第一节
数的认识

亲爱的读者朋友们，我们从很小就开始学习数学，从咿呀学语时期的数数练习，到简单的方程、平面几何、函数、数理统计，很多人在大学期间还要继续学习微积分和线性代数等高等数学知识。生活中很多人都对数学感到无比头疼，他们艰难学习了十几年，却没有考虑过一个最简单的问题：如果没有数字，我们会用什么办法计数呢？

这个问题是不是让你感觉很奇怪？因为当你看到3头牛的时候，脑子里立刻会冒出来一个数字“3”，你甚至能想到3是3个一的意思，但是你无法想象如果没有数字的话会是什么状况。在人类的文明史上，数字的出现很晚。在几十万年前的原始社会中，人类是没有“数”这一概念的。早期的数量统计只涉及物体，而不会抽象为一个数字。比如，游牧民族看到了3头牛和5头野猪，在他们眼中，这是两个整体。他们能判断5头野猪看起来更多，但当时他们没办法具体地做比较。

我们现在都知道，数表达的是一个尺度关系，但是在人类没有发明数字前，这个尺度关系是模糊的。人们只能比较物体的多和少，但是没办法确认“多多少”或者“少多少”。而发展过程中最大的突破，是人类意识到“一”的存在，即把一个个体区别于多个个体。这可能听起来很奇怪，但人类意识到这一点确实经历了漫长的过程，而最早意识到“一”和“多”的关系，是通过我们的身体。

在全世界几乎所有的文明中，最早被采用的计数方式都是身体计数。没错，也就是掰手指头。但人类的手指头只有10个，在无法计数的情况下，就会使用一些独特的手势。几乎每种文明都有一套自己的“手势计数法”。比如，中国人把大拇指和小拇指同时伸向两边，其余手指并向手心来表示6。印度的计数手势最为复杂，除大拇指外，每个手指关节表示一个数字，用大拇指掐对应的指节来表示数字，每只手最多能表示12个数字。据说最复杂的计数手势来自西伯利亚的尤卡吉尔人，在他们的文明当中，至今都是用人体器官来计数。如果想要表示94头驯鹿，他们会说：“3个人站在1个人上面，再加上半个人和1个人的前额、两只眼睛和一个鼻子。”而中国不同地区的计数手势也有些许差别。比如，在中国的大部分地区，只需要伸出大拇指和食指就可以表示数字8；但在南方的有些地区，人们是把大拇指、食指和中指都伸出来表示数字8；还有一些地区，7和8都是大拇指和食指来表示，只是指示的方向不同。

正是因为使用手指计数的方式，所以在一些文明中，也产生了有趣的进制系统。比如，很多地区都是使用五进制去计算的，在波利尼西亚群岛和美拉尼西亚群岛的一些部落里，现在依然延续着五进制的数字系统。还有一些地方采用二十进制的系统。比如，北美原住民部落以及西伯利亚地区，就有很多人使用二十进制，甚至在法语中，数字80的说法也是4个20，格鲁吉亚语也用20作为倍数的基准：40是2个20；60是3个20；80是4个20。显而易见，采用五进制的地区是默认只用一只手来计数，采用二十进制的则是算上了脚趾头。它们看起来都有些怪异，所以，今天我们所见的大多数地区最终采用的都是十进制系统，也就是将两只手的手指凑到一起。

不过，用身体计数的方式有三个显而易见的硬伤：一是表达数字有上限，大部分身体计数的极限都很难超过20；二是难以进行计算，因为可表达的数字很难超过20，所以一般只能做较小数字的加减法，就像我们小时候一样，算数必须掰着手指头算，更何况在连数字都没有搞清楚的情况下计算加减法，可想而知会有多么困难；三是无法记录，由于身体计数只能现场计算，没办法落实成文字，原本说好的交易可能无法牢记。

当然，在原始社会，人类对于计数并没有太迫切的需求。其根本原因是当时的物资极为匮乏，原始人类以狩猎和采摘为生，每天的收获或许都无法满足生存需要，更不要说留下来一部分东西做统计了。到了原始社会后期，人类学会了分工协作，同时伴随着部落的出现，才有了统计物品和分配财产的需要，也就是当人类生产能力足够强的时候，才有清点物品的动力。

于是，在公元前4万年左右，脱离人身体的外部计数工具出现了。迄今为止，人类发现的最早的计数工具是“莱邦博骨”，出土于非洲南部的斯威士兰。那是一块狒狒的腓骨，上面有29道刻痕，据分析这29道刻痕就是计数用的。 ^[1] 有人猜测，这组数字记录的可能是月相，但是目前无从考证。刻痕计数的出现一下解决了三个问题，首先是理论上上限可以无限多，当然刻太多也不现实，但至少能保证两位数级别的数字；其次是可以直接在骨头上进行计算，多了东西就添加一道刻痕，少了就抹去或者划掉一道刻痕；最后，骨头本身就是一个记录文件，甚至可以作为交易的凭证。

这种在骨头上刻痕的计数方式被称为“契刻”。

最为知名的契刻是伊尚戈骨，发现于非洲乌干达与刚果民主共和国交界处的伊尚戈村，骨头大约来自公元前8500年，上面刻着三组纹路，其中第一组为11、13、17、19，第二组为11、21、19、9，第三组则为3、6、4、8、10、5、5、7。我们无从知道每个数字代表了什么，但是可以确定的是，当时的人类已经拥有使用抽象数字记录的能力了。

当人类学会了抽象的数字表达后，那么5就可以表达为5个手指头、5头牛或是5头猪了，数字也就具备了通用性。当人类再去看3头牛和5头野猪时，就能想象出5大于3这个关系。

类似的契刻在多个文明遗址中都曾出现过。比如，北京的山顶洞人遗址中就发现过四根带有刻痕的骨管，上面的刻痕就是计数用的；20世纪70年代，在青海省乐都县出土了新石器时代的原始社会墓葬，里面发掘出了49枚骨片，它们的尺寸大小基本一致，均是1.8cm×0.3cm×0.1cm的长方体，其中的35枚有1个刻口，3枚有3个刻口，2枚有5个刻口，这极可能是早期的数据统计工具，而且比单纯的刻痕更加复杂，甚至可以用于计算。

与契刻类似的是结绳计数，也就是靠绳子打结的数量来统计。在南美的一些部落里流行着多种复杂的结绳系统，不同粗细和颜色的绳子以及不同的打结位置，代表着不同的数字。其中最为知名的是古印加人的计数工具奇普（Quipu），但由于历史上印加帝国遭受过西班牙的侵略，经历过文化洗刷后，我们已经无法完整解读其具体的数字表示方式。但直到今天，南美依然有原始部落在使用着类似的计数体系。

然而，我们上面谈到的都是相对落后的数字表达方式。真正的数字普及，要伴随着文字的到来，也就是伴随着文明的诞生。

所以，读者朋友们还记得自己什么时候学会了数数吗？你学会的那一刻，其实已经凝结了数十万年人类发展史的结晶。而这一切也是现代数学这座宏伟大厦的基石。

下面，我们要正式进入人类文明的开端了。

注释：

[1] Beaumont, Peter B. Border Cave-A Progress Report [J]. South African Journal of Science. 1973, 69: 41-46. 5j8QDsIQBvIInzCvnYr7fRMsNWphJ1d6NU+O/OwYdJhLRwZX5eZAHId1XPdGme7e

第二节
莎草纸上的古埃及数学

早期的人类文明活动轨迹中，发现了大量与数学有关的信息，但由于留存下来的具体内容很少，不易考证，更多的是针对内容的猜测。真正大规模地发现数学相关的内容，也伴随着古代文明的诞生。一般认为西方文明起源于近东地区，这一地区不同于兵荒马乱的欧洲，当地人们一直在努力发展自己的文明和文化，进而在未来影响了欧洲大陆，甚至演化出了整个西方文明。数学也是如此，所以当我们讨论数学史时，就必须把精力放在这里。

在考古发掘过程中，人类第一次有证据地发现数学的应用是在两个区域：一是底格里斯河和幼发拉底河中间的区域，也就是美索不达米亚平原，主要位于今天的伊拉克境内；二是埃及和非洲东北部尼罗河流域的河谷地区。在这两个区域，人们发现了大量有迹可循的数学文献。

早期数学在这两个区域出现的根本原因是政府和奴隶制的诞生。为了方便对民众的管控，政府需要制定合理的税费制度和生产活动政策，也就需要大量的数学运算。所以在当时，数学是集权政府的一种统治工具，政府会招募一些专门负责计算的人员，这些人就是世界上最早的数学家，也是历史学者口中的“抄写员”。

我们的故事从古埃及开始讲起。

古埃及的位置与现在埃及的位置差不多，位于尼罗河下游的谷地。从大约公元前3000年开始，这里就已经有了奴隶制国家，并且依托尼罗河发展农业，促进了早期农业产品和工业产品的诞生。

古埃及科学最被人熟知的是“纪年法”。其中，以埃及历最为知名。当今的古埃及学者认为，公元前4241年是人类最早开始纪年的年份，这也是埃及历被采用的第一年。埃及历包含12个月，每个月30天，此外加上了5个庆祝日，共计365天。在早期的文明中，古埃及对于历法的精准度追求是近乎于变态的，曾有学者猜测，这会不会是出于某种宗教性目的。但是近些年，学者们逐渐认为这是为了服务于农业。

尼罗河为古埃及带来了肥沃的土壤，同时，也带来了让人头疼的水患。所以早期的古埃及人必须记录下尼罗河水泛滥的时间，于是他们开始观测天象，想找出天象与河水泛滥的直接关系。古埃及人发现，每逢天狼星 清晨升起时，正好是尼罗河涨水的开始，所以古埃及人把两次天狼星清晨升起的时间间隔作为一年，而这个时间间隔，正好是365天。此后在这个基础上，进一步细化了古埃及的历法。

古埃及文献保存至今的并不多，当时埃及人在一种名为莎草纸的载体上书写。莎草纸使用尼罗河三角洲的纸莎草的茎制成，这种草在近东地区分布极为广泛。公元前3000年，古埃及人就开始使用莎草纸，并将其出口到古希腊等其他古代文明国家，一直到公元3世纪前后，莎草纸才逐渐被羊皮纸替代。而一些埃及人，甚至到公元8世纪还在使用莎草纸，可以说莎草纸是人类文明最早的便捷载体。事实上，莎草纸在英语中写作Papyrus，它是英文中纸（Paper）一词的词源，相当于认同了莎草纸和现代纸张的一脉相承。在考古学中，有一批学者专门研究莎草纸，尤其是研究古埃及、古希腊和古罗马的历史学家，一定会有所涉猎。现在的中文语境里，一般把撰写在莎草纸上的书籍叫作纸草书。

莎草纸虽然有很多优点，但是对于考古工作者来说也有一个显而易见的缺点——难以保存。莎草纸只有在极其干燥的环境下才能长期保存，而大量的莎草纸被运往海外，导致得以保存下来的内容并不多，且损毁严重。所以如今我们对古埃及文明的探究，大多是依靠极少的文献进行分析的。而关于古埃及真正的数学水平，一直存在着一定程度的争议。但我们还是可以认为古埃及对数学的理解在当时的世界上属于最高水平之一。

关于古埃及的数学水平，大多是参考19世纪考古学家带回英国的《莱因德纸草书》（ Rhind Mathematical Papyrus ）来了解的。《莱因德纸草书》总长525 cm，高33 cm，大部分藏于大英博物馆，少部分藏于美国纽约布鲁克林博物馆。

《莱因德纸草书》是约公元前1650年，由古埃及僧侣在纸草上抄写的一部数学著作。根据书中描述，该书的内容抄自法老阿蒙涅姆赫特三世时期（公元前1842—公元前1797）的一部更早的著作，也被认为是世界上最早的数学著作。

《莱因德纸草书》的内容分为两部分：第一部分是一张分数表，第二部分是85个问题。这些问题涉及大量的基础数学概念，包括素数、合数等，甚至初步计算出π的值是3.1605。其中最为知名的是“古埃及分数”。

古埃及拥有的分数系统已经非常先进了，证明了古埃及人除了拥有以“1”为整体的概念，还拥有切分数字的概念，能把一个整体想象成一系列更小部分的组合。而更有趣的是，古埃及分数还十分复杂。古埃及分数是单分子分数，也就是基本只使用分子是1的分数，如 和 。当需要分子不为1时，可以通过计算来获得对应的结果，如 ， ， 。这些都是书中记载的分数。

书中还记载了一道有些难度的数学题，如：一个数和它的 加起来是19，这个数是多少？按照现在的数学知识，很容易求解，即

如果用古埃及人的分数组合表示的话，结果就是 。

但是这套方法也存在明显的问题，一个分数有很多种被拆分的方法，而书里的拆分法可能并不是最佳的，甚至是不统一的，更像是在经验主义下得到的结果，而不是一套严谨的数学推理。比如， 也可以是 。埃及分数的这种特性，也衍生出了一系列的数学猜想，其中最为知名的是埃尔德什-施特劳斯猜想（Erdős–Straus conjecture），由匈牙利犹太数学家保罗·埃尔德什（Erdős Pál，1913—1996）与德裔美国数学家恩斯特·施特劳斯（Ernst Gabor Straus，1922—1983）于1948年共同提出。内容为：对于任何一个大于1的整数n，都有 ，其中x、y、z为正整数。这个猜想属于丢番图方程（Diophantine equation），又称为不定方程，当然这是后话了。

显而易见的是，这种单分子分数使用起来十分不方便，但在古埃及曾被长期使用。这种设计可能是为了分配生活物资使用，有非常强烈的目的性。这是早期数学的共性，数学研究并不是一门学科，而是为了解决生活中遇到的问题。

《莱因德纸草书》中还提供了一个非常粗略的圆周率，书中提到，假设圆的直径是9，那么其面积等于边长是8的正方形。按照这个说法去计算，我们知道在古埃及的数学中，圆周率约为 ，虽然现在来看有些误差，但是在当时来看也算是较为精准的。假如去看埃及人的纸草书，会发现与面积相关的内容极多，这是因为当时的埃及是农业国家，需要大量计算农田面积。

《莱因德纸草书》并不是已发现的那个年代的唯一数学著作，还有一份名为《莫斯科数学纸草书》（ Moscow Mathematical Papyrus ）的著作，也被称为《戈列尼谢夫数学纸草书》，它是以首个持有者弗拉基米尔·戈列尼谢夫（Vladimir Golenishchev）命名，现藏于俄罗斯莫斯科普希金造型艺术博物馆。从时间上判断，《莫斯科数学纸草书》很可能比《莱因德纸草书》的时间更早。

《莫斯科数学纸草书》中共有25道数学题。其中问题19被称为“啊哈问题”，这是一道难度不大的线性方程，但是抄写员使用了一种被称为“试位法”的另类解法。题目为：一个数字加上它的 ，再加上4，等于10，求这个数字是多少。写作方程为

抄写员提供解法的第一步是先把两边都减去4，剩下

抄写员注意到了 ，所以假设x=2，然后只代入到方程左边，得到

然后抄写员观察到，原方程右边的6是3的2倍，所以x的结果应该就是2×2=4。这一解法虽然十分笨拙，但也确实解答了问题。

类似这种笨拙但有效的方法在古埃及还有很多，如古埃及人没有乘法，只有加减法，那么需要乘法的时候，就使用了一种加倍的方法。比如，要计算35×9，那么会先把35加倍为70，再加倍为140，再加倍为280。280是35的8倍，还差一点怎么办？那么就再加上一个35，结果就是315。反过来，除法则是让除数加倍，起到一样的效果。古埃及人用这个奇怪的方法，做出了很多难度极高的数学题，也算是熟能生巧。

考古学家还曾发现过其他记载数学内容的纸草书，虽然没有上述两份纸草书内容丰富，但也记录了一些有趣的内容。比如，有的纸草书就给出了一个求四边形的面积公式 。当然，我们现在只要有小学数学知识，就会发现这个公式仅仅可以在长方形上使用。有类似灵光一闪的内容的纸草书比比皆是。

但有一个问题一直备受争议，这些数学著作，到底是用来做什么的呢？

现代研究一般认为，这是一种查找用的参考手册，上面记载了大量的乘法题目和一些生活中经常遇到的数学问题，记录下来，便于人们在日后的工作中再遇到相似的问题时进行查阅。另一些人认为，这两本书可能是培训年轻抄写员的教材，也可能是用于培养下一代。

无论如何，通过这些内容，我们足可确定古埃及存在着一定水平的数学应用。我们再去看看同时期的另外一个区域——古巴比伦。 5j8QDsIQBvIInzCvnYr7fRMsNWphJ1d6NU+O/OwYdJhLRwZX5eZAHId1XPdGme7e