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通信的任务既然是将表示消息的信号经过信道从信源传递到信宿，那么我们必须研究信号和信道的特性。本节首先对信号进行分析，然后对信道进行分析，最后分析在已知信道的传输参数的情况下，求信道所能支持的最大数据率。
最简单的信号是周期信号（periodic signal），它是指经过一段时间，不断重复相同信号模式的信号。图2-10所示的例子就是一个模拟信号（正弦波）和一个数字信号（方波）。
图2-10 周期信号
从数学的角度看，当且仅当信号 s （ t ）可表示为：
s （ t + T ）= s （ t ）-∞＜ t ＜+∞
时，信号 s （ t ）才是周期信号。这里的常量 T 是周期信号的周期（ T 是满足该等式的最小值），否则该信号就是非周期的。
正弦波是最基本的周期信号。简单正弦波可由三个参数表示，即峰值振幅（ A ）、频率（ f ）和相位（ φ ）。峰值振幅（peak amplitude）是指一段时间内信号值或信号强度的峰值，通常这个值的单位是伏特（volt）。频率（frequency）是指信号循环的速度，通常用赫兹（Hz）表示，与频率相关的参数是信号的周期 T ，信号周期 T 是指信号重复一周所花的时间，因此 T =1/ f 。相位（phase）表示信号周期内信号在不同时间点上的相对位置，这将在后面详细解释。
正弦波一般可表示成如下形式：
s （ t ）= A sin（2π ft + φ ）
图2-11显示了三个参数分别变化时对正弦波的影响。在图2-11a中，频率为1Hz，也就是周期 T 为1s。在图2-11b中，正弦波的频率和相位不变，但振幅只有原来的1/2。在图2-11c中，正弦波的频率 f 为2Hz（是原来的2倍），对应的周期 T 为0.5s。图2-11d中，显示了正弦波相位移动π/4个弧度时的效果，也就是移动了45°（2π个弧度等于360°，等于一个周期）。
图2-11的横坐标轴是用时间刻度来度量的，因此图中信号在某个点上的值可以用时间的函数来表示。对于这几个图，只要将图中的横坐标轴改用空间刻度来度量，那么图中信号在某个点上的值可以用距离的函数来表示。例如，对于一个正弦曲线来说，某一时刻信号的强度是距离的函数，并以正弦波的形式变化（假设是距离广播天线一段距离的一个无线电波或者是距离喇叭一段距离的一个声波）。
这两种正弦波一个以时间为横坐标轴，一个以空间为横坐标轴，它们之间存在简单的数学关系。定义信号的波长（wave length） λ 为信号循环一个周期所占的空间长度，或换句话说，是信号的两个连续周期上相位相同的两点之间的距离。假设信号的传播速度是 v ，那么波长与周期的关系就是 λ = v × T 或者是 λ × f = v 。与此处讨论相关的一个特例是 v =c，c是自由空间中的光速，也就是每秒三十万千米，即3×10 8 m/s。
图2-11 正弦波 s （ t ）= A sin（2π ft + φ ）
实际上，任何信号都是由多种频率的正弦信号分量组成的，如图2-12c所表示的信号。
s （ t ）=（4/π）[sin（2π ft ）+（1/3）sin（2π（3 f ） t ）]
s （ t ）信号的分量只有频率为 f 和3 f 的正弦信号，如图2-12a和2-12b所示。
图2-12 信号 s （ t ）=（4/π）[sin（2π ft ）+（1/3）sin（2π（3 f ） t ）]的分解
从图2-12中可以发现一些有趣的现象。信号sin（2π（3 f ） t ）的频率是信号sin（2π ft ）的频率的整数倍。当一个信号的所有正弦信号分量的频率都是某个频率的整数倍时，则后者称为基频（fundamental frequency）。信号的周期就等于基频信号分量的周期。对于图2-12c的信号，由于信号分量sin（2π ft ）的周期是 T =1/ f ，因此信号 s （ t ）的周期也是 T =1/ f 。
事实上，早在19世纪初期，法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Fourier）已经证明：任何一个周期为 T 的函数 g （ t ）都可以展开成多个（可能无穷多个）正弦和余弦函数的和：
其中：
此处 f =1/ T 是基频， a n 和 b n 是 n 次正弦谐波和余弦谐波的振幅，C是常数。
现在可以认为对每个信号 s （ t ）都存在一个频域函数 S （ f ）。图2-13显示了图2-12c中信号 s （ t ）的频域函数 S （ f ）。
图2-13 信号的频域图
信号的频谱（frequency spectrum）是指它所包含各种频率分量的范围。对于图2-12c中的信号来说，其频谱是从 f 延伸到3 f 。信号的绝对带宽（absolute bandwidth）是指它的频谱宽度。在图2-12c的例子里，该信号的带宽是3 f-f ，等于2 f 。对于许多信号来说，其带宽往往是无限的，如理想单稳脉冲信号的带宽就是无穷大。但是，许多信号的绝大部分能量都集中在相当窄的频带内，这个频带就称为信号的有效带宽（effective bandwidth），一般情况下，有效带宽直接简称为带宽（bandwidth）。
下面分析常见信号的频谱和带宽。图2-14显示了人类说话时话音和音乐的频谱及动态范围。典型的话音信号的频率范围大致为100Hz～7kHz。电话线路上的话音信号频率一般被限制为300～3400Hz。典型的话音信号大约有25分贝（10log10功率比）的动态范围，也就是说最大话音的能量可以比最小话音的能量大300倍。
图2-14 话音和音乐的频谱及动态范围
对于音频数据（话音和音乐），它们可以直接由具有相同频谱的电磁信号表示。但是，此时的话音数据是以电信号的方式传输的，我们必须在话音保真度和传输带宽之间进行折中（trade-off），因为信号传输带宽越大，话音的保真度越高，对信道的要求也越高。虽然，前面曾提到话音的频谱范围大约为100Hz～7kHz，但即便是使用窄得多的带宽也足以生成可接受的重放话音。而话音信号的标准频谱范围为300～3400Hz，这对话音的重放来说是足够的，并且这样做对传输信号和传输信道的带宽要求降到了最低，也就是说可以使用相对便宜的电话设备。因此，电话发送器将输入的话音信号（空气振动）限制在300～3400Hz范围内的电信号，然后这个电信号经过电话系统传送到接收器，接收器将接收到的电信号重放为话音信号（空气振动）。
电视信号的频谱为0～4MHz，因此其带宽为4MHz。最后，我们讨论二进制数字数据的情况。二进制数字数据最常见的信号表示方式是采用两个恒定的电压值，一个电压值表示二进制1，另一个电压值表示二进制0。在一般情况下，二进制数字信号的带宽取决于其编码方式以及0、1的次序。
最后，还需要说明直流分量（dc component）的概念。如果一个信号包含频率为0的信号分量，那么这个信号分量就称为直流分量。图2-15所示就是在图2-12c所示的信号上叠加一个直流分量后得到的结果。如果没有直流分量，一个正弦信号的平均振幅为0。具有直流分量的信号在 f =0的频率项处有数值，且该信号的振幅平均值不为0。
图2-15 具有直流分量的信号
信号单位时间传输的比特数称为 数据率 （ data rate ），单位为比特每秒（bit/s）。数据率的提高意味着传输每一比特所用时间的减小。
信号的有效带宽是指包含信号的绝大部分能量的那部分谐波。虽然某些信号所包含的谐波分量的频率范围可能非常宽，但关键问题是任何传输介质或传输信道的带宽都是有限的，都只能允许通过一定带宽的信号。也就是说，在传输介质或传输信道带宽有限的情况下，必须限制信号带宽，而限制了信号带宽也就限制了信号的数据率。
要解释数据率与信号带宽两者之间的关系，下面来看一下图2-10b中的方波。假设正脉冲表示二进制“1”，负脉冲表示二进制“0”，那么该波形就表示二进制数据1010…，其中每个脉冲持续的时间为1/2 f ，因此数据率为2 f bit/s。但是这个信号的带宽是多大呢？或者说这个信号所含谐波分量的频率范围是多少呢？要回答这个问题，可以再看一下图2-12。图2-12c中的信号波形与图2-10中的方波波形非常相似，而图2-12c的信号通过将频率为 f 以及频率为3 f 的两个正弦波叠加而成。我们继续上述过程，对图2-12c的信号再叠加一个频率为5 f 的正弦波，得到的信号波形如图2-16a所示。如果在此基础上再叠加一个频率为7 f 的正弦波，得到的信号波形如图2-16b所示。当不断叠加 f 的奇数倍的正弦波，并按比例对这些正弦波的振幅加以调整后，将得到与方波越来越相似的波形。
事实上，图2-10b中振幅为 A 和 -A 的方波信号可以表示成：
图2-16 方波的频率分量组成图
因此，从理论上看，方波信号具有无穷多个谐波分量，显然方波信号的带宽也是无穷大。但是方波信号的绝大多数能量集中在最前面的几个谐波分量中，如果将信号的带宽限制在最前面的三个频率分量上会发生什么呢？我们已经在图2-16a里看到了答案。图2-16a的波形与图2-16b的方波波形已经非常相近了。
下面用图2-12和图2-16来说明数据率与带宽的关系。假设使用的数字通信系统的带宽为4MHz，即该传输系统能够传输的信号带宽不超过4MHz。让我们试着传输一组如图2-16a所示的1、0交替的二进制数字序列。那么数据率能达到多少呢？请看下面三种情形。
情形1 ：把方波近似地看成是图2-16a所示的波形。虽然这个波形是“失真”的方波，但它与方波足够相似，接收器应该能够区分出二进制1和0，现在如果让 f =10 6 周/秒=1MHz，那么信号
的带宽就是（5×10 6 ）-10 6 =4MHz。请注意，由于 f =1MHz，那么基频信号的周期就是 T =1/10 6 s=10 -6 s=1μs。因此，如果把这个波形看成是0和1的比特序列，那么每0.5μs产生一个比特，也就是说数据率为2×10 6 =2Mbit/s。所以对4MHz带宽的信号来说，数据率可以达到2Mbit/s。
情形2 ：现在假设我们所使用的数字通信系统能够以8MHz的带宽传输信号，再来看看图2-16a，但是这次基频 f =2MHz，而信号的带宽为（5×2×10 6 ）-（2×10 6 ）=8MHz，可以通过该数字通信系统传输。但此时 T =1/ f =0.5μs。因此，每0.25μs产生一个比特，也就是说数据率为4Mbit/s。所以，假设其他条件不变，传输系统带宽加倍意味着数据率加倍。
情形3 ：假定认为图2-12c中的波形近似于方波，也就是说图2-12c中的正、负脉冲之间的差别足够大，即使在有噪声或其他干扰的情况下，接收器也能够从图2-12c中的正、负脉冲中恢复出二进制数据0和1。假设和情形2一样， f =2MHz， T =1/ f =0.5μs。因此，每0.25μs产生一个比特，也就是说数据率为4Mbit/s，那么图2-12c中的信号带宽为（3×2×10 6 ）-（2×10 6 ）=4MHz，此时只需要数字通信系统的带宽大于等于4MHz即可。
对以上3种情形总结如下。
· 情形1：带宽=4MHz，数据率=2Mbit/s。
· 情形2：带宽=8MHz，数据率=4Mbit/s。
· 情形3：带宽=4MHz，数据率=4Mbit/s。
可以看出，情形1和情形3，信号的带宽都是4MHz，但情形1的数据率是2Mbit/s，而情形3的数据率是4Mbit/s。但是在情形3中，对接收器以及传输介质的要求更高些，否则可能发生错误，因为情形3中方波信号的质量比情形1中方波信号的质量差一些。
从以上的讨论可以得出如下结论：如果要让数字信号通过某种传输介质或信道进行传输，传输介质或信道自身的物理特性将限制被传输信号的带宽，而信号带宽的限制将引起数字信号的失真，信号带宽越受限制，失真就越严重，接收器出错的概率就越大。一般情况下，如果信号数据率为 W bit/s，当其带宽为2 W Hz时，该信号就可以很好地表示原始数据信号，接收端也就很容易从中恢复出原始数据。然而，只要传输介质的噪声不是很严重，即使信号带宽是 W Hz，接收端仍然可以从该信号中恢复原始数据（上面的情形3）。
因此，数据率与信号带宽之间有着直接的联系：一般情况下，数据率越高的信号，其带宽越大。
下面从另外一个方面来简单讨论信号带宽与数据率的关系。如果将信号的带宽看成是以某些频率为主构成的，其中的某个频率称为中心频率（center frequency），那么，一般情况下，信号的中心频率越高，带宽就越大，支持的数据率就越高，对传输介质或信道的带宽要求也越高。假定某个信号的中心频率是2MHz，一般情况下，该信号的最大带宽就是4MHz。
根据傅立叶分析的结果可以知道，如果一个信号的所有频率分量都能完全不变地通过信道传输到接收端，那么在接收端由这些频率分量叠加起来而形成的信号与发送端的信号是完全一样的，即接收端完全恢复了发送端发出的信号。但现实世界中，没有任何信道能毫无损耗地通过所有频率分量。如果所有的傅立叶分量被等量衰减，那么接收端接收到的信号虽然在振幅上有所衰减，但没有发生畸变。然而实际情况是，所有的信道和传输设备对信号的不同频率分量的衰减程度是不同的，频率较低的谐波分量衰减小一些，频率较高的谐波分量则衰减大一些，因而导致输出信号发生畸变。通常，频率从0到fc赫兹范围内的谐波分量在经过信道传输过程中发生的衰减在某个范围内，而在fc频率上的所有谐波在传输过程中衰减幅度比较大。我们把信号在经过一定距离的信道传输过程中某个分量的振幅衰减到原来的0.707（即输出信号的功率降为输入信号的一半）时所对应的频率称为信道的截止频率（cutoff frequency），相应地，该信道的带宽为fc。信道的截止频率和带宽反映了信道本身所固有的物理特性。
由前一节的内容我们知道，即使二进制数字信号通过带宽有限的理想信道时也会产生失真，而且当输入信号的带宽一定时，信道的带宽越小，输出信号的失真就会越大。换个角度说，当信道的带宽一定时，输入信号的带宽越大，输出信号的失真就越大，因此当数据率提高到一定水平时（即信号带宽增大到一定程度），在信道输出端，信号接收器根本无法从已失真的输出信号中恢复所发送的数字信号。也就是说，即使是一条理想信道（即无噪声信道），它的传输能力也是有限的。
早在1924年，AT&T的工程师奈奎斯特（Henry Nyquist）就认识到了这个基本限制的存在，并推导出一个公式，用来推算无噪声的、有限带宽信道的最大数据率。1948年，香农（Claude Shannon）把奈奎斯特的工作进一步扩展到了信道受到随机噪声干扰的情况。这里我们不加证明地引用这些现在视为经典的结果。
1.码元速率和数据率
在介绍奈奎斯特定理和香农定理之前，先介绍几个关于通信速率的术语以及它们之间的关系。
首先介绍 码元 （ code cell ）。从直观意义上讲，码元是信号编码单元。对于数字通信系统而言，一个数字脉冲就是一个码元。对于模拟通信系统而言，载波的某个参数或某几个参数的变化就是一个码元。
码元速率是指每秒钟信号变化的速率，也称为调制速率或信号速率。码元速率的单位是波特。
信号速率（symbol rate）是指每秒钟信号变化（如波形变化）的次数，也称为波特率（baud rate）或者调制速率（modulation）。
不管是数字通信系统还是模拟通信系统，一个码元信号所携带的比特数是由码元信号的状态数决定的。比如，对于4相位调制方式（4-PSK），即一个码元信号有4种状态，M=4，因此一个码元信号可以携带2比特信息（一个码元信号有4种状态，因此需要用2比特来表示）。
如果用比特率（单位是bit/s）来表示信号每秒钟传输的比特数，即数据率，那么比特率和波特率在数量上的关系是：比特率=波特率×log 2 M 。这里的 M 是码元信号的状态数。对于4相位调制方式（4-PSK），比特率=2×波特率。
如果我们用高速公路设计的车流量（每小时通过的车辆数）来做比喻，高速公路的车流量就相当于码元速率。假设每辆车可以坐2个人，那么高速公路的人流量（相当于比特率）就是车流量（码元速率）的2倍；如果每辆车可以坐3个人，人流量就是车流量的3倍；以此类推。一般情况下，高速公路的车流量是固定，但是可以通过让每辆车多载人来提高高速公路的人流量。
2.奈奎斯特定理
在信息论中，信道无差错传输信息的最大信息速率为信道容量，记为C。从信息论的观点来看，各种信道可概括为两大类：离散信道和连续信道。离散信道是指输入与输出信号都是取值离散的时间函数；连续信道是指输入和输出信号都是取值连续的时间函数。可以看出，前者就是广义信道中的编码信道，后者则是调制信道。
针对平稳、对称和无记忆的离散信道，奈奎斯特证明，一个带宽为 B Hz的无噪声理想信道，其最大码元（信号）速率为2 B 波特，其中平稳、对称是指任一码元正确传输和错误传输的概率与其他码元一样且不随时间变化。这一限制是由于存在码间干扰。如果被传输的信号包含 M 个状态值（信号的状态数是 M ），那么 B Hz信道所能承载的最大数据率（信道容量）是：
假设带宽为 B Hz信道中传输的信号是二进制信号（即信号两个值），那么该信号所能承载的最大数据率是2 B bit/s。例如，使用带宽为3kHz的话音信道通过调制解调器来传输数字数据，根据奈奎斯特定理，发送端每秒最多只能发送2×3000=6000个码元，如果信号的状态数为2，则每个信号可以携带1比特信息，则话音信道的最大数据率就是6kbit/s。如果信号的状态数是4，则每个信号可以携带2比特信息，则话音信道的最大数据率就是12kbit/s。
因此，对于给定的信道带宽，可以通过增加信号单元的状态数来提高数据传输率。然而这样会增加接收端的负担，因为接收端每接收一个码元，它不再只是从两个可能的信号取值中区分一个，而是必须从 M 个可能的信号取值中区分一个出来。传输介质上的噪声将会限制 M 的实际取值。
当一个信道受到加性高斯噪声的干扰时，如果信道传输信号的功率和信道的带宽受限，则这种信道传输数据的能力将会如何？这一问题，在信息论中有一个非常肯定的结论，即高斯白噪声下关于信道容量的香农（Shannon）公式。
3.香农定理
奈奎斯特考虑了无噪声的理想信道，而且奈奎斯特定理指出，当所有其他条件相同时，信道带宽加倍则数据率也加倍。但是对于有噪声的信道，情况将会迅速变坏。现在考虑数据率、噪声和误码率之间的关系。噪声的存在会破坏数据的一个比特或多个比特。假如数据率增加了，那么每比特数据就会变“短”，因而噪声会影响到更多比特，则误码率就会增加。
对于有噪声信道，我们希望通过提高信号强度来提高接收端正确接收数据的能力。而由于衡量信道质量好坏的参数是信噪比（Signal-to-Noise Ratio，S/N），信噪比是信号功率与在信道某一个特定点所呈现的噪声功率的比值。通常信噪比在接收端进行测量，因为我们是在接收端处理信号并试图消除噪声。为了方便起见，信道的噪声一般用分贝来表示。
S / N 表示有用信号相对于噪声的比值，以分贝为单位， S / N 的值越高表示信道的质量越好。
对于通过有噪声信道传输数字数据而言，信噪比非常重要，因为它设定了有噪声信道一个可达的数据率上限，即对于带宽为 B 赫兹、信噪比为S/N的信道，其最大数据传输率（信道容量）为：
这就是信息论中具有重要意义的香农公式，它表明了当信号与作用在信道上的起伏噪声的平均功率给定时，具有一定频带宽度 B 的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。
例如，对于一个带宽为3kHz、信噪比为35dB的话音信道，无论其使用多少个电平信号，其数据率不可能大于34.8kbit/s。值得注意的是，香农定理仅仅给出了一个理论极限，而实际应用中能够达到的速率要低得多。其中一个原因是香农定理只考虑了热噪声（白噪声），没有考虑脉冲噪声以及衰减失真等因素。
香农定理给出的是无误码数据率。香农还证明，假设信道的实际数据率比无误码数据率低，那么使用一个适当的信号编码来达到无误码数据传输率在理论上是可能的。遗憾的是，香农并没有给出如何找到这种编码的方法，但是香农定理确实提供了一个用来衡量实际通信系统性能的尺度。
通常，把实现了极限信息速率传送（即达到信道容量值）且能做到任意小差错率的通信系统，称为理想通信系统。香农只证明了理想通信系统的“存在性”，却没有指出具体的实现方法，但这并不影响香农定理在通信系统理论分析和工程实践中所起的重要指导作用。