电路与模拟电子技术：原理、仿真与设计最新章节_胡世昌著

2.1
等效变换法

对简单电路，可以不必列KCL、KVL方程组，而直接采用等效变换的方法化简电路，再利用特定电路的电压电流分配关系，求解特定电路的电路变量。等效变换法化简电路的过程十分直观，对简单电路的分析十分有效。

2.1.1 电路的等效变换

如果电路中某一部分电路用其他电路代替之后，未做替代部分电路中的电压和电流能够保持不变，则称替代电路与被替代电路等效。

我们以二端电路为例来说明电路等效变换的概念，如图2-1所示，用电路C代替电路B之后，电路A中的电压和电流保持不变。其中C为替代电路，B被替代电路，未做替代部分电路A称为外电路。用电路C替换电路B的过程，叫作等效变换。既然能够用电路C代替电路B，当然也能够用电路B代替电路C，而电路A不受影响，所以电路B和电路C是互为等效的。

图2-1 电路等效变换的概念

从上述定义中可知，等效变换只是对外等效，即对外电路而言等效。定义中并没有提到对内是否等效，实际上通常是不等效的，因为电路替换前后，替代电路与被替代电路不同，其中的电压、电流、功率等也必然发生改变。等效变换前后，变换电路外部电路中的电路变量不变，而变换电路内部的电路变量通常发生改变，所以等效变换只是对外等效，对内不等效。

在图2-1中，等效只对电路A成立，因为对电路A而言，把电路B替换成电路C前后，电路A中的电压和电流不发生任何变化，或者说，电路A并未受到这个替换的任何影响，就好像这个替换没有发生一样。但是，变换前被替换电路B中的电路变量与变换后替换电路C中的电路变量通常是不同的。

下面讨论电路B与电路C等效的条件。由于电路B替换为电路C之后，要求电路A中的电流和电压保持不变，而要确保这一点，就必须确保电路A端口上的电流和电压也保持不变。在图2-1中，如果电路A外接端口上a、b两点间的电压和流过a点、b点的电流在等效变换前后保持不变，则电路A中的KCL方程和KVL方程也不会变化，从而可以确保电路A中的电路变量保持不变。注意到a点和b点既是电路A的外接端口，也是被替换电路B和替换电路C的外接端口，所以“等效变换前后电路A的端口上的电压和电流保持不变”这一要求，等价于“电路B和电路C端口上的电压和电流关系相同”。

如图2-2所示，如果电路B和电路C具有相同的电压电流关系，即伏安关系（VAR），则电路B和电路C互为等效电路。二者可以如图2-1所示进行替换，而电路A中的电压、电流、功率均保持不变。

图2-2 互为等效的电路具有相同的电压电流关系

利用等效变换的概念，如果电路C比电路B更加简单，就可以用电路C替换电路B，从而简化电路A中电路变量的计算。综上所述，总结利用等效变换分析电路的要点如下：

1）等效变换的前提：替换电路B与被替换电路C具有相同的VAR。

2）等效变换的对象：对外电路A中的电路变量（电压、电流和功率）等效。

3）等效变换的目的：化简电路，便于计算。

本节将要介绍的串并联等效化简、电源变换、 -△变换，实际上都是利用等效变换的思路。

2.1.2 串并联电路

串联是将多个电器或元件逐个顺次首尾相连接的电路连接方式。串联要求相同的电流顺次通过连接中的每一个元件，注意这里要求流过“相同”的电流，而非相等的电流。从元件连接关系上看，串联表现为若干个二端元件依次连接，连接点上没有分支，即每个连接点上只能连接两个元件。串联时，电流只有一个流通路径，只能逐个顺次、没有分支地流过每一个元件。

并联是指将多个电器或元件以相同的电压连接在一起的电路连接方式。并联要求相同的电压被加在连接中的每一个元件的两端，注意这里要求具有“相同”的电压。从元件连接关系上看，并联表现为若干个二端元件并列地连接到电路中的两点之间。由于电路中相同两点之间，不论经过何种路径，其电压降必定相同，所以并联元件上的电压必定相同。并联时，电流分为几支，分别流过每一个元件。

在图2-3所示的例子中，图2-3a中的元件 R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ 之间的连接是串联，相同的电流 i 顺次通过这3个元件；图2-3b中的元件 R ₁ 、 R ₂ 之间的连接是并联，相同的电压 u 同时加在这两个元件的两端；图2-3c中的元件 R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ 之间的连接既不是串联，也不是并联。图2-3d中的元件 R ₂ 、 R ₃ 之间并联，再把它们作为一个整体与 R ₁ 串联。需要注意的是，尽管这里举的例子是电阻，但串并联连接的元件不仅限于电阻之间。

图2-3 电路的串并联

元件之间的并联有时用符号“//”表示，例如图2-3b可以表示成 R ₁ // R ₂ 。

研究串并联关系的目的是简化复杂的电路，如果简化后的电路中未被简化部分的电流、电压和功率关系不变，就称这个简化后的电路为原来电路的等效电路。

1．独立源的串并联

理想电压源的串联可以等效为一个理想电压源、理想电流源的并联可以等效为一个理想电流源，这种等效化简不会影响电路中其他部分的电流、电压和功率关系。以图2-4为例分析如下。

图2-4 理想电压源串联与电流源并联

（1）理想电压源串联

图2-4a中，两个理想电压源串联连接，根据1.6.2节（基尔霍夫电压定律）中“两点间的电压等于两点间任何路径上各段电压的代数和”的结论，可知端口电压为

u _S = u _S1 + u _S2

而且该端口电压与流过该段电路的电流无关，所以两个理想电压源串联之后端口上的电压电流关系就是：“任何时刻，无论流过电流多大，端电压永远等于 u _S1 + u _S2 ”，这个电压电流关系显然就是电动势为 u _S = u _S1 + u _S2 的理想电压源。

图2-4a可以推广到多个理想电压源串联的情形，结论为：理想电压源串联，等价于各理想电压源的代数和。

从等效变换的角度，可以描述为：理想电压源串联，可用一个等效电压源代替，其电动势等于各理想电压源电动势的代数和。

（2）理想电流源并联

类似地，根据KCL分析，可知图2-4b中的两个电流源并联，相当于一个 i _S = i _S1 + i _S2 的电流源，它们对外的电压-电流关系，都表现为“任何时刻，不论外部电路如何，不论端电压多大，输出电流永远等于 i _S1 + i _S2 ”，这恰好符合独立电流源的定义。

图2-4b可以推广到多个理想电流源并联的情形，结论为：

理想电流源并联，等价于各理想电流源的代数和。

从等效变换的角度，可以描述为：理想电流源并联，可用一个等效电流源代替，其输出电流等于各理想电流源输出电流的代数和。

（3）理想电压源并联

输出电压大小和方向不同的理想电压源不允许并联。试想一个5V电压源和一个10V电压源并联，它们的端电压会是多少？按照理想电压源的定义，端电压是不变的，5V电压源坚持自己两端之间的电压为5V，10V电压源坚持自己两端之间的电压为10V（否则它们就不是理想电压源了）；再由于这个并联构成了一个回路，把两个端电压代入KVL，会发现基尔霍夫定律不再成立；于是，要么否定理想电压源的定义，要么否定基尔霍夫定律，而这二者都是电路理论的基础，不容否定。

因此只有方向和大小都恒等的理想电压源才允许并联，这时既符合理想电压源关于端电压由自身决定的定义，也符合KVL。根据理想电压源的定义，多个相同的理想电压源并联之后的端电压与单一理想电压源的端电压相同；又由于理想电压源的输出电流范围可以是从零到无穷大，而端电压保持不变，所以对理想电压源来讲，这种相同的理想电压源并联也不能起到增大输出电流的作用，因而没有什么意义。

（4）理想电流源串联

类似地，输出电流大小和方向不同的理想电流源不允许串联，只有方向和大小恒等的理想电流源才允许串联，不过也没有什么意义。

（5）理想电压源并联理想电流源

最后讨论一下理想电压源与理想电流源串并联的问题，以便加深对串并联、理想电源概念的理解。

如图2-5a所示，因为无论沿任何路径计算，两点间的电压都应相等，所以a、b两点间的电压既可以按照电压源支路确定，也可以按照电流源支路确定。又因为电压源的特性是“不论外电路如何，两端电压均由自身决定”，按照电压源支路，可确定a、b两点间的电压等于电压源端电压 u _S ，这个电压的大小和方向既不受外部电路的影响，也不受电流源 i _S 的影响，所以理想电压源并联理想电流源（对外电路而言）等效于该理想电压源本身。所以，图2-5中3个电路的输出端电压 u _o 都等于电压源端电压 u _S （即 u _o = u _S ）。而输出电流 i _o 需要由外电路决定。

图2-5 理想电压源并联任意元件等效于理想电压源本身

实际上，（对外电路而言）理想电压源并联任何元件，都等效于该理想电压源本身，这是由理想电压源“无论通过电流多大，端电压永远等于电源的电动势”这一特性，加上“并联支路电压相同”的特性所决定的。

（6）理想电流源串联理想电压源

类似地，根据理想电流源“无论电压多大，输出电流由自身决定”的特性，以及“串联元件电流相同”的特征，可知，理想电流源与任何元件串联，（对外电路而言）都等效于理想电流源本身；“任何元件”当然也包括理想电压源，所以理想电流源串联理想电压源，（对外电路而言）等效于理想电流源本身。

图2-6中3个电路的输出电流 i _o 都等于电流源自身电流 i _S （即 i _o = i _S ）。而输出端电压 u _o 需要由外电路决定。

图2-6 理想电流源串联任意元件等效于理想电流源本身

本节讨论了独立电源的串并联等效电路：理想电压源串联（等效于一个理想电压源）、理想电流源并联（等效于一个理想电流源）、理想电压源并联（要求端电压大小方向相同）、理想电流源并联（要求端电流大小方向相同）、理想电压源并联任意元件（等效于电压源本身）、理想电流源串联任意元件（等效于电流源本身），读者应结合理想电源自身的电压-电流特性和串并联电路的电压-电流特性，加深理解其等效原理。

【 例2-1 】图2-7中的电路哪些是合理的？

图2-7 例2-1图

【解】图2-7a中两个不同的电压源并联，对左边方格列KVL方程可知，该电路违反了KVL，所以图2-7a不合理。图2-7b中两个电压源串联，合理。图2-7c中两个电流源并联，合理。图2-7d中两个不同的电流源串联，对回路列KCL方程可知，该电路不符合KCL定律。所以图2-7d不合理。

结论：图2-7b、c是合理的。

2．电阻的串并联

图2-8是 N 个电阻的串联电路，现在来求它们的等效电阻。首先应用KVL可得

u = u ₁ + u ₂ +…+ u _N

图2-8 N 个电阻的串联

由于各串联元件的电流相同，再应用欧姆定律可得

u = R ₁ i + R ₂ i +…+ R _N i

把图中被点画线框起来的部分视为一个等效电阻 R _eq ，即令

u = R _eq i

所以

于是得到下列结论：串联多个电阻的总电阻等于各电阻之和。

用 k 表示从1～ N 的数，则每个电阻上的电压为

或者写成

可见加在整个串联电阻电路上的电压被分配到了每个电阻上，串联电阻的这个作用叫作分压作用。这个公式也叫作电阻分压公式，根据式（2-2）可知，串联连接中电阻越大，其上的电压也越大。

图2-9是 N 个电阻的并联电路，化简如下。应用KCL可得

i = i ₁ + i ₂ +…+ i _N

图2-9 N 个电阻的并联

再应用欧姆定律得到

所以

于是得到下列结论：并联多个电阻的总电阻的倒数等于各电阻的倒数之和。

写成电导的形式更易于记忆

G _eq = G ₁ + G ₂ +…+ G _N

特别地，在两个电阻并联时的等效电阻为

用 k 代表从1～ N 的数，则每条支路上的电流为

或者写成

写成电阻形式为

可见流过整个并联电阻电路上的电流被分配到了每个电阻上，所以并联电阻具有分流作用。根据这个公式可知，并联连接中电阻越大（电导越小）其上的电流越小。

初学者往往很容易熟练掌握串联分压公式，却总是很难接受并联分流公式，借助于电导形式的式（2-4），可通过与串联分压公式类似的形式来帮助我们记忆。

有时把既有串联又有并联的电路称为混联，这时可以具体分析，将其分解为简单电路。但要注意并不是所有的电路都能分解为简单的串并联电路，例如后面要讲到的桥式电路。

【 例2-2 】如图2-10a所示的电路，已知 u _S =8V， R ₁ =2Ω、 R ₂ =1.6Ω、 R ₃ = R ₄ =4Ω、 R ₅ =6Ω。求电流 i ₁ 和电阻 R ₄ 消耗的功率 p ₄ 。

【解】图2-10a是一个电阻混联电路，如果能求出虚框部分二端电路的等效电阻 R _ad ，就可以把原电路等效成如图2-8d所示的简单电路，即可计算出 i ₁ 。

因为节点c和d是通过导线连接的，可以把c、d看成是同一个节点，从而把图2-10a画成图2-10b所示的电路，从这个电路图中可以更加清晰地看到 R ₄ 和 R ₅ 并联的事实，用 R _bd 表示b、d两点之间的电阻，于是

这样，电路可化简为图2-10c，其中 R ₂ 和 R _bd 串联之后，再与 R ₃ 并联。用 R _ad 表示a、d两点之间的电阻，于是

我们看到电路已经化简成如图2-10d所示的形式，于是可以计算出电流 i ₁ 的值为

图2-10 例2-2图

计算 R ₄ 上消耗的功率 p ₄ ，应该回到图2-10a所示电路。此时已知电流 i ₁ =2A，对照图2-10c，根据并联分流公式可计算出 i ₂ 和 i ₃ 的值。

再根据KCL，得

i ₃ = i ₁ -i ₂ =2A-1A=1A

所以对照图2-10c，得 R ₄ 两端电压为

u _bc = u _bd = u _ad -u _ab = i ₃ R ₃ -i ₂ R ₂ =1×4V-1×1.6V=2.4V

最后得到 R ₄ 消耗的功率

2.1.3 电源变换

前一节讲解了理想电源串并联的等效变换，本节将讲述实际电源的等效变换，以便处理含有实际电源电路的化简。

1．理想电源和实际电源

最简单、最常见的实际电压源的例子是干电池。当通过的电流在20mA左右时，电池的端电压基本上保持为1.5V，可视为恒定；但是，当电流增大到100～300mA时，端电压就会随着电流的增大而减小。

不仅干电池，实际上所有的实际电压源都有类似的特性：当输出电流在一定范围内时，端电压变化很小，可视为不变；一旦增大到该范围之外，端电压的降低就会变得十分明显。

以直流电压源为例，如图2-11a所示，实验表明，实际电压源的端电压和电流之间的关系如图2-11b中的实线所示，从中可以看出，当电路开路，即电流 I =0时，电压源端电压 U = E 。如果假设该实线的斜率为 R _S ，则可用下列线性方程描述：

结合理想电压源的定义，对照式（2-6），可见实际电压源可以用一个理想电压源与一个电阻的串联来等效，如图2-12所示。

图2-11 理想电压源和实际电压源

图2-12 实际电压源等效电路

这个理想电压源的值 U _S 等于实际电压源的电动势 E ，而所串联的电阻则等于实际电压源的电压-电流关系曲线的斜率，即

实际电压源的等效电路如图2-12所示，其中的变量关系为

式中， u _S 为实际电压源的开路电压（即电动势）； i 为实际电压源的输出电流； R _S 为实际电压源的内阻。要注意的是，在实际电压源中并不存在这样的分立元件电阻 R _S ，它只是用来表明实际电压源“负载电流增大时端电压减少”这一事实。

当电压源的输出电流在一定范围内时，它的端电压的相对变化较小，此时我们可以理想化地认为它的端电压是不变的，并称其为“理想电压源”。图2-11b中的虚线是理想电压源的电压-电流关系曲线。在电路分析中，如果不特别指明，“独立电压源”通常指的是理想电压源。

根据式（2-7）可知，实际电压源的内阻越小，其电压-电流特性越接近于理想电压源的电压-电流特性。

同样，实际电流源也可以表示成一个理想电流源与一个电阻的并联电路，其等效电路和电流-电压关系如图2-13所示。

图2-13 实际电流源

类似地，实际电流源的电流/电压关系可表示为

i = i _S -u / R _S

或者

2．实际电压源和实际电流源的等效变换

观察式（2-7）和式（2-8），如果令图2-14中电压源和电流源的内阻均等于 R _S ，且

图2-14 电压源与电流源的等效变换

那么对于外电路来说，这两个电源可以相互替代，而不会影响电路中的其余部分。换句话说，如果在这两个电源的引出端接上相同的负载，那么负载的电压-电流特性相同，而且也无法通过测量电源的端电压-电流特性来判断它是哪一种电源。

需要强调的是，所谓等效只是对电源的外特性而言，在电源内部，这两个电压源和电流源还是有差别的。

【 例2-3 】求图2-15a中实际电流源的等效电压源，并求在接入4Ω负载时的端电压和电流，以及各个理想电源释放的功率。

【解】通过简单的计算可得到等效电压源如图2-15b所示，于是可得到

u ₁ = u ₂ =1×4V=4V

图2-15 例2-3图

理想电压源释放的功率为

p ₁ = u _S i ₂ =6×1W=6W

理想电流源释放的功率为

p ₂ = u ₁ i _S =4×3W=12W

上面的例子说明了等效变换前后的电压源和电流源内部是不同的，理想电压源和理想电流源提供的功率也明显不同，但外电路中的负载所吸收的功率却是相同的，差别部分的功率被2Ω内阻吸收。需要注意的是，在等效电压源和电流源中，相同的内阻所吸收的功率显然不同，这一点更说明了“等效”的概念仅仅是相对于未被变换的外电路而言。

3．受控源的等效变换

受控源的输出取决于控制量，没有控制量，就没有受控源的输出，受控源也就不存在了，所以在等效变换时，就不能把受控源的控制量变没了，为此，必须确保受控源的控制量不在被等效变换的电路之内。只要保留控制量所在的支路，即可对包含受控源的电路进行变换，此时受控源的变换方法与独立源没有区别。

【 例2-4 】求图2-16a所示电路中流过电阻 R 的电流 I 。

图2-16 含受控源电路的变换

【解】首先，10A电流源和2Ω电阻的并联可等效变换为20V电压源与2Ω电阻的串联，1A电流源和9Ω电阻的并联可等效变换为9V电压源与9Ω电阻的串联，等效变换后的电路如图2-16b所示。

其次，只要保证控制量 U _X 所在的电路不被等效变换，即可把受控电流源3 U _X 当作独立源来处理，所以可将受控源3 U _X 和与之并联的17Ω电阻等效变换为51 U _X 电压源与17Ω电阻的串联；再把20V电压源与2Ω、8Ω电阻的串联等效变换为2A电流源与10Ω电阻的并联，等效变换后的电路如图2-16c所示。

最后，将2A电流源与两个10Ω电阻的并联等效变换为一个10V电压源与一个5Ω电阻的串联，等效变换后的电路如图2-16d所示。此时求解已经很方便了。

对图2-16d列回路方程

（5+17+ R +9） I =10+51 U _X -9

再根据

U _X = IR

两个方程联立得

对于电阻 R 的任何值，用这个式子都很容易求得流过它的电流。

上面的例子说明了利用电源等效变换可以化简线性电路，并用来求解任意负载上的电流、电压和功率。只要注意不要把受控源的控制量包含在被等效变换的电路之内即可。

2.1.4 - -变换

串并联等效变换、电源等效变换都是用于二端网络（即拥有两个外接端子的电路）之间的等效变换， -△变换则用于三端网络之间的等效变换。图2-17中的两种电路都具有3个端子（节点1、2、3，图中节点3被分拆成两个点），其中图2-17a称为形网络，图2-17b称为T形网络。这两种电路常常作为其他网络的一部分出现，下面分析这两种电路之间的等效变换。