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他只有停止了生命，才能停止计算。
——孔多塞（Condorcet，1743—1794）
数学上有多少方程、定理、公式……用欧拉命名的？恐怕谁也说不出一个准数。我们随手拈几个来就有：欧拉变换、欧拉常数、欧拉定理、欧拉定律、欧拉动力学定律、欧拉法、欧拉方程、欧拉曲率公式、欧拉图、欧拉线、欧拉坐标、欧拉相关、欧拉角、欧拉力、欧拉函数、欧拉积分、欧拉运动方程……
哎呀，这位欧拉可真了不得！可不是嘛，有一件趣事，更足以证明欧拉的伟大。人们为了纪念这位叱咤数学界几十年的风云人物，曾把他同阿基米德、牛顿、高斯三人一起合称为“数学界四杰”。但有一位著名数学家说：“不！欧拉应该被称为数学英雄！”
这位数学家认为欧拉在四个人当中是最顶尖的。下面我们就简单介绍一下这位“数学英雄”欧拉。
1707年4月15日，欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）出生于瑞士第二大城市巴塞尔。他的父亲是一位穷牧师。家庭虽然贫穷，但因为是牧师家庭，这使他能进入到令一般人神往的学校。父亲见小欧拉聪明过人，对他寄托了莫大的希望，希望他长大后能飞黄腾达、荣耀门庭。但小欧拉却常常提出一些奇怪的问题，让做父亲的十分担心。像每一个小孩一样，当小欧拉抬头仰望夜空时，那闪耀的群星总会引起他无限的遐思，思绪不由自主在宇宙翱翔。他问父亲：“天上有多少星星呀？”
父亲耸了耸肩，漫不经心地回答：“有多少颗星星这并不重要，我们应该知道的是，那些星星是上帝一颗一颗地镶上去的。”
“那么，上帝既然一颗一颗地镶上去，他就该知道有多少颗星星了。”
这些问题是不能多问的，父亲不免担心地瞧着小欧拉。父亲的担心，果然被印证了。校长因为小欧拉经常提出一些犯禁忌的问题，而把他从学校除名，以免这些不祥的问题蛊惑人心。父亲十分沮丧，只好让小欧拉在家中帮他做点杂事。未来一片暗淡，有什么办法呢？
但出乎意料的事发生了：有一天，巴塞尔大学数学教授约翰·伯努利（John Bernoulli，1667—1748）来找欧拉的父亲，他早就听说小欧拉有非凡的数学天才，因此想亲自看一看。伯努利家族在欧洲科学界威名赫赫，先后出了九位著名的数学家，而且他们特别注重选拔和培养人才。当约翰听说小欧拉竟然能够解决难度不小的“围篱问题”，不觉心动了；如果真是天才，可不能浪费了！
事情是这样的：
有一天欧拉的父亲想围一个羊圈，羊圈长40英尺
，宽15英尺，面积当然就是600平方英尺；显然，这需要110英尺篱笆才能围住。但他却只有100英尺篱笆，这可让他犯愁了。小欧拉当他的帮手，见父亲犯愁，就问他愁什么。父亲不耐烦地说：“大人的事，你小孩子多问些什么呀！”
小欧拉不罢休，最后总算知道父亲愁什么。他仰头想了一会，又在地上用树枝画了一些什么，然后对父亲说：“爸爸，您可以把长宽都定为25英尺，那羊圈面积成了625平方英尺，比您设计的还大了25平方英尺，但篱笆却只要100英尺，您就不用愁了！”
父亲听儿子这么一说，不禁喜从心来：我儿子还真不一般呢！从此逢人便说儿子的“奇迹”。
约翰后来也听说了，于是决心见一见小欧拉。约翰见到小欧拉，亲切地问他在想些什么。小欧拉兴奋地说：
我在想，6这个数可以分解成1、2、3、6这4个数，把前面的3个数1、2、3加起来正好等于最后的一个数6；还有一个数是28，它可以分解为1、2、4、7、14、28这6个数，把前面的5个数1、2、4、7、14加起来，又正好是最后面的一个数28。约翰先生，请问这种奇妙的数除了这两个以外，还有吗？
约翰听完小欧拉的问题，不由大吃一惊：6和28这两个数在数学上称为“完全数”；到底有多少个完全数，这可是迄今没有解决的一个数学难题！现在，这个难题竟然被一个小孩子提出来了，真是不可思议！约翰先生看着小欧拉闪耀着智慧之光的眼睛，心中暗自决定：一定要帮助、培养这个有极大天分的孩子，不能让这颗明珠被埋在土地里了！
小欧拉的命运发生了奇迹般的改变，此后不久，人类就将出现一颗明亮的数学新星。
1720年，在约翰教授的极力推荐和支持下，13岁的欧拉以破天荒的小年龄进入了巴塞尔大学。当校长反对约翰教授的推荐时，约翰教授争辩说：
校长先生，对于天才，年龄不能成为入大学的一种限制。如果由于我们的疏忽，埋没了一位天才，让数学天空的一颗明亮的星成为稍纵即逝的彗星，那不是我们的奇耻大辱吗？不，那简直是犯罪。先生，是的，是犯罪。
进了大学以后，欧拉如鱼得水，过着“桃之夭夭，灼灼其华”的青春年少的书生生活。欧拉和伯努利一家来往十分密切，实际上伯努利家的成员，已经把欧拉看成是他们家的一员了。其中尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，1695—1726）和丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）与欧拉年龄差不多，他们之间的关系也最好，可以说亲如手足。
1725年，尼古拉和丹尼尔同时到沙皇俄国圣彼得堡科学院工作。当时俄国女皇叶卡捷琳娜一世继承彼得大帝的遗愿，决心振兴俄国的科学事业，建立圣彼得堡科学院，正重金聘请欧洲各国知名科学家到设备极为优良的科学院工作。尼古拉和丹尼尔那时已是欧洲数学界赫赫有名的人物，因而被聘为圣彼得堡科学院院士。
谁知祸从天降，风华正茂的尼古拉到俄国后仅仅一年时间，竟然一病不起。当尼古拉病逝后，叶卡捷琳娜女王召见丹尼尔，请他再推荐一位数学家来接替已故尼古拉空出来的位子。丹尼尔提出可由欧拉前来接任：“欧拉今年19岁，巴塞尔大学硕士，不久前因为一篇论文得过巴黎科学院奖金。”
女王似乎不大相信丹尼尔的推荐。要聘用一个19岁的年轻人到俄国最好的科学院来，岂不让人讥笑？丹尼尔是何等聪明的人，他立即明白女王的想法，说：“女王陛下，如果您能聘用他，使他有优越的研究条件，他日后一定会超过我们整个伯努利家族！陛下千万不要失去良机！”
女王十分感佩于丹尼尔举贤若渴的无私精神，于是同意聘请欧拉。欧拉遂于1727年来到圣彼得堡，此后一直工作到1741年；1766年他又回到圣彼得堡科学院，直到1783年离开人世为止。前后他在俄国工作了三十多年。
当1766年回到俄国后，他双眼几乎失明。但他没有停止工作，仍然继续发表了400多篇论文，出版了一些专著。这真是奇迹！
1783年9月18日，他正在运算前两年被赫歇尔（F.W.Herschel，1738—1822）发现的天王星的运行轨道，突然他手中的烟斗落到地上，他喃喃地低语道：“我死了……”
一代巨星就此陨落，76岁的欧拉停止了呼吸。
欧拉一生给人类留下了数量惊人的科学著作，据统计一共有886部书籍和论文，除了数学中各个领域的著作，还有物理学、天文学、弹道学、航海学和建筑学等领域的。圣彼得堡科学院后来为了整理他的著作，竟然用了整整47年时间！这么数量巨大的著作，该需要他花费多大的精力！难怪法国哲学家、数学家康多塞（N.de Condorcet，1743—1794）怀着崇敬的心情叹息说：“他只有停止了生命，才能停止计算。”
欧拉不仅多产，而且在每一个领域里都有深刻的、卓越的创见，连后来德国的“数学王子”高斯（C.F.Gauss，1777—1855）都由衷敬佩地说：“学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好途径，没有什么别的可以代替它。”
法国物理学家拉普拉斯（P-S M.de Laplace，1749—1827），更是谆谆教导他的学生说：“读读欧拉的著作，读读欧拉的著作，他是我们大家的老师。”
后辈对欧拉非凡的天才，也发表过无限感慨的惊叹。著名的法国物理学家阿拉果（D.F.J.Arago，1786—1853）赞叹地说：“欧拉对于计算好像一点也不费力，正如人呼吸空气，老鹰乘风飞翔一样。”
欧拉的一位学生在回忆一段往事时感慨万分地说：
我和另一位同学把一个十分复杂的收敛级数逐项写出来，然后相加，发现两人所得的结果不一样。可是这个数字相当巨大，在第50位上才出现差错……欧拉教授听到我们的争执，闭着他那双几乎完全失明的双眼，一言不发……最后，他告诉我们差错在哪儿，是如何引起的。我们都非常了解他，知道他有罕见的心算能力，因此对他能说出我们争论中的错误，我们一点也不感到意外。他不仅可以心算简单的问题，许多高等数学范畴中的内容他同样可以用心算去完成。
但是，这位数学英雄也不只是有赫赫功绩，他和所有科学精英一样，也有败走麦城的时刻。
欧拉是一位天才的数学家，这是不争的事实。但如果他不曾付出惊人的努力，也不可能获得如此惊人的成就。也正因为他比一般人更勤奋，他一定会犯比常人更多的错误。我们在欧拉所犯的众多错误中，选两个容易让读者看得懂的，让读者从中了解一下欧拉的思想和局限。
“无穷级数”在数学中经常会出现，每个中学生都会接触到一些稀奇古怪的这种级数，如：
这些级数由于涉及“无限”多的项，所以常常会和我们开些“丈二和尚摸不到头脑”的玩笑。一个有趣的例子是“阿基里斯追不上乌龟”。
公元400多年前，古希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea，公元前490—前425）提出了一个奇怪的悖论：“阿基里斯追不上乌龟”。阿基里斯是一个像我国水浒故事中神行太保戴宗似的人物，日行千里、夜走八百。但芝诺却振振有词地证明：阿基里斯永远追不上在他前面10米远的乌龟。你也许会哑然失笑说：这位芝诺先生一定是稀里糊涂了。你可真不能早早下结论，不信我把芝诺的证明讲出来以后，看你如何反驳芝诺。芝诺证明如下：
假定阿基里斯和乌龟都用不变的速度向前跑，开始时乌龟在阿基里斯前面10米。阿基里斯虽然跑得比乌龟快多了（假定他的速度为乌龟的10倍），他却永远追不上乌龟。为什么呢？试想：当阿基里斯跑到第10米的时候，到了乌龟起跑的地方，这时乌龟已经跑到第11米的地方，乌龟领先1米；当阿基里斯跑到第11米的地方时，乌龟跑到第11.1米的地方，乌龟与阿基里斯的距离缩短了，但仍领先0.1米；当阿基里斯跑到第11.1米处时，乌龟跑到11.11米处，领先0.01米……如此不停地跑下去，阿基里斯要追上乌龟就得依次跑完10米、11米、11.1米、11.11米……而乌龟则依次领先1米、0.1米、0.11米、0.111米……由于这样的距离有无限多个，阿基里斯跑完10米有11米，跑完11米有11.1米……所以乌龟总是领先一段小小的距离，阿基里斯也就永远追不上乌龟了！
芝诺提出的这个悖论，你也可能会被难住了吧？虽然你不相信阿基里斯真的追不上乌龟，但你能把芝诺的诡辩驳倒吗？如果你无法驳倒，就是因为“无限”在这儿给你开了一个很大的玩笑。为什么说是“很大”的玩笑呢？因为科学家、哲学家们为了驳倒芝诺的诡辩，竟然用了近两千年的时间！而读者您如果不找点数学书看一看，恐怕也一时驳不倒芝诺的诡辩呢。
欧拉也是在解决一个无穷级数时，一时不慎，败走麦城。他遇见的是一个很普通的级数：
对这个无穷级数求和时，法国著名数学家傅立叶（J.B.J.Fourier，1768—1830）曾用下面办法求这个级数的和：
如果把（1）式的和假设为S，我们可以把（1）式改写为：
因为（1）是无限多项，因此改成也是无限多项的（2）式是可以的。这样
于是
读者一定可以看出，傅立叶在得出
时，在无穷级数（1）的求和中运用了加法结合律。这似乎顺理成章，不成问题。但是问题偏偏出来了。我们同样可以用加法结合律把（1）式改写为：
结果，S=0。如果把（1）式改写为：
那么，S=1-0=1
结果，同一个无穷级数竟然得出
、0、1这三种不同的和，这显然是不可能的。那么，问题到底出在哪儿了呢？欧拉也曾对这个问题感兴趣，他用的是另一种办法，得出
。他根据的公式稍微复杂一些。由于：
则在假定（5）式中x=-1时，可得出：
所以有：
于是（1）式的和应该是
。这是欧拉的证明。
现在我们知道，傅立叶、欧拉……这些数学大师都错了。原因是无穷级数由“无穷多项”组成，它和“有限项”组成的多项式在本质上有许多不同；对多项式适用的方法，对无穷项组成的级数就未必适用。对于新的数学研究对象，需要有新的概念和方法，而这些在欧拉所处的时代尚未得到解决，因此他和另一些数学家不犯错误是不可能的。正是错误刺激了数学家的自尊和灵感，这才一代又一代将数学推向更加辉煌、更加灿烂的今天和明天！
1784年，柏林科学院悬赏征文的题目就是：“对数学中称之为无穷的概念建立严格的明确的理论”。
可见，在欧拉那个时代，数学界多么急切地寻求新概念、新方法啊！
1741年，欧拉应普鲁士国王腓特烈二世的邀请，决定到柏林科学院去工作，他的妻子柯黛玲是俄国人，也随同丈夫去德国生活。欧拉之所以做出这一决定，是因为俄国的政权发生了巨变，彼得大帝的女儿伊丽莎白推翻了小皇帝伊凡六世，自己占据了皇位。由于她的专横，俄国人民的尊严受到严重的践踏，科学家也由此失去了自由和舒适的工作环境。
欧拉和夫人、孩子们到达柏林后，腓特烈二世立即召见了他。王后见欧拉很少说话，奇怪地问：“欧拉教授，您为什么沉默寡言？身体不适吗？”
“陛下，”欧拉回答说，“在俄国如果话说多了是会上绞刑架的。”
这时欧拉的眼睛越来越糟糕，但他完全不顾及自己的身体状况，仍然拼命地工作，连吃饭都觉得占去了宝贵的工作时间。
1760年，当俄国军队入侵普鲁士时，伊丽莎白女皇没有忘记欧拉曾给俄国作出的巨大贡献，她写了一封慰问信给他，同时给他一大笔钱，赔偿欧拉在战争中受到的损失。这使欧拉颇受感动。1762年，叶卡捷琳娜二世即位，她是一位有野心的女皇，对科学事业极为关注。她多次诚恳地邀请欧拉返回圣彼得堡工作，并许以特殊优待。欧拉也怀念自己事业的辉煌之地，加之柯黛玲也日夜思念故土，于是，他们终于在1766年，当欧拉59岁时，返回了圣彼得堡。
叶卡捷琳娜二世按照皇室的待遇迎接欧拉，配给他一套豪华的寓所，有18名侍从为欧拉一家服务……欧拉对这一切，十分满意。
腓特烈二世由于热衷于让臣民为他歌功颂德，结果使得朝廷里小人得势、正直人遭殃。欧拉之所以离开柏林，这也是原因之一。不过，腓特烈二世对欧拉始终另眼相看，盛情有加。即使欧拉离开了柏林，腓特烈二世仍然不时写信问候或向他请教。
大约在1780年前后吧，腓特烈二世又向欧拉提出一个有关“方阵”的问题。什么是“方阵”问题呢？
方阵与军队排列队形有关。军队在检阅时，常常排成方队，比如400人一队的方队，每行和每一列都是20人，这叫“400人方队”。方队不仅仅整齐、威武、雄壮，军事学家还发现方队在训练士兵和作战阵形上有许多特点，比如说这种队形便于观察四方、便于阻击敌人……于是军事上将可以向四方发枪的队形称为“方阵”（square matrix）。
方阵后来又被数学家盯上了，因为方阵可以变幻无穷，引出许许多多让数学家绞尽脑汁都无法解决的问题。例如：
某些数能不能组成方阵？一个方阵怎样变成两个方阵？几个相同的方阵加上多大的数可以组成另外一个大的方阵？这种种问题，在数学上来说，其实是讨论“全平方数”的问题。 [12]
例如：53个士兵可以排成两个方阵（如下图）：
这在数学上就是53=2 2 +7 2 。如果我们问：21200个战士可以排成两个方阵吗？从数学上分析，21200=53×20 2 ，于是：
即21200位战士可以组成两个方阵：40×40和140×140。
再进一步问：还可以组成另外两个方阵吗？我们仍然可以从数学上分析，
又：（3 2 +4 2 ）×（2 2 +7 2 ）=34 2 +13 2 =29 2 +22 2
所以：21200=4 2 ×（34 2 +13 2 ）=4 2 ×（29 2 +22 2 ）=136 2 +52 2 =116 2 +88 2
由这一计算可知，21200个士兵还可以摆成另两种方式的两个方阵。
好，我们在大致上知道了方阵的基本概念和方法后，再回到腓特烈二世的问题上来。他的问题是：
从6支部队中选出6种不同军衔的军官，如上校、中校、少校、上尉、中尉和少尉，排成6×6的方阵，要使每行、每列都有各支部队、各种军衔的军官。
这个问题在柏林无人能解，于是腓特烈二世只好求助于欧拉。欧拉以前早就对方阵有过卓有成效的研究，有一个方阵还被命名为“欧拉方”（Euler squares）呢。腓特烈二世问他算是问对了人。可是万万没有想到的是，欧拉对这个方阵问题也束手无策！欧拉先解决容易一点的：5支军队中选出5种不同军衔的军官，组成5×5的方阵，这可以满足腓特烈二世的要求：每行每列有各支军队、各种军衔的军官；可是到了6×6的方阵，硬是解决不了！
一年又一年，欧拉在黑暗中想了又想，算了又算，仍然毫无进展。于是他突发奇想：“也许腓特烈二世的题目本来就没有解决的可能？”
说问题无解，也是一种结果；但仍然要证明真的无解。可是怪啦，连无解他也证明不了。最后他在75岁时，即去世前一年提出一个猜想，即：
（4K+2）×（4K+2）（当K=0，1，2，……）时，这方阵无解。
腓特烈二世的问题是K=1，即（4×1+2）（4×1+2）=6×6的方阵。当方阵不是（4K+2）的方阵，如3，4，5，7，8，9阶的方阵有解。
那么，这个猜想到底对不对呢？有没有可能得到准确的结论呢？
到了一百七十多年之后的1959年，真相才终于大白于天下。印度数学家、物理学家玻色（R.C.Bose，1901—1987）和史里克汉德（S.S.Shrikhande，1917—2000）推翻了欧拉的猜想，接着帕克（E.T.Parker，1926—1991）又证明了10阶正交拉丁方的存在，欧拉的猜想被彻底推翻了。除了欧拉研究过的K=0，1以外，当K=2，3，4，……都有办法组成腓特烈二世要求的方阵。
一位作家对欧拉的这次失败说了一句话：
这并不是欧拉的悲剧。欧拉艰苦卓绝的工作，正是后人得以继续前进的阶梯啊！
这句话说得太好了！任何伟大的科学家绝不可能穷尽所有的科学问题，总会在某一个当时最困难的问题上止步，提出一些后来被证明是错误的理论或者看法。而它们又将成为后继者前进的阶梯和方向。
这是历史局限性的必然。
欧拉