3.1
电容

实际电容器是在两片导电层中间填充绝缘层所构成的，例如两个金属极板中间被空气隔离，就成为一个最简单的电容器，如图3-1所示。在外电路的作用下，施加了正电压的极板上的电子被移走，导致该极板带正电荷+ q ；同时，施加了负电压的极板上则移来了相应数量的电子，导致该极板带有等量的负电荷 -q 。显然，施加的电压越大，相应被移走的电子就越多，电容器两个极板上积累的电荷量也就越大。同时，电容正负极板上的电荷必然形成电场，我们知道电场能够存储能量，所以 电容能够存储电场能 。

实际电容器的理想化数学模型叫作电容元件。我们用电容两个极板所带电荷量与其端电压之间的关系来表征电容器的外特性，即

式中， q 为电容两个极板所带电荷量，单位为库仑（C）； u 为外加电压，单位为伏特（V）；系数 C 称为电容元件的电容量，单位为法拉（F），简称法，1F=1C/V。除了法拉以外，常用的电容量单位还有微法（μF）和皮法（pF），它们之间的关系如下：

1F=10 ⁶ μF=10 ¹² pF

电容元件的定义是：一个二端元件，如果在任意时刻，其电荷量与其端电压能用电荷-电压（ q-u ）平面上的曲线确定，就称其为电容元件（简称电容）。显然，这种定义并没有要求 q-u 关系必须是直线，也没有要求这个曲线必须与时间无关，所以该定义包含了非线性、时变的电容。但是在实际使用中，我们更常用的是线性非时变电容元件，书中如不特别指明，“电容元件”均指线性非时变电容元件。线性非时变电容元件的电路符号和 q-u 关系曲线如图3-2所示，从图中可知， 线性非时变电容元件的电容量 C 为常数 。

电容器两个极板之间的这种电荷移动并未穿过极板之间的绝缘介质，但我们的确看到了电荷的移动，由于这种电荷移动而产生的电流称为位移电流。根据电流定义公式很容易得到通过电容的位移电流与电容元件两端的电压之间的关系，即

式（3-2）称为 电容元件伏安关系的微分形式 ，它表明， 流过电容元件的电流与该时刻电容两端电压的变化率成正比 。在直流电路中，电容元件端电压 u 恒定，电流 i =0，电容相当于开路；在电容元件端电压变化的电路中，电压 u 的变化率不等于0，电流 i 不等于0。所以电容元件不允许直流电流流过，却能够允许交流电流流过，即具有 隔直流、通交流 的特性。电容允许交流电流通过的前提是电容两端必须存在交流电压，这与导线上没有压降地通过电流的特点不同，所以 更准确的说法应该是隔直流、阻交流 。

根据式（3-2），显然如果电容两端的电压发生跃变，将会产生无限大的电流，而这在物理上是不可能实现的，所以 电容两端的电压不能跃变 ，这是电容元件一个十分重要的特性。

对式（3-2）变形，得

对式（3-3）从-∞～ t 进行积分，并设 u （-∞）=0，这个假设通常是合理的，所以

如果从 t ₀ 时刻开始观察，并假设 t ₀ 时刻电容两端电压为 u ₀ ，则

写成简化形式为

式（3-4）称为 电容元件电压-电流关系的积分形式 ，其中 u ₀ 称为电容的初始电压。它表明任意时刻 t 的电容电压不仅取决于当前电流值，还与该时刻以前电流的“全部历史”有关。或者说， 电容电压“记忆”了电流的作用效果，所以称电容为记忆元件 。而电阻元件任意时刻 t 的电压值仅取决于该时刻的电流的大小和方向，而与其历史情况无关，因此电阻不是记忆元件。

如图3-2所示，如果设定电容两端的电压、电流为关联参考方向，则电容元件的吸收功率为

要注意电容的功率可正可负，功率正值表明电容此时在吸收功率，功率负值表明电容此时在释放功率。

对功率从-∞～ t 进行积分，并假定 u （-∞）=0，可得 t 时刻电容上的储能为

写成简化形式，就得到任意时刻电容的储能为

式（3-6）表明，电容的储能与电容两端电压的二次方成正比。端电压 u 升高，电容所带的电荷量 q 增加，同时电容存储的电场能也增加，这些电荷和能量都来自外电路，或者说外电路向电容充电；反之，端电压 u 降低，电容所带的电荷量 q 减少，同时电容存储的电场能也减少，电容向外电路释放电荷和能量，或者说电容向外电路放电。 在端电压交替变化的电路中，电容总是交替处于充、放电的过程之中。在这个过程中，（理想）电容并未消耗能量，仅仅是在存储和释放电能。

【 例3-1 】已知一个200μF电容器两端的电压如图3-3a所示，求：

1）流过该电容器上的电流。

2）该电容器在哪一时刻存储的能量最大？并求出这个最大的能量值。

【 解 】

1）根据图形可以写出电容电压的函数表达式为

利用电容电流微分公式 ，并将 C =200μF代入得

所以得到电流的最终表达式为

最后，据此画出电容电流的波形如图3-3b所示。

2）根据电容器两端的电压波形，可知在 t =1s和 t =3s时电容器两端电压的绝对值达到最大（50V），此时电容器的储能也达到最大。其能量值为

即电容器储能的最大值是0.25J。

读者可能很关心的一个问题是，学习电容的目的是什么，或者说电容究竟能做些什么？要想回答这个问题，就必须清楚电容具有哪些特性，应用电容的过程就是利用电容特性的过程。例如，电容储存电能的特性，可以用于闪光灯、大型激光器上，通过瞬间放电的方式，获得强烈的闪光效果；使用电池的电子设备可以把电容作为临时的电源，在更换电池时，电容的能量可以确保设备所存储的资料不会丢失；如果在电压高的时候把电能存储到电容中，电压低的时候把电能释放出来，还可以实现电压的平滑；更进一步，还可以利用电容的存储电荷的特征来保存资料。再比如，利用电容隔直流、通交流的特征，可以实现直流和交流信号的分离，等等。

下面通过LTspice仿真验证例3-1的计算结果。

构造实验电路很简单——只要给一个电容器串联一个电压源即可。与前面的不同点有两个：

一是电容器的单位μF，在LTspice中用小写字母u表示，所以只要在电容器的电容量（Capacitance）栏填入200u即可。

二是图3-3a所示的电压源如何产生。方法如下：右键单击电压源，在弹出的对话框（见图3-4）中单击“高级”（Advanced）按钮，随后弹出对话框如图3-5所示，在Function列表中选择PWL（t1 v1 t2 v2...）。PWL的含义是“分段线性”（Piece-Wise Linear），用来描述由多个直线段所组成的信号。对于图3-3a所示电压，用各个转折点即可准确表示（0s时刻电压为0V，1s时刻电压为50V，3s时刻电压为-50V……），这些值需要一一填入对话框，如图3-5所示。

最后，因为电源不是直流电源，也就不能再使用直流仿真了，应该使用“瞬态”（Transient）仿真。方法是：单击工具栏的“运行”（Run）按钮 ，在弹出的“编辑仿真命令”（Edit Simulation Command）对话框中，选择“瞬态”（Transient）选项卡。在瞬态仿真时，需要指定仿真的“截止时间”（Stop Time），针对本例题的输入电压，选择5s是合适的，所以在“Stop Time”栏填入“5”。单击下面的“OK”按钮，开始仿真过程，如图3-6所示。

最终在LTspice中所得到的原理图如图3-7所示，其中电压源的值说明该电压源是一个分段线性电压源，转折点为（0，0）、（1，50）、（3，-50）、（4，0）。

Spice命令“.tran 5”则表明要运行的是瞬态仿真，截止时间为5s。

仿真完毕后，将鼠标悬浮在节点或导线上，此时鼠标将会变为红色电压探测器图标 ，此时单击鼠标左键，就会在波形观察屏幕看到该节点相对地的电压信号；将鼠标悬浮在元件上，则会出现电流探测器图标 ，此时单击鼠标左键，就会在波形观察屏幕看到流过该元件的电流，电流探测器上的红色箭头方向代表电流的方向。如图3-8所示，其中的两条线分别代表电源电压和电容电流。