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基于波分复用的分布式光纤传感系统通过两个3×3光纤耦合器利用波分复用技术构成了两个独立的干涉光路，使同一个扰动获得两种不同的干涉信号，利用其来实现分光和干涉 [2-5] 。本节从光纤耦合方程出发，来具体推导系统中的干涉过程。
3×3光纤耦合器结构示意图如图2.3所示。
图2.3 3×3光纤耦合器结构示意图
图中， z 表示耦合器的耦合腰长度。设 a j （ j =1,2,3）为复数，表示3×3光纤耦合器不同端口的光波复振幅，根据模式耦合理论，满足下面的线性微分方程：
（2.1）
式中， j = j +3 ， K jk = K kj 表示第 j 个波导和第 k 个波导之间的耦合系数。为了计算方便，根据单模光纤非平面型耦合器的特点，有 K 12 = K 23 = K 13 = K ，在此条件下，如式（2.1）所示微分方程的解为
（2.2）
式中，参数 K z 表示耦合器的耦合性能，称为耦合度参数，单位为度。根据初始条件，可以将非平面3×3单模光纤耦合器的传输特性用矩阵来描述，即
（2.3）
式中， a 1 (0)、 a 2 (0)、 a 3 (0)、 a 1 ( z )、 a 2 ( z )、 a 3 ( z ) 分别为输入端和输出端光的复振幅； x =( z 1 +2 z 2 )/3 ； y =( z 1 − z 2 )/3 ； z 1 =e − i 2 K z ； z 2 =e i K z 。
这里，令
（2.4）
式中， T 为3×3光纤耦合器的传输矩阵。
输出端的光强可表示为
（2.5）
式中，*表示复数的转置。由式（2.5）就可以考察在不同的输入情况下，3×3光纤耦合器的输出信号特性。
设 φ ( t ) 为调制信号对光信号的调制效果，输入的复振幅可以分别表示为 a 1 、 a 2 和 a 3 ，在耦合器的右边输出端口1、输出端口2、输出端口3处得到的复振幅分别表示为 a 1 ( L ) 、 a 2 ( L ) 和 a 3 ( L ) 。在干涉发生的情况下，各端口的输出光功率均为
（2.6）
式中， A i 为干涉信号的直流部分； B i cos( φ ( t )+ θ i ) 为干涉信号的交流部分； θ i 为干涉信号中交流部分的初始相位；而 B i / A i 定义为干涉信号的对比度，或者调制深度，直接反映了条纹的清晰度情况。
下面根据不同的输入方式考察经过单个耦合器传输后的输出信号特性。
1 .分光情况讨论（假设输出端口1 处光强为 a 2 ）
此时，光在光纤耦合器中的传输情况如图2.4所示。
图2.4 反射端反射前3×3光纤耦合器的注入光情况
输入条件（初始条件）为
（2.7）
利用初始条件代入式（2.3）、式（2.5），可得
（2.8）
当 z = L 时，光纤耦合器的输出光功率为
（2.9）
3×3光纤耦合器的分光比为
（2.10）
可见， K L 反映了光纤耦合器的分光特性，是决定分光比的重要参数，通过控制 K L ，可以调节输出信号的相位差。
当cos(3 K L ) = −1/2时， P 1 ∶ P 2 ∶ P 3 = 1∶1∶1。在此情况下，光纤耦合器具有均一的分光比， K L =40°。目前，业界使用的光纤耦合器大多具备均一的分光比，通过后续的分析可以看出，为了得到高的条纹对比度，全光纤速度干涉仪要采用此类具有均一分光比的器件。
2 .强度稳定的干涉系统
在理想的干涉系统中，假设输出端口2、输出端口3处的光强为 a 2 ，则输入条件可表示为
（2.11）
此时，光在光纤耦合器中的传输情况如图2.5所示。
图2.5 反射光通过反射端反射后在3×3光纤耦合器中的注入情况
将式（2.11）代入式（2.3），各端口的复振幅可以分别表示为
（2.12）
设输出端口处输出的光功率分别表示为 P 1 、 P 2 、 P 3 ，根据式（2.12），输出端输出的光功率表示为
（2.13）
式中， θ 1 和 θ 2 为光纤耦合器引起的光干涉信号的初始相位， θ 1 =− θ 2 = θ ，其中
（2.14）
在此输入条件下，从式（2.14）可知，输出端口2、输出端口3处探测信号的调制度表示为
（2.15）
系统调制度随光纤耦合度 K L 的变化曲线如图2.6所示。
图2.6 系统调制度随光纤耦合度 K L 的变化曲线
可见，当 K L = 40°时，条纹对比度最大，而此时由 K L 决定的分光比均一，通过控制 K L ，可以调节信号的对比度。
将 K L = 40°代入式（2.13），可得
（2.16）
比较式（2.16）可知，如果3×3光纤耦合器的分光比为1/3，从任意两个输入端注入存在相位差 φ ( t ) 的光信号，经光纤耦合器后在输出端将产生相位差为120°的光信号。如果 φ ( t ) 为包含振动信息的输入信号，那么在3×3光纤耦合器的输出端将产生相位差为120°的干涉信号。
根据以上分析可知，在系统中采用分光比均一的3×3光纤耦合器，不需要单独的相位偏置结构就可以使系统工作在比较灵敏的区域范围内，而目前使用的光纤耦合器大多具备均一的分光比，因此很容易达到此要求。这也就避免了传统的传感器结构中使用2×2光纤耦合器时需要在干涉光路中引入相位调制器进行调相的问题，提高了系统的灵敏度。