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要实现基于图像的3D重构，首先必须深入了解成像设备的物理性能，如相机的内外参数等。因此，下面介绍最常用的针孔相机的成像模型。
针孔相机可实现将一个3D场景及其所包含的物理对象映射到一个像平面，从而获得一幅 2D 图像，这个过程称为投影，如图 2.15所示。
图2.15 针孔相机的投影成像
投影表示为一个
的矩阵F，描述了
空间中的场景和
空间中图像之间的关系：
，其中
其中
分别为3D点及其投影的2D点，均采用齐次坐标；矩阵元素
。
图1.2所示的相机成像模型描述了场景的透视投影，使用若干参数，这些参数表示相机的内部参数以及与场景的关系。投影中心为O
C
:3D空间点M在相机坐标系中＜XYZ,O
C
＞的坐标为（X
c
,Y
c
,Z
c
）；主轴与像平面的交点
称为主点，一般是像平面坐标系＜xy,o
u
＞的原点。
M投影为图像点m，表示为
其中，f为投影中心到像平面的距离，称为焦距。
需要注意以下几点。
（1）对于数字照相机，如CCD或CMOS相机，像平面是像素阵列，单个像素的水平和垂直长度可能并不相同，其比值称为纵横比。
（2）同样，由于制造工艺问题，像素也许并不一定是矩形，也可能是平行四边形或梯形 [61] ，即存在倾斜，倾斜因子一般不为零，但是近似为零，如图2.16所示。
图2.16 倾斜因子和纵横比
（3）一般情况下，主点并不位于像平面的原点，如图2.17所示。
图2.17 主点不位于像平面原点
因此，像平面上得到的一个像素点
可表示为
其中，（u
o
,v
o
）是主点在坐标系＜xy,o
u
＞中的位置坐标。α为像素的水平长度，β为像素的垂直长度。θ为
方向的夹角。
如果场景和图像点表示为齐次坐标，那么，中心投影可简单表示为线性映射。组合式（2.14）和式（2.15）得到
1.内参数
式（2.16）可以改写为
其中，
式（2.18）中的
分别表示焦距在像平面坐标轴
上的投影焦距，纵横比为
s为倾斜因子。一般地，K称为相机的内参数。
2.外参数
上面假设场景中的3D点
是用相机坐标系来描述，事实上，一般描述为世界坐标系＜XYZ ,O＞。这种情况下，为了计算的有效性，所有数据点包括相机中心都必须定义在世界坐标系中。
假设相机的光学中心为
则有
其中，R是旋转矩阵，表示了相机坐标系对于世界坐标系的方位。
式（2.19）意味着，如果世界坐标系中的3D点和
是有效的，则该点可定义在相机坐标系。参数
就称为相机的外参数。相机的外参数如图2.18所示。
图2.18 相机的外参数
综上所述，得到
其中，
式（2.21）称为相机的投影矩阵，也称基础矩阵。
如果知道投影矩阵M，就可能由此分解得到相机的内参数K和外参数
一个变换可以代数化定义为一个矩阵。
1.射影变换
射影变换是一个线性变换，一般地会改变几何形状的角度、距离或比率。能确保恒定不变的是奇异性、关联性、交比。从
的射影变换，映射每个点
中的一个新的位置：
其中T是一个（m+1）×（n+1）的矩阵。
（1）单应性。单应性是指在同一空间内的一个射影变换H:P
n
→P
m
，即
。
这里的H是一个（n+1）×（n+1）的非奇异矩阵。
在P 3 空间，H为4×4的矩阵，具有15个自由变量。
其中，A
3×3
是非奇异矩阵；
为3-向量。
（2）对偶空间的单应性。
当
空间的某个点经历H变换后，得到的对偶图元
对于2D和3D空间，则分别表现为直线和平面。
对偶变换为H
*
:P
*n
→P
*n
，即
。
2.仿射变换
仿射变换是一种特殊的射影变换，保留无穷远处全局恒定不变的超平面。因此，在
空间，一个仿射变换及其逆变换可表示为
含有12 个变量。
3.相似性变换
相似性变换是一种特殊的放射变换，包含平移、旋转和缩放。这种变换保持任何方向的夹角、比率不变。在
空间，相似变换可表示为
其中，
是旋转矩阵，
是一个平移向量。λ是一个各向同性的非零比例因子。T
M
含有7个变量，即围绕三个轴的旋转、在三个方向上的平移、一个全局性的比例因子。
4.欧氏变换
欧氏（或等量）变换是相似性变换的特殊情况，包含一个平移和一个旋转。欧氏变换为一个物体的刚体变换建立模型。这种变换保持任何方向的夹角和距离不变。
在
空间，欧氏变换可表示为
其中，
是一个旋转矩阵，且det（R）=1，所以R
-1
=R
T
含有6个变量，即围绕三个轴的旋转、在三个方向上的平移。
上述四种变换的总结参见表2-1。
比较表2-1中的射影变换和仿射变换的矩阵，可以发现，它们的差异在于向量v，在仿射变换中，v为零向量。
表2-1 四种3D几何变换
续表
因此，放射变换保留了无穷远处的理想点（x,y,z,0） T 。
在射影变换下，理想点（x,y,z,0） T 映射到一个有限远点，看作为一个消隐点。
