第三节
悬架力识别

源的识别包括空气声噪声源识别和振动源识别。空气声路噪源在轮胎近场，很容易测量到，而结构声路噪激励源很难测量。从轮胎到悬架传递的角度来看，激励源是轮心力（悬架输入力），而从悬架对车身激励角度来看，激励源是悬架施加在车身上的力（悬架输出力）。这些力很难测量，因此振动源识别的关键就是识别悬架力。

一、悬架力及识别问题

1．悬架力

图2.14给出了力在悬架中的传递过程。路面与轮胎相互作用产生的力（ F _road ）传递到轮胎，经过轮胎的衰减或放大之后，在轮心处的力为 F _rim ，即为轮胎的输出力。 F _rim 传递到悬架时，它变成了悬架的输入力（ F _in 或 F ₁ ）。力在悬架的传递过程中还会有中间力，其中人们最关心的力是衬套两侧的力，因为这与衬套的隔振相关。输入力在部件S1（如摆臂）内传递，在部件S1和衬套连接点（2点）的力为 F ₂ ，经过衬套之后，在衬套与部件S2（如副车架）的连接点（3点）处的力为 F ₃ 。假设部件S2与车身刚性连接，因此 F ₃ 在部件S2内传递之后，到达它与车身的连接点，产生的力为 F ₄ 。 F ₄ 是悬架的输出力 F _out ，同时也是车身的输入力 F _body 。悬架中最重要的四个力列举如下：

悬架输入力 F _in （ F ₁ ）：来自轮胎，是轮胎振动控制的目标。

悬架输出力 F _out （ F ₄ ）：输出给车身，是悬架振动控制的目标。

衬套主动侧力 F ₂ ：输入给衬套的力。

衬套被动侧力 F ₃ ：衬套输出力。

我们把这四个力称为悬架力，其中输入力和输出力是工程师们最关心的，在论述力识别问题时，通常也是指这两个力的识别。衬套主动侧和被动侧的力属于悬架中间过程中产生的力，悬架中还有很多中间力。

图2.14中的1点承受了两个力，一个力是从悬架输入力传递到1点的力 F ₁ ，另一个力是衬套（弹簧）力传递到1点的力 F ₂ ，1点的速度为

式中， 是部件S1上1点的原点速度导纳， 是部件S1上2点到1点的跨点速度导纳。在本书后续内容中，在没有特别说明的情况下，速度导纳简称为导纳。

部件S1上2点承受两个力 F ₁ 和 F ₂ ，2点的速度为

式中， 是S1上2点的原点导纳； 是S1上1点到2点的跨点导纳。

部件S2上3点承受两个力 F ₃ 和 F ₄ ，3点的速度为

式中， 是部件S2上3点的原点导纳； 是部件S2上4点到3点的跨点导纳。

弹簧或衬套所受的力为

式中， K 是弹簧或衬套刚度；j是虚数单位； ω 是圆频率（角频率）。

部件S2上4点承受两个力 F ₃ 和 F ₄ ，4点的速度为

式中， 是部件S2上4点的原点导纳； 是部件S2上3点到4点的跨点导纳。

在车身上4点的速度为

式中， 是部件B上4点的原点导纳。

假设部件S1和S2都是线性系统，根据互逆原理，则 。将式（2.29）和式（2.30）代入式（2.31）中，得到

由式（2.32）和式（2.33），得到

将式（2.35）代入式（2.34），得到

将式（2.36）代入式（2.35）中，得到

2．悬架力的识别问题与方法

力的识别是悬架振动分析中最重要的问题之一。识别悬架力有四个作用：

第一，轮胎输出力是衡量轮胎振动的最终指标。输出力反映了路面激励和轮胎结构特征。同时，它也是悬架的输入力。悬架振动控制的第一步就是控制这个力。

第二，悬架输出力是衡量悬架振动的最终指标。它取决于输入力和悬架结构特征，同时，它又是车身的输入力。

第三，悬架输出力与输入力的比值称为力传递率。它是一个传递函数，反映了悬架的结构特征。在实际开发和研究工作中，先获取这两个力，再计算传递率。

第四，只有获取了悬架力，才能计算每条传递路径的贡献，这对结构声计算和贡献源分析至关重要。同时，悬架力是寻求最优控制路径的基石，即只有控制那些对车内结构声贡献大的路径和对应的悬架力，才能最佳地控制结构声路噪。

常见的悬架力识别方法有：直接测量法、刚度法和逆矩阵法。

3．悬架力的控制

轮心力是轮胎振动的一级指标，悬架输出力是悬架振动的一级指标。在输入力一定的情况下，悬架振动的最终目标是悬架输出力。力传递率是悬架振动传递的指标，它取决于悬架的结构特征，是衡量悬架衰减振动的最重要指标。

F ₁ 是悬架的输入力， F ₄ 是悬架的输出力，由式（2.37）可以得到悬架的力传递率为

传递率与衬套刚度、跨点导纳和原点导纳有关，因此降低力传递率的方法有三种：降低衬套刚度、改变结构模态和改变力的分布。

力传递率与衬套刚度（ K ）成正比，即刚度低，传递率低。通过降低衬套刚度的方法，可以控制悬架输出力。

传递率与部件的跨点导纳 和 成正比。跨点导纳分别反映了部件S1和部件S2的整体柔度或刚度，反映了部件结构模态特征。部件刚度大，柔度就低，传递率也低。所以，通过改变结构模态特征可以改变力传递率，从而控制输出力。

传递率与部件连接点导纳 和 成反比。提高部件连接点导纳，即降低原点刚度，传递率会降低。这里的原点与有隔振元件（如弹簧、衬套等）系统中所讲的原点不同，原点可以看成是这个系统中的一个柔性元件。对有隔振元件的系统，降低元件两边部件的原点刚度会使得系统隔振效果降低，第七章“悬架系统隔振控制”将专题讲述悬架衬套隔振问题。

虽然式（2.38）没有直接表征力的分布特征，但是通过改变力的分布，也可以实现传递率的控制。比如，某些路噪对横向力的敏感度低，而对垂向力敏感度高，那么通过调整结构来改变横向力与垂向力的分布，可以降低垂向力传递率。

本书后续章节将对这些方法展开分析。第六章“悬架系统振动模型与模态控制”将详细讲述悬架力控制与模态控制。

二、直接测量法

直接测量法是指在需要测试力的部位安装力传感器来直接测量力。图2.15显示在一个轮辋上安装了六分力传感器（应变片）来直接测量汽车运行工况下的轮心力和力矩。

直接测量法的好处是直接得到力，而不需要通过数据转换。但是，这种方法有很多缺点：第一，需要特殊的辅助设备，如图2.15中的特制轮辋，对于不同尺寸轮胎需制作不同工装，成本相对较高；而且有的地方无法安装力传感器，如悬架与车身的连接点。第二，改变了原系统的结构和质量分布，如在轮心处安装力传感器，工装轮辋刚度等属性不能完全等同实际轮辋。第三，多数力传感器适用的频率带宽上限比较低，比如50Hz，少数能达到500Hz。

另一种直接测量法是在系统上直接贴应变片，通过应力与应变的关系来获取力。现在更为广泛应用的是将应变片贴在受力点附近，首先测量力对应变的传递函数，然后测量运行工况下的应变，通过逆矩阵计算获取力。因为要采用逆矩阵法，所以这已经不能算严格意义上的直接法。

与使用加速度传感器相比，使用应变片有很多优点。应变片可以离激励点很近，获取的是局部信号，而不是整体信号，所测量的传递函数解耦更好，从而求逆过程中的病态问题小。

三、动刚度法

当两个部件用柔性元件（如悬置、衬套）连接时，可以用元件的动刚度和两侧响应来计算力，这种方法称为动刚度法。在图2.16中，衬套安装在1点和2点之间。悬架输入力传递到1点，激励衬套，1点是主动端。振动经过衬套后传递到2点，2点是被动端。过滤掉测量加速度信号中的直流成分，对它积分得到速度；然后过滤掉速度中的直流成分，再积分，得到位移。将衬套两侧的位移差乘以动刚度，就得到了衬套力，表达如下

式中， K _d 是衬套刚度； a ₁ 和 a ₂ 分别是衬套主动端（如悬架端）和被动端（如车身端）的加速度。

将式（2.39）转换到频域内，为

动刚度法的优点是直接、简单、便捷，而且便于获得衬套的隔振效果。缺点是只适合于刚度低的衬套，当衬套刚度太大时，力的误差大；而且只适合于衬套的线性段；另外，由于主动侧和被动侧的相位不一致，从而积分得到的位移与实际情况有偏差。

动刚度法只采用了隔振元件的刚度以及主动侧和被动侧的响应，因此，它无法用于计算悬架输入力和输出力。

四、逆矩阵分析法

1．逆矩阵分析与力的识别

对于一个系统或部件，如轮心区域、悬架与车身连接区域，在上面施加了 N 个力，有 m 个输出（如加速度），如图2.17所示。这些区域可以视为一个识别力的系统。

在1点的加速度是各个力传递到该点的响应之和，表达为

式中， a ₁ 是1点的加速度； F ₁ ， F ₂ ，…， F _N 分别是作用在系统上的力； H ₁₁ ， H ₁₂ ，… H _{1 N} 分别是 a ₁ 对这些力的传递函数。

同样，对第2点和第 m 点的响应为

将式（2.41）写成矩阵形式，为

式（2.42）改写为

式中， A 、 H 和 F 分别为加速度响应向量、加速度响应对力的传递函数矩阵和激励力向量。

加速度和传递函数是容易测量的量，而力（特别是悬架力）难以测量，因此，可以用测量数据来计算力，这是MIMO系统中的第二类问题。

为了避免矩阵求逆带来的病态问题，加速度信号数量要大于力信号数量，通常响应信号数量是激励力的两倍以上，即 m ＞2 N ，方程（2.43）构成了一个超正定方程组。

矩阵 H 为 m × N 矩阵，因此必须将之转换成方阵，才可以求逆。由式（2.43）得到力向量为

式中， H ⁺ 为矩阵 H 的伪逆矩阵，表达为

理论上，通过式（2.47）就得到了施加在结构上的力。这种通过求逆矩阵获取力的方法称为逆矩阵法。

从图2.17中可以知道，用逆矩阵来识别力只需要被动一侧的响应，不需要衬套刚度值。轮心和车身上通常没有衬套或者它们的刚度非常大，因此，这种方法被广泛用来识别悬架输入力和悬架输出力。

但是这种方法需要传递函数，而响应点之间的距离近，彼此信号相关，即导致了传递函数矩阵 H 中的参数相关。 H _s = H ^T H 是 N × N 的方阵，理论上可以求逆，但是矩阵中相互关联的数据可能使得它变成奇异矩阵，即存在矩阵的病态问题。从数学角度来看，矩阵的病态性表现为它的条件数过大；从物理角度来看，病态性是由于矩阵丢失了部分有用的信息。

为了解决奇异矩阵的病态问题，最常用的方法是用奇异值分解。

2．奇异值分解

奇异值分解（singular value decomposition，SVD）方法可以用来解决病态矩阵带来的力计算误差。

对任何一个矩阵，如上面的传递函数矩阵 H ，设这是一个 m × N 维的矩阵，可以进行如下奇异值分解

式中，上标“H”表示共轭转置； U 是 m × m 维酉矩阵（unitary matrix）； V 是 N × N 维酉矩阵； Σ 是 m × N 维对角矩阵，即非对角线上的值都是零，对角线上的值为矩阵 H 的奇异值，表达为

酉矩阵 U 和 V 自身存在以下关系

奇异值分解可以由特征值分解开始

由式（2.49）可知，矩阵 H 的非零奇异值的平方等于矩阵 H ^H H 或 HH ^H 特征值。矩阵 U 由矩阵 HH ^H 的特征向量组成，矩阵 V 由矩阵 H ^H H 的特征向量组成。

3．力的计算

将式（2.49）和式（2.52）代入式（2.48）中，得到矩阵 H 的伪逆为

将式（2.53）代入式（2.47），得到力

为了避免 H ^H H 求逆带来的病态问题，就必须使得其条件数满足一定要求。一个矩阵（如 H ）的条件数等于它的范数与逆矩阵的范数的乘积。矩阵的范数有三种，对应的条件数也有三种，即1范数cond( H ) ₁ 、2范数cond( H ) ₂ 和无穷大范数cond( H ) _∞ 。通常使用2范数的条件数，即

条件数表示了矩阵计算对误差的敏感程度，是判断一个矩阵病态程度的度量值，条件数越大，矩阵病态程度越大。只有当条件数小于某个值时，才能对矩阵求逆。用SVD方法，条件数等于最大奇异值与最小奇异值之比，或者是矩阵最大特征值与最小特征值之比的平方根，即

式中， λ _max 和 λ _min 分别是矩阵的最大和最小特征值。

在满足条件数的前提下，通过矩阵求逆而得到了作用在系统上的力。

4．案例：悬架输入力识别

逆矩阵方法可以用来识别悬架输入力和输出力。下面以求解悬架输入力来说明逆矩阵识别力的应用，过程如下。

第一，确定测量传递函数的激励点。由于轮心（转向节）连接的部件比较多，很难在轮心处施加力来测量加速度对轮心力的传递函数。因此，选择一个离轮心（ C 点）近而力锤容易工作的点作为测量传递函数的施力点（ D 点），如图2.18a所示。

第二，在轮心附近布置若干个加速度传感器。轮心处有三个力和三个力矩，而 D 点只有三个方向的力。为了避免测量的传递函数矩阵在求逆过程带来病态问题，通常在轮心附近布置3个或4个三向加速度传感器，响应数为9个或12个，如图2.18b所示。传感器之间距离不能太近，而且分布不能在一个平面上。

第三，传递函数测量。测量加速度对 D 点激励力的传递函数。

第四，用逆矩阵法计算 D 点的受力。在运行工况下，测量加速度响应，然后用上述逆矩阵方法求解 D 点的力 F _D =( F _Dx , F _Dy , F _Dz ) ^T 。

第五，通过空间几何变换得到轮心力和力矩 F _C =( F _Cx , F _Cy , F _Cz , M _Cx , M _Cy , M _Cz ) ^T ，为

式中， d _x 、 d _y 、 d _z 分别是 D 点与 C 点在 x 、 y 、 z 三个方向的距离。

图2.19是通过上述方法求得的一辆SUV前悬架的轮心力和力矩。力和力矩主要集中在40Hz以下的低频段，在20～40Hz范围内，最大激励力为25N，最大力矩为4.5N·m；频率低于20Hz时，激励力可以达到100N以上，力矩超过16N·m。随着频率增加，激励迅速衰减，在100Hz以上，激励力和力矩很小。

逆矩阵方法的优点是只需要测量系统一侧的传递函数和响应。有衬套的地方，不需要衬套刚度；在没有衬套的地方，也可以识别出力。 /cQO3EKMLDUxQXkhP4KWOB2cLg+VxAEAaso+Gs9XO+7RJ6rKEeMnwKr3+Qba8LZn