2.2 基于波分复用的分布式光纤传感器的定位原理

在分析系统基本原理时，由于在图2.2中两个反射端反射回来的光互不干涉，并且两个干涉光路完全对称，在3×3光纤耦合器输出端口1、输出端口2中形成的干涉光除了波长不同、光程长短不同，其他的光学性质是基本相同的。为了说明方便，先将系统简化为单一反射端，即只考虑其中一路反射光形成的干涉。系统通过相位调制器将干涉光调制在一定频率的载波下，在进行信号相位解调前，首先会经过信号分离提取处理，得到单波长的干涉信号，所以在说明系统的基本原理时通常将起载波调制作用的压电陶瓷（PZT）忽略。关于PZT的解调及其作用的相关内容将在后续章节进行分析。

图2.7表示如图2.2所示系统中简化的一部分。

在感应光纤7处施加一个振动信号 φ ( t ) ，光在反馈装置13处返回。WDM到反馈装置13的光纤长度很短，可以忽略不计。

根据光弹性效应，传输光波的相位变化与感应光纤上的外界扰动成正比，假设在时刻 t 由扰动信号引起的传输光波相位变化为 φ ( t ) ，两束相干光都经过扰动源，因此其均被扰动信号调制，则从3×3光纤耦合器的一个输出端口输出的两束干涉光为

这两束光的相位变化包含扰动信号对它的影响，其中， E 10 和 E 20 分别为两束光的振幅，可认为其近似相等，即 E 10 ≈ E 20 ； φ 0 为干涉光的初始相位； φ 1 、 φ 2 为光路结构引入的相位； ω c 为光波角频率； φ ( t − τ 1 ) 和 φ ( t − τ 2 ) 表示第一束相干光在 t − τ 1 时刻和 t − τ 2 时刻受到扰动所发生的相位变化， τ 1 表示光从扰动源到达光纤耦合器输出端1所需时间， τ 2 表示光从扰动源经反射端反射，并再次通过扰动源到达耦合器输出端1所需时间； φ ( t − τ 3 ) 和 φ ( t − τ 4 ) 表示第二束相干光在 t − τ 3 时刻和 t − τ 4 时刻受到扰动所发生的相位变化， τ 3 表示光经过时延线圈15后从扰动源到达光纤耦合器输出端B所需时间， τ 4 表示光经过时延线圈15后从扰动源经反射端反射后，并再次通过扰动源到达光纤耦合器输出端B所需时间。 τ 1 、 τ 2 、 τ 3 、 τ 4 分别表示为

式中， n 是光纤纤芯等效折射率， c 是真空中的光速， l 0 表示从光纤耦合器5到扰动源D的距离， l 1 表示从扰动源D到反馈装置13的距离， l d 为时延线圈15的长度。

式（2.17）和式（2.18）所示的相干光在光纤耦合器1处发生干涉，其光强可表示为

为简化分析，令 t = t − τ 1 ，光往返扰动源7传输两次的时间为 T 1 ，则

光在时延线圈上的传输时间为

则式（2.20）可写为

式中，Δ φ ( t )= φ ( t )+ φ ( t − T 1 )− φ ( t − τ )− φ ( t − τ − T 1 ) ，为扰动信号引起的相位差； ϕ = φ 1 − φ 2 。

根据振动频谱分析原理，任何一个复杂的振动都可以分解为不同频率的简谐振动的叠加，所以考虑单一频率为 ω 的振动信号

在时刻 t + τ ，单一频率为 ω 的振动信号引起的传输光波相位变化为

由于两束相干光都经过了两次调制，前者在 t 时刻、 t + T 1 时刻，后者在 t + τ 时刻、 t + τ + T 1 时刻，根据式（2.23）、式（2.24）、式（2.25）可知，由频率为 ω 的扰动引起的干涉光的相位差为

可以看出，Δ φ λ ( ω , t ) 与外界扰动信号 φ ( ω , t ) 成正比。对于所有频率的扰动，由于实施的扰动是可叠加的，因此总的相位差 ，对应外界振动信号的大小。

设该光路是波长为 λ 1 的光的路径，反馈装置为13，设扰动源7与反馈装置13的距离为 l 1 ，光纤时延线圈15产生的时延为 τ 1 ，即 τ = τ 1 ，则有

对于波长为 λ 2 的光的路径，反馈装置为14，设图2.2中光纤路径9和光纤路径10相差的光纤长度，即时延线圈16的长度为 l 3 ，则对应的时延 τ 3 = n l 3 / c ，光往返扰动源7的时间为 T 1 +2 τ 3 ，则有

对于所有频率的扰动，波长为 λ 1 、 λ 2 的光波对应的总相位差分别为

结合式（2.23），可知系统在3×3光纤耦合器1的输出端口可以得到的随时间变化的干涉信号为

同理，在3×3光纤耦合器2的输出端口得到的随时间变化的干涉信号为

其中， A 、 B 、 A ′ 、 B ′ 是与输入光功率大小有关的一个常量； ϕ 为整个系统的初始相位， ϕ =2 π /3； C 1 cos( ω 1 t ) 、 C 2 cos( ω 2 t ) 分别为相位调制器PZT11、PZT12产生的载波信号；相位差Δ φ λ 1 ( t ) 、Δ φ λ 2 ( t ) 的变化反映的是外界同一个振动信号的大小，但两者携带的该振动信号在传感光纤上的位置信息不同。通过两个相位调制器分别将同一个振动信号调制到相应频率的载波信号上，并通过相位载波解调算法将Δ φ λ 1 ( t ) 、Δ φ λ 2 ( t ) 从光纤耦合器输出端口1、输出端口2输出的干涉光中解调出来。

在使用一个反射端时，这个光路系统的定位原理如下。

由式（2.26）可知，当 时，叠加的频域谱上与频率 ω 对应的光强度的交流量始终为零，在频域谱上表现为该特征扰动频率 ω 对应的光强度明显小于周边频率对应的光强度，呈现出一系列周期性的极值点。这种情况又分为以下两种可能。

（1）当 时， （其中， k 为自然数）。

将式（2.21）代入，记特征频率为 f null ( k ) ，则有

由式（2.35）可见，扰动源的位置（用 l 1 表示）与特征频率 f null ( k ) 密切对应，其大小为

（2）当 时， （ τ 为延迟时间），也存在“陷波点” [6-7] 。但是，由于 τ 可以取得很小（可调节），则与其对应的第一个特征频率 f ′ (1) 就非常大，即在频谱上相应的“陷波点”频率位置远离零点。因此，只要选取适当的 τ ，就可以避免 f ′ ( k ) 对 f null ( k ) 的干扰。

对相位解调后的信号进行傅里叶变换得到频域谱，即可找出特征频率 f null ( k ) ，称之为“陷波点”，从而依据式（2.36）计算得出 l 1 ，并判定扰动发生的位置。频谱“陷波点”理论示意图如图2.8所示。

这种利用“陷波点”定位的方法只对具有特定频率的扰动信号有效。此外，在试验中经常发现，一阶“陷波点”会被噪声信号淹没，高阶“陷波点”定位比较稳定、准确，但现实中的扰动信号频率往往不能激发到合适的高阶“陷波点”。这种方法只能利用频谱上的几个有限点进行定位，定位精度也会受到限制，因此这种定位方式存在一定的局限性。

为了解决上述问题，本系统使用了两个经过载波调制的反射端，由于任何一个复杂的振动都可以分解为不同频率的简谐振动的叠加，因此考虑单一频率为 ω 的振动信号。通过相位载波解调算法将Δ φ λ 1 ( t ) 、Δ φ λ 2 ( t ) 还原出来后，对两路信号进行频谱转换。根据式（2.27），在Δ φ λ 1 ( t ) 的频谱上，每个频率 ω 都有与其相对应的幅值，即

同理，根据式（2.28），在Δ φ λ 2 ( t ) 的频谱上，每个频率 ω 都有与其相对应的幅值，即

又已知 T 1 =2 n l 1 / c ， τ 3 = n l 3 / c ，其中， l 3 为两个反射端形成的光路之间的长度差，其为已知量，因此可得

式中， α =2 n / c ，为常数。

由光弹效应 [8-10] 可知，光纤在受到外界应力作用时（假设不产生微弯）， ω 频率分量引起的相位变化为

式中， p t 、 p l 为光弹系数，Δ l ( ω ) 为外界应力 ω 频率的应力分量产生的应变， υ 为光纤材料的泊松比，因此有

则

式（2.43）的左边可以通过实际测试获得， α 、 l 3 为常数。因此，对于每个频率 ω ，通过比较两者频谱上的幅度，都可以求得 l 1 ，从而得到外界振动信号在传感光纤上的位置信息。

由以上分析可知，本节提出的频谱比值的定位算法不依赖频谱中的特定“陷波点”进行定位，即不需要在频谱上寻找“陷波点”，也就不需要扰动信号具备特定的频率，因而更具有普适性。此外，利用频谱上的每个点都可以求得 l 1 ，可以对频谱上的若干个点求得的定位值进行平均，这样可以在很大程度上减小检测信号不稳定所造成的差异性和信号处理中的误差，进而大大提高了系统的定位精度。 xfvQF7WBlLCY0i0vYBkyurQWvNVtptyHPFIM9HU9e2Sd1g52KutlI5N4c5TZJ9Rz