电路与模拟电子技术：原理、仿真与设计最新章节_胡世昌著

1.7
线性电路和叠加定理

多从几个角度观察分析电路，会得到更加全面的认识。那么电路可以从哪些角度来看呢？

本章1.1.1节指出：电路由电路元件组成，实现电能（或电信号）的产生、传输、分配（或存储）和转换（或变换）。下面来详细分析这句话。

“电路由电路元件组成”这句话是从组成结构的角度看电路。电路的基本构件是多种不同的元件，通过导线的不同连接组成一个整体。这里面的要点，一是元件，二是连接。

“实现电能（或电信号）的产生、传输、分配（或存储）和转换（或变换）”这句话是从实现功能的角度看电路。因为电能（或电信号）都可以用电流或电压来表示，所以电路的功能也就是实现电压和电流的产生、传输、分配和转换。独立电源（电压源或电流源）能够产生独立的电压或电流，所以电路的功能也就是把独立源所产生的电压或电流传输、分配和转换为电路其他部分的电压或电流。

这就给了我们两个看问题的角度：结构的角度和功能的角度。从不同的角度，将得到不同的解决问题的方法。

1.7.1 从结构（元件与连接）的角度看电路

从结构的角度看，电路是元件的连接，所以需要从两个方面描述电路：一是电路由哪些元件组成，二是这些元件如何连接在一起。电路理论中，这两类描述均使用电流和电压这两个变量的关系方程来实现。

元件的描述用元件约束方程来实现，如我们已经得到的电阻方程 u = ri 、独立电压源方程 u = u _S 、独立电流源方程 i = i _S 、各种受控源方程等，每个元件的约束方程均由其自身特性所确定，用来描述元件自身对元件电流电压的规定。

连接的描述用连接约束方程用来实现，不同的电路连接结构对应不同的KCL方程、KVL方程，反映了不同连接结构对元件电流电压的规定。

联立元件约束方程和连接约束方程（即KCL方程、KVL方程），即可分析和求解电路中的所有元件的电流和电压，进而得到其他电路变量，这是我们已经得到的思路，本章前面各节都是这样分析的。

1.7.2 从功能（激励与响应）的角度看电路

从结构（元件与连接）的角度看电路的时候，对所有元件采取“一视同仁”的态度。任何电路元件，只用其元件约束方程表示，再与基尔霍夫定律联立方程，求解即可。但是从功能的角度看，各类电路元件在电路中所起的作用是不同的。

作为有源元件，独立电压源能够独立地决定自身的输出电压，根据基尔霍夫定律，该电压都将向相关联的电路元件“扩散”，从而在其他元件上建立其相应的电流和电压。独立电流源能够独立地决定自身的输出电流，它也具有同样的功能。从这个意义上说，独立电压源的电压、独立电流源的电流在电路中起到了“策动源”的作用，它是建立所有其他电压和电流的原因。

同样作为有源元件，受控源的电源特性体现在它的输出信号上，当存在输入控制信号时，受控源将产生输出信号（电压或电流），该输出信号会进一步影响电路中相关元件上的电压和电流。但是，如果受控源的输入控制信号为零，则它的输出信号也为零，此时受控源无法在电路的任何部分——包括它自身——建立起电压或电流，所以，受控源对电路状态的影响，还必须受输入信号的控制，而这个输入信号，只能来自于独立源的影响。受控源不能独立地决定自己的输出电压，它不是电路中电流和电压的最终“策动源”。

电路中的无源元件，如电阻、导线等，只能起到传输、分配和消耗电能的作用，也不可能承担起“策动源”的作用。

所以，对于一个完整的电路而言，如果没有独立源，电路中任何的电流、电压、功率都将消失；独立源是电路中产生各种电压和电流的原因，独立电压源的电压、独立电流源的电流作用于电路的结果，是在电路中产生了其余的电流和电压。电路理论中，独立电压源的电压，或者是独立电流源的电流统称为“激励”，而电路中因此而产生的电压或电流则统称为“响应”。

“激励”和“响应”是基于因果关系的一种描述，“激励”表示原因，“响应”表示结果。这个概念不仅用于电路系统，也用于更多的物理、化学、生物、社会等系统的描述。

“激励”这个名称强调了其对应的量是产生或改变其他量的原因，“响应”这个名称则强调其对应的量是“激励”量作用的结果。那么，任何电路的功能就是把独立源所产生的激励转换为响应。如果用 x 表示电路中的激励，用 y 表示电路中的响应，则该电路的功能就是把激励 x 转换为响应 y ，如图1-39所示。

图1-39 电路的功能框图

图1-39的功能框图由3个元素构成，分别是激励 x 、系统 N 、响应 y 。

图1-39的含义为：如果激励 x 作用于系统 N ，将产生响应 y ；或则说，系统 N 在激励 x 作用下所产生的响应是 y 。

图1-39可以用数学表达式 y = f （ x ）表示，其中符号 x 代表激励、符号 f 代表系统 N 对激励所施加的运算、符号 y 代表响应。注意，此处并没有限制激励 x 和响应 y 的形式，不论它们是标量、向量甚至是更复杂的形式均可；此处同样没有限制运算 f 必须为函数运算，它可以是更加复杂的运算形式。

图1-39中，激励 x 是系统的输入信号，响应 y 是系统的输出信号，所以激励也常常被称为输入信号，响应被称为输出信号。系统的功能就是把激励转化为响应，也可以说，是把输入信号转化为输出信号。

如果已知一个电路的功能可以用 y = f （ x ）表示，则可以完成3个目的：

1）对于任何形式的激励 x ，经过运算 f （ x ）就可以计算出电路中的响应 y 。回顾前文，所谓激励，是指电路中独立电压源的电压，或独立电流源的电流；所谓响应，就是电路中除激励之外的所有电压和电流；这样，根据电路的功能表达式 y = f （ x ），我们就可以计算出任何激励下的电路中所有的电压和电流。

2）如果已知电路中对于响应 y 的要求，也可以根据功能表达式 y = f （ x ）反过来确定应该施加什么样的激励 x 。

3）如果已知激励 x 和响应 y ，我们也可以确定表达电路功能的运算 f ，从而设计出符合要求的电路来。这说明，电路的功能特别地体现在运算 f 上，所以，运算 f 的特性，也就是它所对应的电路系统的特性。

y = f （ x ）这一简洁的形式让我们十分高兴，但是如果仅仅在形式上实现了简洁，还是远远不够的。运算符号 f 仅仅代表了 x 和 y 之间的对应关系，不能保证这种运算一定是可以计算的，例如三角函数 y =sin x 就是无法计算的例子，数学上对三角函数值的计算，是通过把它近似为成可计算的函数实现的。

所以，即使我们最熟悉的函数运算，也存在着“不是所有函数都是可以计算”这样的问题，那么即使我们得到了 y = f （ x ）这样的表达式，也无法从 x 确定 y ，对应到电路上，就意味着我们无法根据激励确定响应，那我们的研究还有什么价值？但是，三角函数的例子同样给了我们这样的提示，把复杂的、不可计算的运算，转换为简单的、可计算的运算，应该是一种可行的思路。

1.7.3 线性电路

数学上最简单的运算是比例运算： y = kx ，成比例的两个量之间的关系是最清楚、最容易计算的。比例函数在笛卡儿直角坐标系中的曲线，是一条过原点的直线，所以也称 y 和 x 呈线性关系，这就是线性概念的最初来源。请注意，此处的线性概念所对应的直线必须过原点，其含义与初等数学中线性的含义不完全相同。

1．线性包括齐次性和叠加性

比例运算虽然简单，其适用性上的局限却也显而易见。如果 k 是实数，比例运算 y = kx 就只能把标量 x 转化为标量 y ，或者把一维向量 x 伸长和缩短为一维向量 y 。但是，如果要表示多维向量，比例运算就无法表达了。

线性运算是比例运算的扩展，其定义如下：

如果运算 f 满足

则称运算 f 为线性运算。式中，系数 k ₁ 、 k ₂ 为常数，要注意的是，此处并没有限制 k ₁ 、 k ₂ 为实数，它们可以是包括实数、纯虚数在内的任何复数。

如果令式（1-24）的两个系数 k ₁ 、 k ₂ 中的任何一个为零，就可以得到

式中，系数 k 为常数，它可以是任何复数。

如果令式（1-24）的两个系数 k ₁ 、 k ₂ 均为1，就可以得到

联合式（1-25）和式（1-26）所表达的含义与式（1-24）所单独表达的含义完全等价，所以线性既可以用式（1-24）定义，也可以用式（1-25）和式（1-26）联合定义。

把单一的表达式改写为两个表达式，绝不仅仅是为了形式上的变化，而是因为改写后的两个式子表达了不同的特性。

式（1-25）中， f （ x ）是对 x 执行运算 f 的结果， f （ kx ）是对 kx 执行运算 f 的结果，这个式子说明，如果 x 倍乘以常数 k ，相应的运算结果也倍乘以常数 k ，对应数学表达式 f （ kx ）= kf （ x ）。这个特性称为数乘性、比例性。

我们以图1-40来说明这个特性：图1-40a表明，系统在激励为 x 时，产生的响应为 y ，对应数学表达式为 y = f （ x ）；图1-40b表明，系统在激励为 kx 时，产生的响应为 ky ，对应数学表达式为 ky = f （ kx ）；

图1-40 系统的齐次性（数乘性、比例性、均匀性）

观察上述两式还可以发现，不论激励怎样倍乘，对应的响应总是同样倍乘，这说明，运算 f 在所有激励上是均匀的、同质的，所以，这个特性又被称为均匀性、齐次性（Homogeneity）。在英文中，“齐次性”和“同质性”是同一个词，当表述为“同质性”的时候，更多地强调物理特征；当表述为“齐次性”的时候，更多地强调其数学特征。因为数学概念更具有一般性，所以在系统理论中通常使用“齐次性”这一表述方法，其含义为“数乘的运算等于运算的数乘”。

齐次性可以概括为：激励的倍乘作用于系统所产生的响应，等于激励单独作用于系统所产生的响应的倍乘；或者说，激励之倍乘的响应，等于激励的响应之倍乘。

式（1-26）中， f （ x ₁ + x ₂ ）是对（ x ₁ + x ₂ ）运算的结果， f （ x ₁ ）、 f （ x ₂ ）分别是对 x ₁ 、 x ₂ 运算的结果，这个式子说明，如果 x 叠加，相应的运算结果也叠加，这个特性被称为可加性、叠加性（Additivity），其含义可以表述为“和的运算等于运算的和”。

我们以图1-41来说明叠加性：图1-41a表明，系统在激励为 x ₁ 时，产生响应 y ₁ ，数学表达式为 y ₁ = f （ x ₁ ）；图1-41b表明，系统在激励为 x ₂ 时，产生响应 y ₂ ，数学表达式为 y ₂ = f （ x ₂ ）；图1-41c表明，系统在激励为 x ₁ + x ₂ 时，产生响应 y ₁ + y ₂ ，数学表达式为 y ₁ + y ₂ = f （ x ₁ + x ₂ ）。

图1-41 系统的叠加性（可加性）

由此，叠加性可以概括为：相加的激励作用于系统所产生的响应，等于每个激励单独作用于系统所产生的响应的相加；或者说，激励之和的响应，等于激励的响应之和。

从数学上看，线性体现了一种特殊的运算——线性运算的性质。例如，比例运算就是最简单的一种线性运算，简单验证可知，比例运算必定满足齐次性和叠加性。线性运算在保持齐次性和叠加性的前提下，拓展了比例运算适用范围。

从系统观点来看，线性体现了一种特殊的系统——线性系统的性质。因为每一个系统的激励和响应之间的关系都可以用相应的运算 f 来体现，所以运算 f 的特性，也就是它所对应的系统的特性。如果一个系统从激励 x 到响应 y 的运算 y = f （ x ）属于线性运算，则称之为线性系统。

理论上可以证明，齐次性和叠加性是彼此独立的两个特性，由齐次性不能推导出叠加性，由叠加性也不能推导出齐次性。理论上同样可以证明，如果限制齐次性中的系数 k 为实数，那么叠加性就包含了齐次性。

线性包括齐次性和叠加性，如果系统的激励和响应之间的关系满足线性关系式（1-24），或者说，同时满足齐次性和叠加性，则称之为线性系统。在系统理论中，“激励”与“输入”含义相同，“响应”则包括“输出”与“状态”，所以，使用“激励和响应之间关系”这一表述方法更为准确。

2．研究线性系统的意义

对于实际系统来说，“线性”是很严格的要求，我们生活中的多数系统不能满足这一要求。考虑线性运算在初等函数领域的对应物比例函数，就可以知道这个要求有多么严格——有多少变量间的关系可以用比例函数描述？那么，研究线性系统的意义何在？

研究线性系统有以下两个意义。

第一个意义是很多实际的系统在特定工作条件下可以近似成线性系统。例如，很多电阻元件在允许工作范围内就表现为线性特征；很多电子放大器件在允许工作范围内也表现为线性特征。在分析和设计这类系统时，就可以使用线性系统的理论去实现。

第二个意义是线性系统理论可以成为解决其他系统问题的理论基础。线性系统特性简单，理论成熟、体系完备，可以用线性方程（包括线性代数方程、线性微分方程、线性差分方程）描述和分析；而非线性系统情况复杂，只能用非线性方程描述，没有成熟的理论体系，难以分析。解决非线性系统分析的方法之一，就是采用线性系统来近似分析非线性系统。即使我们不能在大的工作范围内把非线性系统近似为线性系统，至少能够在特定工作点附近的微小范围内，把它近似为线性系统。数学中的微积分，就是通过把复杂函数在小范围内近似为比例函数（线性运算的一种），来实现对复杂函数特性的分析和计算的。

研究线性系统的第二个意义尤为值得关注。这是一种在各个领域都可应用的解决问题的思路——通过近似逼近，化繁为简，化未知为已知。

3．线性电路元件

电路理论中，用元件端口上电流或电压关系的数学表达式来描述电路元件，例如，用表达式 U = IR 来描述电阻元件，用表达式 u = u _S 来描述独立电压源，用表达式 u ₂ = ku ₁ 来描述电压控制电压源，等等。

把每个电路元件看作一个系统，以电流或电压作为该系统的输入、输出信号。如果某电路元件的输出信号与输入信号呈线性关系（满足齐次性和叠加性），则称之为线性电路元件。

用比例关系 U = IR 描述的电阻元件，其输入信号 I 与输出信号 U 之间的关系既满足齐次性，又满足叠加性，所以它是一个线性元件。类似地，用表达式 u ₂ = ku ₁ 描述的电压控制电压源，也是一个线性元件。

用表达式 u = u _S 描述的独立电压源，没有输入信号，只有输出信号，不存在齐次性和叠加性的问题，所以它不是线性电路元件。类似地，用表达式 i = i _S 描述的独立电流源也不是线性电路元件。在以电流、电压为坐标的直角坐标系中，独立源的特性曲线不过原点，从这一点也可以得出独立源不是线性元件的结论。

4．线性电路

线性电路是由线性电路元件和独立源构成的电路，其中，独立电压源的电压、独立电流源的电流被看作线性电路的输入（激励），而电路中的任何其他电压和电流都可以被看作是线性电路的输出（响应）。

到目前为止，我们学习了电阻、独立源、受控源这3类电路元件，其中线性电阻、线性受控源属于线性电路元件，独立源作为激励，所以由线性电阻、线性受控源和独立源所构成的电路必然是线性电路。

线性电路也常常被称为线性网络，在系统理论中，对线性元件和线性系统的定义是有区别的：线性元件强调它的输入和输出之间满足线性关系（齐次性和叠加性），线性系统强调不仅仅输入和输出之间，而且输入和状态之间也满足线性关系。本书中，更多使用激励和响应的概念。

1.7.4 线性电路的齐次性和叠加性

之所以把由线性元件和独立源所构成的电路称为线性电路，是因为这类电路同样能够满足“线性”这一要求，即：线性电路的激励和响应之间的关系满足齐次性和叠加性。从基尔霍夫定律以及元件的线性特性出发，可以证明线性电路同时具有齐次性和叠加性。

下面分别介绍线性电路的齐次性和叠加性。

1．线性电路的齐次性

前文概括齐次性的含义是：激励之倍乘的响应，等于激励的响应之倍乘。线性电路具备齐次性这个特点，以图1-42为例说明如下。

图1-42所示电路由电阻和独立电压源构成，其中电阻是线性元件，这是一个由线性元件与独立源构成的电路，所以它是线性电路。其中，独立电压源的端电压是激励，电阻的电压或电流都可以作为响应，以电阻电流为响应，直接应用欧姆定律分析如下：图1-42a中，激励为 u ，响应为 i ；图1-42b中，激励为 ku ，响应为 ki 。

图1-42 线性电路的齐次性

这说明，图1-42所示的线性电路中，激励乘以常数 k ，响应也乘以常数 k 。这就验证它的齐次性。

2．线性电路的叠加性

前文概括叠加性的含义是：激励之和的响应，等于激励的响应之和。线性电路的叠加性如图1-43所示。

图1-43a中，激励为 u ₁ ，响应为 i ₁ ；图1-43b中，激励为 u ₂ ，响应为 i ₂ ；对图1-43c列KVL方程，得

u ₁ + u ₂ = R （ i ₁ + i ₂ ）

两个直接串联的电压源可以相加，总的激励为（ u ₁ + u ₂ ），对应的响应为（ i ₁ + i ₂ ）。

这说明，图1-43所示的线性电路中，激励相加，响应也相加。这就验证了它的叠加性。

图1-43 线性电路的叠加性

1.7.5 叠加定理

把图1-43所示电路再做一点改变，电源 u ₁ 和 u ₂ 不是直接串联，而是中间还有其他元件，如图1-44所示，求电路中的响应，比如说 R ₁ 上的电流 i 。

图1-44 叠加性解决不了的问题

首先，因为这个电路由线性元件和独立源构成，所以它是线性电路。线性电路的激励和响应之间关系满足齐次性和叠加性。

其次，该电路有两个激励源，分别是独立电压源 u _S1 和 u _S2 ，与图1-43所示电路不同的是，这两个激励源没有串联，所以它们的激励不能相加。齐次性显然在这里用不上，而叠加性，由于不存在激励相加的情况，也用不上。

能用哪些办法去分析这个电路的响应？读者也许已经想到了——基尔霍夫定律加元件约束方程（此处只有电阻元件，所以只需欧姆定律），联立求解即可。

可是，如果连这么简单的电路都分析不了，那我们研究线性电路还有什么意义？线性理论当然不会这么薄弱，线性系统最重要的定理——叠加定理（Superposition Theorem）给出了这类问题的解决方法。

叠加定理指出：多个激励源共同作用的线性网络中，任意一点在任意时刻的响应，都等于每个激励源单独作用时在该点所产生的响应的叠加。

前文已经指出，电路中的激励源指的是独立源，响应指的是电路中各支路上的电流或电压，所以可用电路术语描述叠加定理为：多个独立源共同作用的线性电路中，任一支路的电流或电压，都等于每个独立源单独作用时在该支路所产生的电流或电压的叠加。这里的独立源既可以是独立电压源，也可以是独立电流源。这里的支路则是指任何一个或多个元件，我们可以用叠加原理计算包括独立源在内的任何元件的电流或电压。

1．叠加定理与叠加性的区别

仔细分析叠加定理与叠加性的定义，可知二者是有区别的，它们所表征的是系统的不同特性：

1）叠加定理对激励源的位置和类型没有要求，只要互相独立的多个激励共同作用于线性系统，不论激励是否能够叠加，响应都可以叠加。

2）叠加性对激励源的位置和类型有要求，激励能叠加，响应才能叠加。

对比可知，如果一个系统满足叠加定理（任何激励所产生的响应都可以叠加），则该系统必定具有叠加性（能够叠加的激励所产生的响应才可以叠加），这说明，从叠加定理可以推导出叠加性；反过来，如果一个系统具有叠加性，却不一定满足叠加定理，从叠加性不能推导出叠加定理。

此处所述区别仅仅在激励和响应均视为标量（或标量时间函数）的前提下，才是正确的。熟悉线性方程（包括线性代数方程和线性微分方程）理论的读者可以发现，从向量（或向量时间函数）的角度看，叠加定理和叠加性所描述的是系统的同一特性。

前文已经指出，齐次性与叠加性是互相独立的两个特性，所以，叠加性并不包含齐次性，但是，如果限制齐次性的比例系数为实数，则叠加性就可以推导出齐次性。如果一个电路只允许直流激励，那么激励的齐次性所乘以的系数就只能是实数，这时，从叠加定理出发，就不仅可以得到叠加性，还可以得到齐次性。所以在直流激励条件下，一个满足叠加定理的系统必然是线性系统。

提示一下，关于线性（Linearity）、叠加定理（Superposition）、叠加性（Additivity）这3个概念，不同资料中的含义不尽相同：第一种观点，是把叠加定理和叠加性视为同一概念；第二种观点，是把叠加定理视为叠加性和齐次性之和。在第二种观点下，叠加定理和线性是同一概念，它们只不过是式（1-24）的两个不同表述名称罢了，此时，就可以说，凡是满足叠加定理的系统一定是线性系统，或者说，线性系统的根本特征就是叠加定理。到目前为止，这两种说法都存在，请读者在阅读资料时务必注意这一点。

2．叠加定理的证明

线性电路的叠加定理可以通过基尔霍夫定律列方程，再根据元件的线性特性得到证明。但是在更多科学领域的理论中，叠加定理是作为一个无法证明的、符合客观事实的基本假设提出来的，在这个意义上，叠加定理也被称为叠加原理。例如，观察水波的干涉现象可知，自然界中波形的叠加是一个客观存在的事实，我们直接利用叠加原理去分析波形的变化，而不去证明波形的叠加原理本身。

3．应用叠加定理的注意事项

1）使用叠加原理可以简化线性网络的分析。不过在分析之前，还有一个具体的问题：每个独立源单独作用时，其他不作用的独立源如何处理？答案是，作用的独立源保留，不作用的独立源“置零” 。让不作用的独立源置零的目的，是要求不作用的独立源不能再向电路输出激励，否则就会产生与其对应的响应。独立电压源置零，数学上要求其端电压 u =0，即要确保一个元件两端电压始终保持为零，就必须将其两端短路，所以不作用的独立电压源应当用短路线代替。独立电流源置零，数学上要求其电流 i =0，即要确保一个元件的电流始终保持为零，必须将其两端开路，所以不作用的独立电流源应当将其两端开路。于是我们可以得到对于电路中不作用的独立源的处理方法：独立电压源短路，独立电流源开路。

应用叠加定理时，除独立源以外的其他元件都要保留不变，此处的“其他元件”包括受控源，这是因为受控源不是电路中的激励源。

2）叠加定理只能用来计算线性电路中的线性响应，而功率与电流和电压之间的关系不是线性关系，功率不是线性电路中的线性响应，所以，只能用叠加定理计算电路中的电流或电压，不能用来计算电路中的功率。

3）叠加定理不仅可以用来计算线性电路中单个元件上的响应，也可以计算电路中多个元件上（任何两点间）的响应。

4）应用叠加定理分析包含多个独立源的线性电路，不必一一求解每个独立源单独作用时的响应，可以将共同作用的多个独立源任意分割为几个部分（只要这种分割方便求解），然后分别求解每个部分中的独立源所对应的响应分量，再叠加。比如对于5个独立源共同作用，可以看成3个独立源和其余2个独立源的共同作用。

总之，叠加定理是电路分析中很重要的一个方法，读者务必深入理解，灵活运用。

学习了叠加定理，现在我们可以求解1.7.5开始提出的问题了。

【 例1-7 】用叠加定理求图1-44所示电路中的电流 i 。

【解】因为图1-44所示电路只由电阻和独立源构成，所以，它是线性电路。线性电路必定满足叠加定理。图1-44中有两个激励源，分别是独立电压源 u _S1 和 u _S2 ，所以电流 i 是 u _S1 和 u _S2 共同作用的响应。根据叠加定理，线性电路中的任何响应，都等于每个激励源单独作用时对应响应的叠加，所以电流 i 应该等于 u _S1 单独作用所产生的响应 i ′，与 u _S2 单独作用所产生的响应 i ″的代数和。

在图1-44中，要想计算独立电压源 u _S1 单独作用所产生的响应，应该保留 u _S1 而把独立电压源 u _S2 短路，从而得到图1-45a所示的电路，其中 i ′就是在 u _S1 单独作用时所产生的电流 i 的分量。类似地，图1-45b中，独立电压源 u _S1 短路而 u _S2 保留，用来计算图1-44所示电路在 u _S2 单独作用时的响应， i ″是 i 在 u _S1 单独作用时的分量。

图1-45 例1-7图

根据串并联规律可知，图1-45a中的电流 i ′等于电压 u _S1 除以从 u _S1 两端看进去的总电阻。这个总电阻阻值的表达式是（ R ₁ + R ₂ // R ₃ ），表示 R ₂ 、 R ₃ 并联，再与 R ₁ 串联，“+”号对应串联，“//”号对应并联，“ R ₂ // R ₃ ”是“ R ₂ 、 R ₃ 并联”的简写，它的值按照并联公式计算：

从 u _S1 两端看进去的总电阻为

下面是电流 i ′的计算公式，为综合了前面的结论的简洁表达式：

图1-45b中的电流 i ″等于 R ₁ 两端的电压 u ₁ 除以 R ₁ 的阻值，但是在图1-45b所标注的极性下，电压 u ₁ 与电流 i ″的参考方向非关联，所以

而要计算 u ₁ ，必须先求出电阻 R ₂ 从右向左的电流，再用该电流乘以 R ₁ 和 R ₃ 的并联电阻：

所以有

根据式（1-27）、式（1-28）计算出 i ′、 i ″后，根据叠加定理，就可以计算电流 i 了：

i = i ′+ i ″

1.7.6 线性电路理论应用举例

做完了例1-7之后，读者不妨思考一下，用叠加定理求解图1-44中的电流 i ，真的比使用基尔霍夫定律和元件约束特性、列方程求解的方法更方便吗？如果列方程就可以求解所有电路问题，而使用叠加定理又不能减少运算量，我们为什么要学习线性电路理论呢？一招打遍天下有什么不好？

答案是至少有一些情况不能通过基尔霍夫定律和元件约束特性列方程的方法来求解，还有一些情况使用线性电路理论（包括齐次性、叠加性、叠加定理）更加简单，我们举几个例子，看一些更加适用于使用线性电路理论的情况。

【 例1-8 】已知图1-46所示电路中的二端网络N由线性无源元件组成，而且当 u _S =1V时， i =1A，问当 u _S =2V时，电流 i 的值应该是多少？

图1-46 黑匣子电路的响应1

【分析】本例题初看起来很简单，读者几乎马上就要开始应用“激励增大 k 倍，响应也增大 k 倍”这一线性电路的齐次性特征了，而本例题也的确应该这样解决。但是，如果真这么简单的话，作者也许就不会把它作为例题了。所以，请读者认真阅读一下本例题的题干，并注意“网络N由线性无源元件组成”这段文字，这段文字实际上是要告诉我们，这个电路只有 u _S 这样一个激励，如果没有这个前提，我们就不能直接应用线性电路的齐次性特征。

【解】这是一个黑匣子电路，不能根据基尔霍夫定律列元件方程，但是根据线性电路的齐次性，可以求解。

因为电路只有 u _S 一个激励，电流 i 是它作用下的响应，激励 u _S 从1V变为2V相当于增大2倍，则响应 i 也应增大2倍，所以电流 i 的值应该是

i =1A×2=2A

【 例1-9 】已知图1-46所示电路中的二端网络N由线性无源元件组成，而且当 u _S =1V时， i =1A；当 u _S =sin314 t V时， i =cos314 t A。如果网络N接入图1-47所示电路，电流 i 的值应该是多少？