第二节
轮胎振动模型

轮胎模型是分析轮胎振动特征的基础。建立轮胎模型有三个目的：一是获取轮胎模态特征，包括传递函数和振型，二是获取结构和声腔的传递率，三是计算结构振动响应与声辐射。轮胎模型分成三大类。第一类是有限元模型，在有限元技术非常成熟和超性能计算高度发达的今天，有限元模型能逼真地反映轮胎的结构特征。第二类是解析模型，把轮胎视为一个简化的连续体或离散体来建立解析方程，通过求解方程得到轮胎振动特征。第三类是半经验模型，即将有限元方法、解析方法和试验数据结合起来建立的模型。绝大多数学者和工程师采用线性方法来建立模型。

一、有限元模型

将轮胎这样复杂的弹性连续体分解成许多个自由度的离散体，形成有限单元。轮胎是一个轴对称结构，建模时，首先建立一个二维模型，然后旋转得到三维模型。

轮胎包括胎、轮辋和空腔三部分，根据模型是否包括这些部件，轮胎有限元模型又分为胎有限元模型、胎-声腔有限元模型、胎-轮辋有限元模型、胎-轮辋-声腔有限元模型。

建立胎有限元模型时，将胎体、帘线、约束层、胎圈等分别处理，再对帘线与橡胶结合等部位进行几何非线性和物理非线性处理。胎体中的帘线层、带束层等由钢丝、复合材料等组成，有的材料各向异性，所以要进行特殊处理，例如在Abaqus软件中，用rebar来模拟这些结构，并输入帘线层中帘线间的距离、角度、截面积等参数。将测量的轮胎材料参数，例如应力-应变曲线，即材料的刚度，输入有限元模型中。图3.6为一个胎的有限元模型。

绝大多数轮辋是铝合金，其模态频率高于轮胎振动分析所关注的胎模态频率，因此可以将轮辋视为刚体并作为胎模型的边界。大多数轮胎声腔模态频率与胎模态频率几乎解耦，因此可以将胎和声腔分开来分析。气压对模态影响很大，在胎内壁施加一定的压力来模拟轮胎气压。这种胎模型的用途是研究胎本体的结构特征。

为了研究胎和声腔的耦合，或者为了分析振动在结构和声腔中的传递特征，就将声腔与胎一起来建模，形成胎-声腔模型。胎和声腔分别被划分成网格，用液固耦合关系来建立边界的连接。如果为了研究高阶模态以及胎与轮辋的耦合，轮辋就被视为柔性体，建立胎-轮辋有限元模型。如果要进一步分析胎、轮辋和声腔的耦合关系，就构建胎-空腔-轮辋有限元模型。在这些模型中，胎模型是用得最为广泛的有限元模型。

轮胎有两种边界：自由边界和约束边界。约束边界又包括台架约束边界和装车约束边界。自由轮胎模型是指没有受到任何约束和加载的模型，如图3.6所示。约束模型是指与地面接触并且在轮毂处施加载荷的模型，如图3.7所示。轮胎受到压力后，与地面接触的区域形成一个接触平面。自由边界模型用于研究轮胎单体结构特征，而约束模型用来模拟轮胎安装在汽车上的振动特征。

旋转轮胎产生离心加速度、哥式（Coriolis）加速度，承受着哥式力和回旋（gyroscopic）力矩。将这些因素加入自由边界模型中就形成了自由运行模型，加入约束边界模型就形成了约束加载运行模型。

近年来，一些学者将其他计算方法与有限元结合起来，形成了很多新型的有限元模型和分析方法，如波导有限元方法（waveguide finite element method）、无限/有限元方法（infinite/finite element method）、波有限元（wave finite element）、能量边界单元分析（energy boundary element analysis）、能量有限元分析（energy finite element analysis）等。其中，波导有限元方法使用最广泛。

用有限元方法计算轮胎模态和响应时存在几个缺陷。第一是网格数量大，计算时间长。第二是在处理固体结构和声腔流体耦合时，要分别处理，再叠加计算。第三是很难在不同部位输入不同的阻尼，而且阻尼随着应变而变化。为了克服这些缺陷，一些学者采用波导有限元方法来分析轮胎振动问题。

波导是一种引导波在一个方向（如轮胎的周向）传播的结构。波导有限元是将有限元网格与波动方程结合起来的分析方法。用粗网格来划分截面，再将截面单元沿着周向（波导方向）扩展，形成波导有限元模型。波导有限元方法能够大大地降低网格数量，极大地提升求解速度。它还可以在不同部位赋予不同的阻尼值，同时求解液固耦合问题。

二、解析模型

自二十世纪六十年代以来，人们不断探索用简单解析模型来表征轮胎结构的振动特征，这些模型包括：质量-弹簧模型、梁模型、板模型、环模型和三维壳模型。

1．单自由度质量-弹簧模型

在低频段，胎侧振动结构波的波长比地面到轮毂之间的距离长很多，而且在轮毂振动响应中，轮胎第一阶径向模态频率占主导成分，因此可以把轮胎视为一个单自由度质量-弹簧系统，如图3.8所示，胎面是质量，胎侧为弹簧。这个简化的质量-弹簧模型考虑了胎的径向刚度和垂向刚度，表达为（Kim et al.,2007a）

式中， K _r 和 K _t 分别为胎侧径向和切向刚度； v 为刚性胎面的垂向位移； M 为轮胎质量； θ 为圆周角； R _o 为外径。

这个模型计算得到的第一阶径向模态频率为

2．三自由度质量-弹簧模型

将胎体、轮辋和轮心分别视为三个质量，胎侧和轮辐视为两个弹性元件，构建了一个三自由度模型，如图3.9所示，动力方程为

式中， m ₁ 、 m ₂ 、 m ₃ 和 x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ 分别代表胎体、轮辋和轮心的质量和位移； k ₁ 代表胎侧刚度； k ₂ 代表轮辐刚度； c ₁ 代表胎侧阻尼； c ₂ 代表轮辐阻尼。

这个离散体模型可以用来求解低阶模态频率和计算传递率，特别对计算横向模态和传递率有用。

3．梁模型

在低频段（低于250Hz），声波沿着圆周方向传播时，轮胎类似于一个受到胎侧弹簧支承的张紧梁；在中频段（250～400Hz），结构波变为沿着胎带做纵向运动的弯曲波，类似于梁中传递的纵波，因此可以把胎带周向视为一个无限长的梁，或两边受到张力作用的有限梁，如图3.10所示，张力代表胎带周向承受的压力。梁的径向运动方程表达为（Kim et al.,2007a）

式中， w 代表轮胎的径向位移； E 为杨氏模量； I 为惯性矩； T ₀ 为张力； ρ 为密度； h 为板的厚度。

4．板模型

随着频率升高，波长缩短到与轮胎横向尺寸相当，轮胎内的波导从一维周向变成了二维的周向和径向，因此，必须考虑到轮胎的横向尺寸，用二维模型来表征轮胎，从一维到二维的频率转折点在300～400Hz。从胎带速度导纳统计数据来看，在250Hz以下时，导纳峰值阻尼很大，以member波为主导；在250Hz以上时，以弯曲波为主导，但是不能清晰地识别峰值。这种现象与无限板导纳的结果类似，胎面像一个二维弯曲波导。因此，可以将轮胎建成一个无限板模型，由胎面和胎侧组成的无限板简化为一个放置在弹性支承上的正交板，如图3.11所示，支承刚度由胎压和胎侧刚度决定。板模型的垂向运动方程为（Kropp，1999）

式中， ξ 为垂向位移，即轮胎径向位移； B _x 和 B _y 分别代表轮胎周向和轴向弯曲刚度； B _xy 为耦合刚度； T ₀ 为声腔空气产生的张力； 为每平方米单元上的作用力； m ′′为每平方米单元上的质量； ω 为角频率； s 为厚度。

除了平板模型外，还有很多其他板模型，例如，为了分析高频振动，胎肩曲率不能忽视，就构建出曲线平板模型，它可以分析周向和径向耦合振动；再例如，为了分析内部结构（如帘布层、钢丝圈等）对轮胎振动的影响，就有了双层或多层板模型。

5．环模型

梁模型和板模型的优点是结构简单，参数少，计算速度快，在一定频率范围内具备一定的精度。但是，这些模型与真实轮胎结构相差太远，忽略了圆周的周向曲率和胎面与胎侧之间的横向曲率，导致多数计算频率与实测值不一致；另外，它们没有体现出轮胎的几何外貌特征。为了克服这些缺陷，人们用二维环模型和三维壳模型来表征轮胎。

环模型和壳模型是最常用的轮胎模型，其形状与轮胎一样，呈现为圆形。二维环模型由外圆环、弹簧和内圆环组成，如图3.12所示，它们分别代表胎体、胎侧和轮辋。假设胎体每个横截面上的位移和变形相同，胎面、带束层和帘布层等就可以假设为一个质量圆环，这样，三维轮胎就可以用二维平面模型来表征。胎体承受气体的径向压力，周向（或切向）被张紧，即承受着切向力，因此环与轮辋之间用径向弹簧（ k _r ）和切向弹簧（ k _θ ）连接。铝合金轮辋的模态频率高于胎体模态频率，因此轮辋假设为刚性。

德国学者Boehm在1966年最早提出了环模型，他从声辐射角度来建立轮胎振动模型，认为胎侧对声辐射影响很小。在此基础上，一些学者，如Kropp（1999）、Heckl（1986）等，将胎面视为环形的欧拉-伯努利梁来分析轮胎的振动。Kung et al.（1986）将轮辋视为刚体质量 M ，而不是刚性边界，研究了环振动与轮辋质量的关系，发现轮辋质量只影响轮胎第一阶径向振动模态。

绝大多数学者建立的环模型是线性模型。有少数学者，如Vu et al.（2017），建立了非线性模型。基于铁木辛柯梁和有限位移，Vu（2017）建立了非线性环模型，用离散方法得到数值解并分析了轮胎在静态和旋转下的特征。

建立圆环模型的方法通常有三种：基于欧拉-伯努利（Euler-Bernoulli）假设的薄环理论、基于哈密尔顿（Hamilton）原理和基于拉格朗日（Lagrange）方法。例如，Huang et al.（1987a）假设平面截面在变形之后仍然是平面，忽略横向剪切变形，只在圆周方向有应变，得到了应变能、势能和动能，用哈密尔顿原理建立了动力学方程。

单层环模型的优点是简单，在400Hz以下，模型计算与试验结果接近。模型参数来自轮胎测量数据，所以计算结果只适用于特定轮胎。轮胎不同，模型参数就必须重新测量，因此单层环模型不具备推广意义。

为了克服这个缺点，有些学者建立了多层环模型。例如，O'Boy et al.（2009a；2009b）将胎面和胎带等分成了不同厚度和不同材料的几层，构建了多层黏弹性环模型，如图3.13所示。只要知道每层结构的材料参数，就可以预测轮胎振动响应。这种模型的优点是只需更换每个层的设计参数，就可以计算不同轮胎的振型、频率和波数，而不需要测试每个轮胎而获取参数。

6．三维壳模型

二维环模型只能用于分析周向和径向平面振动，而无法反映轮胎横向振动特征，当结构波频率升高，波长降低到与轮胎宽度一致时，波不仅在周向传递，也会在横向传播，另外，轮胎与悬架横向耦合振动并传递到车内形成结构声路噪非常普遍。

在二维模型基础上，考虑到横向尺寸，增加了横向刚度（ k _z ），将二维环模型扩展到三维壳模型，如图3.14所示。许多学者，如Kindt et al.（2009b）、Matsubara et al.（2013a；2015）、Kim et al.（2007a）、Lecomte et al.（2010a）、Liu et al.（2018）、Wei et al.（2009）、Yu et al.（2019）、Huang et al.（1987a）、Campanac et al.（2000）从不同角度建立了不同的三维轮胎模型。这些模型可以分成三大类，第一类模型是横向（轴向）运动与其他两个方向运动解耦，而且模型在轴向做刚体运动（Kindt et al.,2009b）。这是最简单的模型，在二维模型基础上，增加由胎侧横向刚度与轮胎质量组成的一个横向“质量-弹簧”单自由度系统。第二类是轴向运动与径向和周向运动解耦，但是轴向为柔性运动。第三类模型是横向运动与径向运动耦合，可以分析高阶横向弯曲振动。现在，第三类模型最多，模型越来越复杂，包括了更多的轮胎结构和参数，如轮胎厚度、横向-切向平面上的剪切应变、内部压力引起的横向应变、切向-横向预应力等，模型越来越接近实际结构。

建立三维壳模型的方法与二维环模型类似，有壳理论方法、能量分析方法、哈密尔顿变分原理、拉格朗日方法、欧拉-伯努利方法、基尔霍夫（Kirchhoff）方法等。

在圆柱坐标系（ z ， θ ， r ）下，胎侧刚度包括了轴向刚度、切向（周向）刚度和径向刚度，分别用 k _z 、 k _θ 和 k _r 表示；轴向、周向和径向位移分别为 u 、 v 、 w 。可以用壳理论来分析三维模型的运动和模态。考虑到径向或周向与轴向耦合，对自由振动而言，每个频率下的模态为简谐运动形式，位移是呈现周期性的和谐振动特征，三个方向的位移表达为

式中， U _mn 、 V _mn 和 W _mn 分别为轴向、周向和径向位移幅值； L 为模型的轴向宽度； m （ m =1,2,3，…）为径向模态数， n （ n =1,2,3，…）为轴向模态数。

在自由模型或约束模型的基础上，将旋转效应施加到模型上，就可以分析轮胎模态频率随转速变化趋势。模型旋转后，出现了离心加速度和哥式加速度，强迫径向振动与切向振动耦合在一起；同时，出现了多普勒效应，使得静态模型的重根模态分离。结构波在轮胎的两个方向传播，与旋转方向一致的波速度降低，而与旋转方向相反的波速度增加，静态时的驻波现象被打破。

三、半经验模型

环模型和壳模型等解析模型过于简单，模型参数与结构参数没有直接关系。这种模型只能给修改轮胎结构提供方向，而不能给出具体方案。有限元模型的自由度太多，计算量非常大，而胎带等非线性参数也难以获取。因此，在工程中，人们采用一种半经验模型，将有限元模型和解析模型的优点以及工程经验结合起来。半经验模型有FTIRE、CD-TIRE、RMOD-K、TNOSWIFT等。

与有限元类似，半经验模型也是将轮胎分离成一些小单元，通常将胎体划分为几百个有限单元，如图3.15所示的FTIRE模型（Dorf i et al.,2005）。胎侧是由非线性阻尼和非线性弹簧组成，胎面与地面接触用花纹块来表征，有剪切变形和压缩作用，而且胎面上有压力和滑移速度分布，所以这个模型可以用来模拟轮胎运转时与路面的相互作用。Dorf i et al.（2005）分析了在凸出块（cleat）作用下的运行模态。这种半经验模型包括了轮胎的结构参数，而且参数获取比有限元模型参数获取简单，因此对轮胎设计有直接指导意义。但是这种模型的颗粒度比较粗，属于大尺度（macro）级别，因此，它难以模拟胎面与路面之间的非线性接触，而有限元模型是可以模拟的。