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电路性能除了与电路中元件自身的特性有关外，还与这些元件的连接方式有关，或者说，它要受到来自元件特性和连接方式两方面的约束，分别称为元件约束和拓扑约束。德国大学教授基尔霍夫提出了两个用于描述集中参数电路拓扑约束关系的基本定律，分别称为基尔霍夫电流定律（也叫作基尔霍夫第一定律）和基尔霍夫电压定律（基尔霍夫第二定律）。这两个定律构成了电路分析的基础。
基尔霍夫（Gustav Robert Kirchholf，1824—1887）是德国物理学家，出生于东普鲁士的一个律师家庭，他大学毕业后即在柏林担任讲师。基尔霍夫不仅闻名于物理学界，还在工程界、化学界享有盛誉，化学元素铯和铷就是他和德国化学家本生（Robert Bunsen）合作发现的。
学习基尔霍夫定律要用到一些图论中的概念，它们是节点、支路、路径和回路。下面就介绍一下这些概念。
“图”中的每个线段叫作一条支路，而线段的连接点则叫作节点。对照图1-29a中，可见每条支路对应着电路图中的一个二端元件，每个节点则对应着电路中任何两个或两个以上元件的连接点。图1-30b中的a、b、c、d、e、f是支路，1、2、3、4、5是节点。应该注意到，每个元件各端均有一个节点。
图1-30 电路和对应的“图”
从网络中任何一个节点开始，经过一个支路到达另一个节点，再从该节点出发，经过另一个与先前支路不同的支路到达下一个节点，依此类推，直至到达目标节点，如果除起始节点和目标节点以外每个节点都是只经过了一次，那么所经过的这组支路和节点就构成了一条路径。如果一条路径的起始节点和目标节点相同，形成了闭合路径，这条路径就叫作回路。图1-30中顺次经过节点1、2、3、1的路径就是一条回路。注意：回路必须首先构成一条路径，否则即使首尾节点相同，也不能称为回路。
需要指出的是，划分节点和支路的方法并不是唯一的，有时根据计算的需要，可能把几个节点和支路合并看作一个节点，将图进一步化简。例如在图1-30中，如果把a—e—d看作一条支路，b—c看作另一条支路，而节点数将变为两个，至于节点2、4、5的电压则可以使用欧姆定律求出。简单地说，通过电流相同（不是相等）的几个支路可以看成是一条支路，而电压相同（不是相等）的几个节点也可以看成是一个节点。
基尔霍夫电流定律（简写为KCL）的内容是：对任何电路，在任意时刻，对任意节点，流入（或流出）电流的代数和为零。
根据电荷守恒原理可以推导出基尔霍夫电流定律，因为节点没有存储、消灭或产生电荷的能力，所以流入某一节点的电荷必然等于流出该节点的电荷，或者说流入节点的电流恒等于流出节点的电流。
在图1-31中，根据基尔霍夫电流定律有
可以简写成
列KCL方程时，应先在电路图上设定支路电流的参考方向。然后对流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，按“流出节点的电流代数和”方式写出KCL方程；也可对流入节点的电流取正号，流出节点的电流取负号，按“流入节点的电流代数和”方式写出KCL方程。两种方式所得到的结果相同。
基尔霍夫电流定律也能推广用于电路中任一假设的封闭曲面，对于图1-32，只要把其中虚线所示的封闭曲面看作一个大节点，直接应用KCL，就可以列出如下方程：
i a + i b + i c =0
图1-31 基尔霍夫电流定律
图1-32 KCL用于封闭曲面
当然，这时只能得到电流 i a 、 i b 、 i c 的关系，无法得到封闭曲面内部的电流关系。如果要求解封闭曲面内部的电流关系，就必须针对内部的3个节点a、b、c分别列出KCL方程。
对电路中的节点a、b和c列出相应的KCL方程如下：
i a = i 1 -i 3
i b = i 2 -i 1
i c = i 3 -i 2
把它们相加可以验证上述推论。
基尔霍夫电压定律（简写为KVL）的内容是：对任何电路，在任意时刻，沿任意闭合路径巡行，各段电路电压的代数和为零。
在图1-33中，按照基尔霍夫电压定律，对于左边的方格，有如下关系：
图1-33 基尔霍夫电压定律
u S1 -u 2 -u 5 + u 1 =0
推广到一般意义上，则有
简写为
回忆1.2.4节关于电势的描述，电势的大小只与电场本身的特性有关，电场中的相同点具有相同的电势，因此电路中任何两点之间的电压就仅仅与这两个点的位置以及电源的状况有关，或者说，任意两点之间的电压与电荷移动路径无关。再考察闭合回路的定义，闭合回路是起点和终点相同的路径。A点与A点之间的电位差（即电压）当然等于零。
在电路中应用KVL时，可采用下面的简便方法，按照顺时针走一个闭合路径，如果先遇到元件电压的“+”端，就直接加上它的电压；如果先遇到元件电压的“-”端，就减去它的电压。按照此方法，在图1-33中右边的方格中，很容易得到另一个表达式为
-u 5 + u 3 + u S2 -u 4 =0
让我们从另一个角度来看看，沿着绕行方向，由元件电压的“-”端到“+”端，表明电位升高，称为电位升；由元件电压的“+”端到“-”端，表明电位降低，称为电位降。所以KVL又可以写成下列形式：
式（1-20）表达了KVL 的另一种表述：对于电路中的任一回路，在任意时刻，总的电位降等于总的电位升 。电位降低，表示元件吸收电能；电位升高，表示元件提供电能。因此，KVL实质上是能量守恒原理的体现。
基尔霍夫电压定律不仅适用于闭合回路，还可以推广用于不闭合回路，应用时只要将开口处的电压列入方程即可，例如，把图1-33左侧支路断开，就可以得到图1-34所示的不闭合回路。
图1-34 基尔霍夫电压定律用于不闭合回路
对左边方格从a点开始沿顺时针方向巡行一周，即可得到KVL方程为
u 2 + u 5 -u 1 -u ab =0
把上述方程改写为
u ab = u 2 + u 5 -u 1
类似地，沿最外圈巡行一周将会得到类似的表达式为
u ab = u 2 + u 3 + u S2 -u 4 -u 1
u ab 的两个表达式说明，a、b两点之间的电压 u ab 等于从a点到b点的任何路径上各段电压的代数和。两点间的电压等于两点间任何路径上各段电压的代数和，从电势的角度来说，就是不论沿着哪一条路径计算，两点之间电势差不变。
有源电路欧姆定律和全电路欧姆定律是欧姆定律在带有电源的电路中的表现形式，可以根据基尔霍夫电压定律以及欧姆定律推导出来。可以把这两个定律看作基尔霍夫电压定律的应用，下面给出推导过程。
对图1-35a所示电路应用KVL，首先假定存在一个从A点到B点的虚拟支路（这个支路是我们想象出来的，我们并不关心这个支路究竟是什么样子），并假设该支路的电压（即A、B两点间的电压）为 u AB ，参考方向如图中箭头所示。
图1-35 有源电路欧姆定律和全电路欧姆定律
根据欧姆定律得到电阻上的电压为
u CB = IR
再应用KVL定律，从A点出发，沿电流方向，经C点、B点，再回到A点，得到
u S + u CB -u AB =0
或者
式（1-21）叫作 有源电路欧姆定律 。
对图1-35b所示电路应用KVL则可以得到全电路欧姆定律，所谓的全电路是指一个由电源和负载组成的单一闭合回路。在图1-35b中，首先假定A、B、C、D各点之间电压及其参考方向如图所示，再从A点出发，沿电流方向，经B点、C点、D点，回到A点，列出回路的KVL方程为
u S2 + u BC + u CD -u S1 =0
或者
u S1 -u S2 = I （ R 1 + R 2 ）
式（1-20）可以推广到多个电源和多个电阻的情形，即
式（1-22）称为 全电路欧姆定律 ，它也可以写成如下表达式：
这表明单一闭合回路中的电流与回路中的全部电源电动势的代数和成正比，与回路中全部电阻之和成反比。
【 例1-6 】求图1-36a所示电路中各元件吸收的功率。
图1-36 例1-6图
【 解 】为电路设定参考电流 i 方向如图1-36b所示，这是一个单回路电路，在两个电阻上的电压设为电流 i 的关联参考方向，分别为 u A 和 u B 。
对这个闭合回路使用KVL，得
-2 u A + u A + u B -24V=0
根据欧姆定律，有
u A =3 i
u B =6 i
其电流为
-3 i +6 i -24=0
所以
i =8A
u A =3Ω×8A=24V
因为24V电压源的电压参考方向和电流参考方向为非关联参考方向，所以它的吸收功率为
P 24V = -u S i =-24V×8A=-192W
受控源的电压参考方向和电流参考方向为关联参考方向，所以它的吸收功率为
P dep =（-2 u A ） i =（-2×24V）×8A=-384W
可见实际上电压源和受控源都是在释放电功率。
要注意在计算电压源和受控源时所用负号的意义是不同的，电压源所用的负号是由于电压和电流的非关联参考方向而引入的，而受控源的负号是由于受控源本身的负号引入的。
3Ω和6Ω电阻吸收的功率为
P 3Ω =3 i 2 =3×8 2 W=192W
P 6Ω =6 i 2 =6×8 2 W=384W
从上面的计算可知，电路中电压源和受控源所释放的总功率等于所有电阻所吸收的功率，这种现象称为电路的功率平衡。
下面我们使用LTspice来对例1-6进行仿真，检验计算是否正确。
如图1-37所示，首先在LTspice中画出原理图，为了便于对应例题中的节点，需要在原理图中标记节点A。方法是单击工具栏“标记网表”（Label Net）按钮
，在弹出的“网表名”（Net Name）对话框中填入字母“A”，再把带有A的标记框连接到电阻R2上方的节点。
然后单击“运行”按钮
，在弹出的“编辑仿真命令”（Edit Simulation Command）对话框中，选择“直流仿真”（DC op pnt）标签，单击下面的“OK”按钮。
图1-37 标记节点A，运行直流仿真
运行直流仿真后，输出的结果如图1-38所示。
图1-38 直流仿真的输出结果
对照计算结果，仿真输出中的V（a）=24V，符合计算结果 u A =24V；仿真的电流I（E1）=8A，符合计算结果 i =8A。其他节点电压同样可以一一验证，电压、电流都相等，功率也必定相等。计算结果符合仿真结果，说明计算正确无误。
