电路与模拟电子技术：原理、仿真与设计最新章节_胡世昌著

2.3
线性系统法

2.1节和2.2节分别讲述了等效变换法和网络方程法，其中等效变换法关注串联、并联等电流和电压分配的概念，网络方程法关注节点、支路、回路等网络概念。二者的关注点虽有不同，其根基却都是基尔霍夫定律，都是从结构角度看电路，把电路看成是元件的连接。

本书第1章还指出，除了从结构角度看电路、从而把电路看成是元件的连接之外，还可以从功能角度看电路，从而把电路看成实现激励和响应之间变换关系的系统。一个复杂的系统又可以分解为多个子系统，子系统与子系统之间通过信号相互关联。

例如，图2-27中，整个系统的输入信号是 x ，输出信号是 y ；该系统又可以分解为两个子系统，子系统1把信号 x 变换为信号 y ，子系统2把信号 y 变换为信号 z 。对子系统1而言， x 是输入信号， y 是输出信号，表达成函数就是 y = f ₁ （ x ）；对子系统2而言， y 是输入信号， z 是输出信号，表达成函数就是 z = f ₂ （ y ）。信号 y 既是子系统1的输出，又是子系统2的输入。

图2-27 用框图表示系统的分解

第1章指出，在系统理论中，线性系统理论最简单最成熟，它还是解决非线性理论的基础。这么重要的理论当然应该“为我所用”，来分析我们遇到的各类电路。把线性系统理论用到线性电路中，就形成了线性电路理论，它是我们必须熟练掌握的知识。

线性电路的基础理论是叠加定理，从叠加定理出发，还可以推导很多其他的电路定理。请读者牢记，线性分为齐次性和叠加性，它是线性系统最根本的特性，也是线性系统的定义。本节将运用线性电路理论来分析线性电阻电路，这类电路只包含线性电阻、线性受控源和独立源3种元件。

2.3.1 线性电阻电路叠加定理

叠加定理指出，在含有多个独立电源的线性电阻电路中，任何一条支路上的电压（或电流）等于各个独立电源单独作用时在此支路上所产生的电压（电流）之和。想要得到某个独立源单独作用时的响应，就必须保留该独立源，而将其他独立源置零（独立电压源短路，独立电流源开路）。在得到了所有单个独立源的响应之后，再将每个单独的响应代数相加，从而得到总的响应。

【 例2-12 】设图2-28a中， R ₁ =6Ω， R ₂ =4Ω， R ₃ =9Ω，电压源 U _S =3V，电流源 I _S =2A，求电流 I 的值和电阻 R ₃ 上的功率。

图2-28 两个独立源单独作用的响应的叠加

【分析】图2-28a中，两个电源共同作用在电阻 R ₃ 上产生的电流 I ，等于每个电源分别作用在电阻 R ₃ 上产生的电流的代数和。图2-28b将电流源开路，求取电压源单独作用时的响应 I ′；图2-28c将电压源短路，求取电流源单独作用时的响应 I ″。按照叠加定理可以按照如下公式计算电流 I ：

I = I′ + I ″

【解】根据叠加定理，使3V电压源和2A电流源分别单独作用，总电流就等于各个电源单独作用时的电流的代数和。

3V电压源单独作用时，可得到如图2-28b所示的电路，按照串联电阻等于所有电阻之和的规律，可计算电流 I ′为

2A电流源单独作用时，可得到如图2-28c所示的电路，按照并联电阻分流公式[见式（2-5）]，可计算电流 I ″为

使用叠加定理得

I = I ′+ I ″=0.3A+0.8A=1.1A

电阻 R ₃ 上消耗的功率为

P ₃ = I ² R ₃ =1.1 ² ×9W=10.89W

千万注意，功率不是线性响应，所以不能对功率的计算使用叠加定理。请读者验证一下，首先分别计算电压源单独作用时的功率和电流源单独作用时的功率，再把这两个功率加起来，将会发现分别计算所得到的功率之和，不等于前面计算得到的功率 P ₃ 。

【 例2-13 】设图2-29中， R ₁ =6Ω， R ₂ =3Ω， R ₃ =1Ω，电压源 U _S1 =6V， U _S2 =12V，电流源 I _S1 =3A， I _S2 =2A，求电流 I 和电压 U _ab 的值。

【分析】图2-29中有4个独立电源，如果按照叠加定理原始文字所表述那样，就需要分别计算 U _S1 、 U _S2 、 I _S1 、 I _S2 单独作用时所产生的响应分量，再做叠加。因为对每个单独作用的独立电源，都需要画出对应的电路图才能求解，所以就必须针对4个电路图单独求解。这个工作量太大，反而不如不用叠加定理，直接使用网络方程法也不会更麻烦。我们学习各种方法，不是为了显示自己懂得多，而是希望更加简单方便，越做越麻烦显然不是学习和应用叠加定理的目的。

图2-29 多个电源共同作用的叠加定理

如果我们不拘泥于字面的话，仔细思考，就可以知道叠加定理的本质是告诉我们 ——每个独立源产生的彼此独立的响应可以叠加。线性电路任何时刻任何一点“总的响应等于每个独立源单独作用时对应的响应分量的代数和”这句话所强调的不仅仅是响应可叠加，还包含了“每个独立源的响应分量彼此独立”这个含义。实际上，从线性系统的齐次性——即任何响应分量与产生它的独立源的激励值成正比例（这个响应分量显然与其他激励源无关）——出发，也可以得到“每个独立源的响应分量彼此独立”这个结论。既然如此，这种叠加就不必要求单独计算每个独立源的响应分量，如果方便的话，完全可以把共同作用的多个独立源分解为几部分（每部分可以包含多于一个独立源），然后分别计算每部分独立源所对应的响应分量，再相加即可。所以，叠加定理也可以这样应用——全部独立源在任何时刻任何一点所产生的总的响应等于每部分独立源所产生的响应分量的代数和。这个结论在第1章已经指出了。

在这个结论的基础上，我们就可以找到简单方法解决这个问题。注意到图2-29中，如果把电流源 I _S1 作为一个部分，其余3个电源作为另一个部分，就可以得到两个电路，一个是电流源 I _S1 单独作用时的电路，另一个是 U _S1 、 U _S2 、 I _S2 共同作用（即电流源 I _S1 不作用）时的电路，如图2-30所示。这两个电路都很容易求解，电流源 I _S1 单独作用时的电路如图2-30a所示，这已经是一个简单的串并联电路了；电流源 I _S1 不作用的电路如图2-30b所示，此时，由于电流源 I _S1 开路，左右两部分电路之间只有一根导线相连，无法形成回路，所以两部分电路彼此独立，左侧回路中的电源无法影响右侧电路中的电压和电流，右侧回路中的电源也无法影响左侧电路中的电压和电流。

【解】根据叠加定理，图2-29所示电路中4个电源共同作用的响应，等于电流源 I _S1 单独作用的响应，与电流源 I _S1 不作用而其余3个电源共同作用的响应，这两个响应分量的代数和。于是得到图2-30中的两个电路，下面分别求这两个响应。

图2-30a所示电路中，各元件之间关系是 R ₁ 、 R ₂ 并联之后再与 R ₃ 串联，按照串并联公式即可计算电流源 I _S1 单独作用时产生的响应分量为

图2-30 总响应等于每部分响应的叠加

图2-30b所示电路中，左、右回路彼此独立，计算 I 的分量 I ″无须考虑右回路，所以

U _ab 在图2-30b中的分量等于a点与b点的电位差，所以

最后，把两部分响应分量叠加，得到总的响应

2.3.2 戴维南定理与诺顿定理

叠加定理给出了线性电路中激励和响应之间的关系，不过，如果我们被限制为只能使用叠加定理来计算电路中的响应的话，就会遇到理论上的困难。比如说，电网里面有很多发电设备（独立电源），各种各样的发电设备通过结构复杂的电网连接到一起，用电设备（负载）通常连接到电网上，在这个有着多个电源的网络里面，怎样计算负载上的响应？

显然，此时不能使用叠加定理，因为从用电设备（负载）的角度来看，根本无法知道电网里究竟有多少个发电设备（独立电源），所以，也就不能分别计算每个独立电源所对应的响应，叠加自然也就无从谈起。

不过读者似乎没有受到这个问题的影响，因为电网电压是一定的，用这个电压作为电压源就可以了。问题是，这是个让我们直接接受的结论，其理论依据却没有告诉我们。而一旦明白了这个结论的理论依据，就可以把这个方法用到类似电路的分析中去。

1．戴维南定理和诺顿定理的定义与证明

戴维南定理可表述为：任何线性含源二端电阻网络N，均可等效为一个理想电压源 u _OC 与电阻 R ₀ 的串联；其中 u _OC 是网络N的开路电压， R ₀ 是网络N中的全部独立电源都置零后的等效电阻。

线性网络N可以包括线性受控源，但该受控源的控制量必须也在网络N中，而且网络N中还不能含有外界受控源的控制量。也可以这样说，线性网络N与外部电路的耦合关系只能通过二端网络N的两个端点上的电压和电流来实现。在这个意义上，戴维南定理也叫作有源二端网络定理。

理解戴维南定理还要注意的一点是， R ₀ 是网络N中的全部独立电源都置零后得到的等效电阻，不要把网络N内部的受控源置零。

根据戴维南定理求出的等效电路称为戴维南等效电路，如图2-31所示，从图中可见，戴维南等效电路是一个实际电压源，因此戴维南定理也可以表述为：任何线性含源二端网络都可以等效成一个实际电压源。在这个意义上，戴维南定理也叫等效电压源定理。

图2-31 戴维南等效定理

下面根据叠加定理和替代定理证明戴维南定理。

首先注意到，戴维南定理强调的是“等效”，这就说明，用戴维南等效电路替换线性含源二端电阻网络N之后，对于任何外加负载，端口上的电压电流关系应该保持不变。

【 例2-14 】证明戴维南定理。

设线性含源二端电阻网络N与负载网络相连，如图2-32a所示，此处对负载网络没有要求，它可以是线性或非线性、含源或无源均可。设两个网络连接端口的电压为 u ，电流为 i ，根据替代定理，可以用理想电流源 i _S = i 替代负载网络，从而得到如图2-32b所示的电路，这一替代不会影响网络N中的电压和电流，我们用替代后的电路图2-32b来计算网络N端口上的电压 u 和电流 i 之间的关系。

图2-32 用叠加定理和替代定理求端口电压

图2-32b中，只包含网络N中的线性电阻元件、网络N中的线性受控源、网络N中的独立源，以及网络N外部的独立电流源 i _S 。它是一个线性电路，可以使用叠加定理，根据叠加定理，端口电压 u 等于网络N中的全部独立源所产生的响应 u ′，以及网络N外部的独立电流源 i _S 产生的响应 u ″的叠加。

欲求网络N中的全部独立源所产生的响应 u′ ，应将独立电流源 i _S 所在支路断开，从而得到图2-32c，显然，此时的端口电压 u′ 就是网络N的开路电压 u _OC 。

u′ = u _OC

欲求网络N外部的独立电流源 i _S 产生的响应 u″ ，应将网络N中的全部独立源置零，从而得到图2-32d，其中网络N ₀ 表示网络N中的全部独立源置零后所得到的网络，电阻 R ₀ 表示网络N ₀ 从端口看进去的等效电阻。显然，此时的端口电压 u″ 等于电阻 R ₀ 与流过它的电流 i 的乘积。

u″ = R ₀ i

根据叠加定理，端口总电压 u 等于 u′ 和 u″ 之和，如图2-33a所示。

u = u′ + u″ = u _OC + R ₀ i

而图2-33b所示电路中的端口电压恰好也满足 u = u _OC + R ₀ i ，这说明，对任何负载而言，戴维南等效电路与网络N的端口电压-电流关系相同，从负载的角度来看，二者等效。

图2-33 从负载的观点来看，戴维南等效电路与网络N等效

诺顿定理可以认为是戴维南定理的推论：任何线性含源二端电阻网络N，均可等效为一个理想电流源 i _SC 和一个电阻 R ₀ 的并联；其中 i _SC 是网络N的短路电流， R ₀ 是网络N中的全部独立电源都置零后的等效电阻。根据电源变换的等效关系，由戴维南定理很容易得到诺顿定理。诺顿定理也可以表述为：任何线性含源二端电阻网络都可以等效成一个实际电流源。

诺顿定理和诺顿等效电路如图2-34所示。

图2-34 诺顿定理和诺顿等效电路

戴维南等效电路中独立电压源的极性，要确保将戴维南等效电路开路时所得到的开路电压，与原网络的开路电压同极性；类似地，诺顿等效电路中独立电流源的极性，要确保将诺顿等效电路短路时所得到的短路电流，与原网络的短路电流同方向。注意，网络N的开路电压、短路电流、等效电阻既可以计算得到，也可以测量得到。

等效电压源定理、等效电流源定理及其等效电路，在美国以Thévenin和Norton命名，而在欧洲，则被称为Helmholtz-Thévenin、Helmholtz-Norton、Mayer-Norton等，原因如下。

1883年，法国电报工程师戴维南（Léon Charles Thévenin，1857—1926）在法国科学院的刊物上发表了电压源等效电路，全文仅一页半；1885年，戴维南的发现被美国贝尔实验室的工程师所重视，从而广为人知。在戴维南出生4年前的1853年，德国科学家亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz，1821—1894）在一篇描写“动物电”的论文中提出了相同的内容，戴维南的发表其论文时，亥姆霍兹仍健在；在同一论文中，亥姆霍兹首次描述了叠加定理，并将其归功于他的朋友。

1926年，美国工程师诺顿（Edward Lawry Norton，1898—1983）在贝尔实验室内部的一份技术报告上提出了电流源等效电路。同年，更完整的论文由德国科学家梅耶尔（Hans Ferdinand Mayer，1895—1980）在一份德国刊物上公开发表。

戴维南的论文给出了更为优雅的证明，从事通信工程的戴维南及美国电话电报公司（AT&T）的工程师们的确没看过亥姆霍兹“动物电”的论文，这导致该定理在30年后被重新发现。对此，梅耶尔写道：“我本人不反对称之为‘戴维南定理’，尽管它在其他国家被称为‘亥姆霍兹定理’，但有趣的是，在亥姆霍兹发表30年之后的1883年，它被认为是新的。”

2．戴维南等效电路与诺顿等效电路的求解

使用戴维南（诺顿）定理的关键是求出戴维南（诺顿）等效电路。根据不同情况，可以使用定义法、开短路法和外加电源法3种之一。

（1）定义法

定义法是根据定义直接求出开路电压 u _OC 和等效电阻 R ₀ ，从而得出戴维南等效电路。如果是求诺顿等效电路，则需要根据定义直接求出短路电流 i _SC 和等效电阻 R ₀ ，继而得到诺顿等效电路。

【 例2-15 】用戴维南定理求图2-35a中的电流 i 。

图2-35 例2-15图

【分析】把10Ω电阻作为负载，其余部分作为有源二端网络N，并求其戴维南等效电路。根据定义法，分别求开路电压 u _OC 和等效电阻 R ₀ 即可。

【解】首先求开路电压 u _OC ，它等于从A、B两点断开时2Ω电阻上的电压，如图2-35b所示。

再将12V电源置零，并求出从A、B两点向左看过去时的等效电阻，如图2-35c所示。

于是可以得到戴维南等效电路如图2-35d所示。利用这个电路可求得电流 i 。

请读者思考，为什么图2-35d中独立电压源的极性不能是上负下正？

答案在于，当断开10Ω负载支路得到图2-35b，所求出的网络N的开路电压 u _OC 的极性，存在“A点电位 u _A 高于B点电位 u _B ”这一特性，在图2-35d中，如果断开10Ω负载支路，将会发现此时依然满足 “等效替换前后开路电压极性不变” ，即“A点电位 u _A 高于B点电位 u _B ”这一要求。如果把图2-35d中8V独立电压源的极性改为上负下正，将会发现等效电路的开路电压与原来网络所得到的开路电压极性相反，所以不能把独立电压源的极性改为上负下正。

（2）开短路法

如果网络N中含有受控源，就很难直接求出等效内阻，此时可以考虑采用开短路法求解。可以把戴维南等效电路和诺顿等效电路重画，如图2-36所示。

图2-36 戴维南等效电路和诺顿等效电路

根据电压源与电流源等效的条件[式（2-9）]，可知开路电压 u _OC 和短路电流 i _SC 存在如下关系：

根据式（2-14），先确定开路电压 u _OC 和短路电流 i _SC ，再求出 R ₀ 的值，这种方法就是开短路法。应用式（2-14）时，要注意其成立的条件是 u _OC 和 i _SC 之间必须满足类似关联参考方向的要求—— i _SC 从 u _OC 正端流向负端。请仔细观察下面的例题。

【 例2-16 】用开短路法求出图2-37a所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路。

【解】首先求开路电压 u _OC ，如图2-37a所示，它等于3Ω电阻上的电压和受控源的电压之和。开路时3Ω电阻上的电流为

再计算开路电压

u _OC =3 i +6 i =9×1V=9V

其次要求出短路电流 i _SC ，如图2-37b所示，对右边的网孔列KVL方程，可得

3 i +6 i =0

所以此时有

i =0

图2-37 例2-16图

这表明在短路时3Ω电阻上没有电流流过，于是受控源的电压也等于0。此时可计算出短路电流

利用式（2-14）计算网络内阻为

求出 u _OC 、 i _SC 和 R ₀ 之后，可画出戴维南等效电路和诺顿等效电路，分别如图2-37c、d所示。

（3）外加电源法

第三种方法叫作外加电源法，是在电路的两个外接端口加上假想的电压源 u _S 或电流源 i _S ，并定义网络N的端口电压为 u ，流出网络N的电流为 i ，如果最后能够写成 u = a-bi 的形式，就可以断定 u _OC = a ， R ₀ = b 。所加的电压源 u _S 或电流源 i _S 的值并不重要，这种方法尽管计算上可能麻烦一些，但适用性更广。下面的例子说明了这种方法。