函数具有饱和特性。控制器则建模为恒定的增益 k 。由此，过程和控制器表示为以下函数：

当 时， y = x ， 过程增益 （process gain）为1，且过程是线性的，这个范围称作 线性范围 （linear range）。由于控制器的输出 u 是输入 e 的 k 倍，因此 控制器增益 （controller gain）为 k 。

当没有反馈时，控制器和过程组成的系统称为 开环系统 （open loop system）。当忽略干扰 v 时，由式（2.1）可以得到开环系统的输入/输出关系，即

它具有增益 k 和线性范围 。

2.1.1 对参考信号的响应

为了研究过程输出 y 对参考信号 r 的跟踪，假定图2.1中的负载干扰 v 为零。先考虑 负反馈 （negative feedback）的情况，将图2.1中下部方块中的符号设置为-1。根据图2.1及式（2.1），可得闭环系统的描述为：

消除式中的 u ，可得：

为了找到参考信号 r 和过程输出 y 之间的关系，需要求解代数方程。在线性范围 内，有 。当 时，输出饱和，有 y =±1[具体取决于 k （ r-y ）的符号]。可以证明，完整的输入/输出关系满足：

函数图像如图2.2所示。

该闭环系统的线性范围为 。对比式（2.2）可见，负反馈把系统的线性范围扩大为开环系统的 k +1倍，具体如图2.2a所示（虚线为开环系统的，实线为闭环系统的）。

2.1.2 对参数不确定性的鲁棒性

接下来研究闭环系统对增益变化的灵敏度。系统的 灵敏度 （sensitivity）描述系统性能受系统参数变化影响的程度。对于工作在线性范围内的开环系统，因 y = kr ，故有：

可见，输出的相对变化等于参数的相对变化，灵敏度为1。所以，在开环系统中， k 变化10%将导致输出变化10%。

对于输入处于线性范围内的闭环系统，根据式（2.5）有：

因此，

对比式（2.6）可见，增益为 k 的负反馈会将系统对增益变化的灵敏度降低为开环时的1/（ k +1）倍。例如，如果 k 为100，则 k 变化10%引起的 y 的相对变化将小于0.1%。因此闭环系统对参数变化的灵敏度要低得多。

以上的分析也可用于研究正反馈的影响。如果将图2.1中反馈环的-1代替为+1，则式（2.5）变成：

请注意，当 k <1时，该闭环系统的增益为正数，且比开环增益大，如图2.2b所示。其线性范围为 。对比式（2.2）的开环系统可见， k <1的正反馈将线性范围缩小为开环的1 -k 倍。当 k 趋近于1时，闭环增益趋向于无穷大，线性范围缩小到零，系统的行为类似于继电器。

对于 k >1的正反馈，由式（2.8）可知闭环增益为负，如图2.2c所示，且当 k 趋向于无穷大时，增益趋向于-1。当正反馈的增益较大时，对于 范围内的输入，其输入/输出特性具有多个输出值的特点，闭环系统的行为类似于一个具有滞环特性的开关。在2.6节中，我们将更深入地探讨这一概念，可以看到，如果考虑过程的动态，那么输入/输出特性曲线上具有负斜率的所有点都是不稳定的。

本书的重点是研究负反馈，但有些系统利用了正反馈，以下就是一个这样的例子。

例2.1 超再生放大器

当埃德温·阿姆斯特朗（Edwin Armstrong）还是哥伦比亚大学的一名本科生的时候，他于1914年制造了一个只用一个真空管的“ 超再生 ”（superregenerative）无线电接收器。超再生无线电接收器（放大器）可以建模为一个开环增益为 k 且具有饱和输出特性的放大器与正反馈相结合的系统，如图2.1所示。利用式（2.8），可以算得闭环系统的增益为 k _cl = k /（1 -k ）。选择反馈增益 k 略低于1，可以获得非常大的闭环增益。例如，选择 k =0.999，可得 k _cl =999，这是一个增加了近三个数量级的增益。

使用正反馈的缺点是系统高度灵敏，必须仔细调整增益以避免振荡。例如，如果增益 k 是0.99而不是上面的0.999（差别小于1%），那么闭环增益将变为 k _cl =99，差了10倍（或1000%）。该电路的振荡特性使得分析放大器必须使用更为高级的（动态的）模型。

尽管存在局限性，但这种放大器在简单的对讲机、车库开门器和玩具中仍在使用。

2.1.3 负载干扰的抑制

反馈的另一个用途是减少外部干扰（图2.1中的负载干扰 v ）的影响。对于开环系统， v ≠0时的输出为

y =sat（ kr + v ）

因此，在线性范围内， v 和 y 之间的增益为1，即干扰通过时没有衰减。

为了研究反馈对负载干扰的影响，考虑图2.1中具有负反馈的系统。为简单起见，将参考信号 r 设置为零。负载干扰 v 与输出 y 之间的关系为 y =sat（ v-ky ），它是一个代数方程。在线性范围内，可得 y = v /（ k +1），更一般地，可以证明：

因此，在线性范围内，负反馈使负载干扰的影响降低到原来的1/（ k +1）倍。

综合以上三种情况的分析可见，负反馈增大了系统的线性范围，降低了系统对参数不确定性的灵敏度，并减轻了负载干扰的影响。付出的代价是降低了闭环增益。正反馈正好相反：它使闭环增益增大，但付出的代价是增大了灵敏度，放大了干扰的影响。 2Us98DNN9TVh3eQW44UJh+xAS3suesnvLFXUDHaaM5jiHf8DVdqC3/xk9HGKlGyQ