1.1.2 预测性维修的优化目标

不同的维修优化目标对优化结果有较大影响，优化目标通常考虑使停机时间的期望值最小、使单位时间内维修费用的期望值最小、使系统可用度的期望值最大。优化目标主要有以下3种。

（1）可用度目标：可用度是可用性的概率度量。可用性指当产品按使用需求执行任务时，处于可工作或可使用状态的程度。用系统在一段时间内的正常工作时间所占的百分比来表示它的可用度，即

式中，MTTF为工作时间（故障前的平均使用时间）；MTTR为平均修理时间。

（2）费用目标：维修需要消耗材料、备件，需要考虑材料和备件的成本、误工成本及故障带来的损失，在维修不及时的情况下，还可能有更大的损失。因此，在分析维修费用时需要考虑3个方面的费用：一是直接维修费用，包括预防性维修费用和故障修复费用；二是故障损失费用；三是由预防性维修或故障带来的停机损失费用。实际上，部件在不同状态下的维修费用是不同的，状态越差，维修费用就越高。维修费用与部件状态的关系可以通过结合比例危险模型、统计方法和专家信息获得。当同时维修几个具有相关性的部件时，总维修费用会小于分别维修这些部件的费用之和。这些都是在计算维修费用时需要考虑的方面。

（3）风险目标：主要指将故障的发生概率控制在一定范围内，提高部件、系统的可靠性，一般将风险目标作为约束。

维修的主要目的是避免出现意外停机情况、提高系统的可用性和可靠性、降低运营成本。优化准则主要有3个：成本最小化、可用性和可靠性最大化、多目标优化。

1.成本最小化

成本模型随维修策略的变化而变化。对于被动性维修策略，只存在纠正性更换成本 C c 。对于预防性维修策略，一系列的维修行动是计划好的，所涉及的成本通常包括预防性更换成本 C p 、检查成本 C i 、单位时间停机成本 C d 和纠正性更换成本 C c 。通常将这些成本项目应用于连续时间预防性维修成本模型，根据系统状态找到最优的预防性更换阈值和得出检查计划。目标成本函数是最小化长期运行费用率期望 E ( C ∞ ) 。令 N i ( t )、 N p ( t )、 N c ( t )分别表示[0, t ]的定期检查次数、预防性维修次数和故障性维修次数， d ( t )表示停机时间。累计维修成本可以表示为

因此，长期运行费用率期望 E ( C ∞ ) 可以表示为

PdM策略根据故障预测结果进行维修，因此成本模型通常与剩余寿命预测相关。这里主要考虑5项成本，即产能损失成本 c 1 、PdM成本 c 2 、维修成本 c 3 、间接成本 c 4 、质量损失成本 c 5 。PdM策略主要考虑的5项成本如图1.4所示。在整个规划期 T 内，生产任务的总成本可以表示为

c = c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5

（1.4）

c 1 ：设 N 为规划期内的PdM周期数； ε 为从进行最后一次PdM活动到规划期结束的时间； λ k 为第 k 个PdM周期的设备故障率； t k 为两次PdM活动的时间间隔。 c 1 可以表示为

c 2 ：规划期内的累计PdM成本。 c 2 可以表示为

式中， c p 为一次PdM活动的期望成本。

c 3 ：设备故障会导致生产能力损失，设处理能力为 C x 的概率为 p x （ x =1,2,⋯, M ）， C M 是最大产能， C Mτ′ 是单一PdM活动在时刻 τ ′ 的预期产能损失。 c 3 可以表示为

c 4 ：在实践中，设备故障可能导致不能按时完成生产任务，带来经济损失、声誉损失等。设 σ 为预期间接经济损失， R T 为给定生产任务在每个PdM周期内的维修活动的任务可靠度阈值， R ε 为从进行最后一次PdM活动到规划期结束的时间内的任务可靠度。 c 4 可以表示为

c 5 ：产品质量损失是由设备劣化造成的。 c 5 可以表示为

式中， φ 表示单一缺陷造成的经济损失； E ( ρ k ) 表示第 k 个PdM周期的设备期望合格率。

2.可用性和可靠性最大化

虽然成本是衡量维修策略好坏的一个很好的、直接的标准，但成本模型中的一些参数不易获得，且不同的系统在不同的应用场景下有不同的成本模型。而系统的正常运行时间与停机时间通常可以准确、容易地获得。因此，可用性和可靠性是用于评估维修策略有效性的实用标准。

可靠度表示系统或设备在指定时间内处于功能状态的概率。用 T f 代表设备的寿命，则可靠度可以表示为

R ( t )= P ( T f > t )

（1.10）

将 T f 定义为退化信号{ X ( t ): t ≥0} 首次超过预先设定的阈值 D 的时间FPT（First Passage Time），即 T f =inf{ t ≥0; X ( t )≥ D } 。那么，时刻 t 的可靠度可以表示为

可以将退化信号 X ( t ) 分解为确定性部分和随机部分，并将可靠度函数转化为基于维纳过程的公式。在实践中，系统通常由许多不独立的组件构成，组件之间的依赖关系是通过环境因素建立的。

将平均维修间隔时间（Mean Time Between Maintenances，MTBM）和平均维修时间（Mean Maintenance Time，MMT）分别作为正常运行时间和停机时间。针对串联系统、并联系统和串并联系统提出通用的可用性模型。

串联系统的可用性 ：对于由 n 个独立组件串联构成的系统，可用性 可以表示为

并联系统的可用性 ：对于由 m 个独立组件并联构成的系统，可用性 可以表示为

串并联系统的可用性 ：对于由 n 个串联的独立组件和 m 个并联的独立组件构成的系统，可用性可以表示为

3.多目标优化

单目标优化方法往往不能找到操作者对优化目标偏好的最优解。例如，对于一个多部件系统，由于组件是异构的和多样的，维修和退化过程不同，所以当使维修成本最低时，可能会导致某个部件的可靠性较低。在这种情况下，采用多目标优化方法可以在不同优化目标之间实现良好的平衡。一般的多目标优化问题是寻找最优决策变量，使一组目标最小化或最大化。多目标优化问题的一般表示为

式中， x 为决策变量向量； χ 为 x 的可行空间； k 为目标总数； f i ( x ) 为第 i 个目标函数。多目标优化问题也常表示为求加权和的形式： ，其中 w i 是目标 i 的权重，且 ， w i ≥0， i =1,⋯, k 。

由于不同目标之间可能存在冲突，通常不能同时获得所有目标的最优值。因此，可通过多目标优化方法来寻找一个解决方案，以在各目标之间实现良好的平衡。 V6sMJ0Dw8HQXZ1HgAHxErIo5rRWpuJIlfe2eroasPnd8PpTAtevu3KhcLv4SNkTc