第一节
数的认识

亲爱的读者朋友们，我们从很小就开始学习数学，从咿呀学语时期的数数练习，到简单的方程、平面几何、函数、数理统计，很多人在大学期间还要继续学习微积分和线性代数等高等数学知识。生活中很多人都对数学感到无比头疼，他们艰难学习了十几年，却没有考虑过一个最简单的问题：如果没有数字，我们会用什么办法计数呢？

这个问题是不是让你感觉很奇怪？因为当你看到3头牛的时候，脑子里立刻会冒出来一个数字“3”，你甚至能想到3是3个一的意思，但是你无法想象如果没有数字的话会是什么状况。在人类的文明史上，数字的出现很晚。在几十万年前的原始社会中，人类是没有“数”这一概念的。早期的数量统计只涉及物体，而不会抽象为一个数字。比如，游牧民族看到了3头牛和5头野猪，在他们眼中，这是两个整体。他们能判断5头野猪看起来更多，但当时他们没办法具体地做比较。

我们现在都知道，数表达的是一个尺度关系，但是在人类没有发明数字前，这个尺度关系是模糊的。人们只能比较物体的多和少，但是没办法确认“多多少”或者“少多少”。而发展过程中最大的突破，是人类意识到“一”的存在，即把一个个体区别于多个个体。这可能听起来很奇怪，但人类意识到这一点确实经历了漫长的过程，而最早意识到“一”和“多”的关系，是通过我们的身体。

在全世界几乎所有的文明中，最早被采用的计数方式都是身体计数。没错，也就是掰手指头。但人类的手指头只有10个，在无法计数的情况下，就会使用一些独特的手势。几乎每种文明都有一套自己的“手势计数法”。比如，中国人把大拇指和小拇指同时伸向两边，其余手指并向手心来表示6。印度的计数手势最为复杂，除大拇指外，每个手指关节表示一个数字，用大拇指掐对应的指节来表示数字，每只手最多能表示12个数字。据说最复杂的计数手势来自西伯利亚的尤卡吉尔人，在他们的文明当中，至今都是用人体器官来计数。如果想要表示94头驯鹿，他们会说：“3个人站在1个人上面，再加上半个人和1个人的前额、两只眼睛和一个鼻子。”而中国不同地区的计数手势也有些许差别。比如，在中国的大部分地区，只需要伸出大拇指和食指就可以表示数字8；但在南方的有些地区，人们是把大拇指、食指和中指都伸出来表示数字8；还有一些地区，7和8都是大拇指和食指来表示，只是指示的方向不同。

正是因为使用手指计数的方式，所以在一些文明中，也产生了有趣的进制系统。比如，很多地区都是使用五进制去计算的，在波利尼西亚群岛和美拉尼西亚群岛的一些部落里，现在依然延续着五进制的数字系统。还有一些地方采用二十进制的系统。比如，北美原住民部落以及西伯利亚地区，就有很多人使用二十进制，甚至在法语中，数字80的说法也是4个20，格鲁吉亚语也用20作为倍数的基准：40是2个20；60是3个20；80是4个20。显而易见，采用五进制的地区是默认只用一只手来计数，采用二十进制的则是算上了脚趾头。它们看起来都有些怪异，所以，今天我们所见的大多数地区最终采用的都是十进制系统，也就是将两只手的手指凑到一起。

不过，用身体计数的方式有三个显而易见的硬伤：一是表达数字有上限，大部分身体计数的极限都很难超过20；二是难以进行计算，因为可表达的数字很难超过20，所以一般只能做较小数字的加减法，就像我们小时候一样，算数必须掰着手指头算，更何况在连数字都没有搞清楚的情况下计算加减法，可想而知会有多么困难；三是无法记录，由于身体计数只能现场计算，没办法落实成文字，原本说好的交易可能无法牢记。

当然，在原始社会，人类对于计数并没有太迫切的需求。其根本原因是当时的物资极为匮乏，原始人类以狩猎和采摘为生，每天的收获或许都无法满足生存需要，更不要说留下来一部分东西做统计了。到了原始社会后期，人类学会了分工协作，同时伴随着部落的出现，才有了统计物品和分配财产的需要，也就是当人类生产能力足够强的时候，才有清点物品的动力。

于是，在公元前4万年左右，脱离人身体的外部计数工具出现了。迄今为止，人类发现的最早的计数工具是“莱邦博骨”，出土于非洲南部的斯威士兰。那是一块狒狒的腓骨，上面有29道刻痕，据分析这29道刻痕就是计数用的。 ^[1] 有人猜测，这组数字记录的可能是月相，但是目前无从考证。刻痕计数的出现一下解决了三个问题，首先是理论上上限可以无限多，当然刻太多也不现实，但至少能保证两位数级别的数字；其次是可以直接在骨头上进行计算，多了东西就添加一道刻痕，少了就抹去或者划掉一道刻痕；最后，骨头本身就是一个记录文件，甚至可以作为交易的凭证。

这种在骨头上刻痕的计数方式被称为“契刻”。

最为知名的契刻是伊尚戈骨，发现于非洲乌干达与刚果民主共和国交界处的伊尚戈村，骨头大约来自公元前8500年，上面刻着三组纹路，其中第一组为11、13、17、19，第二组为11、21、19、9，第三组则为3、6、4、8、10、5、5、7。我们无从知道每个数字代表了什么，但是可以确定的是，当时的人类已经拥有使用抽象数字记录的能力了。

当人类学会了抽象的数字表达后，那么5就可以表达为5个手指头、5头牛或是5头猪了，数字也就具备了通用性。当人类再去看3头牛和5头野猪时，就能想象出5大于3这个关系。

类似的契刻在多个文明遗址中都曾出现过。比如，北京的山顶洞人遗址中就发现过四根带有刻痕的骨管，上面的刻痕就是计数用的；20世纪70年代，在青海省乐都县出土了新石器时代的原始社会墓葬，里面发掘出了49枚骨片，它们的尺寸大小基本一致，均是1.8cm×0.3cm×0.1cm的长方体，其中的35枚有1个刻口，3枚有3个刻口，2枚有5个刻口，这极可能是早期的数据统计工具，而且比单纯的刻痕更加复杂，甚至可以用于计算。

与契刻类似的是结绳计数，也就是靠绳子打结的数量来统计。在南美的一些部落里流行着多种复杂的结绳系统，不同粗细和颜色的绳子以及不同的打结位置，代表着不同的数字。其中最为知名的是古印加人的计数工具奇普（Quipu），但由于历史上印加帝国遭受过西班牙的侵略，经历过文化洗刷后，我们已经无法完整解读其具体的数字表示方式。但直到今天，南美依然有原始部落在使用着类似的计数体系。

然而，我们上面谈到的都是相对落后的数字表达方式。真正的数字普及，要伴随着文字的到来，也就是伴随着文明的诞生。

所以，读者朋友们还记得自己什么时候学会了数数吗？你学会的那一刻，其实已经凝结了数十万年人类发展史的结晶。而这一切也是现代数学这座宏伟大厦的基石。

下面，我们要正式进入人类文明的开端了。

注释：

[1] Beaumont, Peter B. Border Cave-A Progress Report [J]. South African Journal of Science. 1973, 69: 41-46. uLZmyICrsvF8P+B1Ob7xydjsyCn9cOW+KJUHzkVBIICnZ+zlyT86nLM5S2C/6hZT