假设一束光射线位于一个管带内,与管带的两端相交,但与侧边不相交,如图2.4所示。
图2.4 光照模型
1.辐照度
辐照度用于度量光射线碰撞测试对象时所产生的能量 其中 为碰撞点位置 为表面法向,如图2.5(a)所示。
2.光源辐照度
设光源方向为 ,一般指从测试点目视光源的方向,通常定义为该方向上的单位向量。
如图 2.5(b)所示,光源方向等于表面法向,即 此时 替换为
图2.5 辐照过程
3.表面辐照度
考虑 的一般情况,如图 2.5(c)所示。光射线碰撞测试区的能量就是穿过测试区投影面积的能量,而投影面积与光线角度成比例,如图2.6所示。
图2.6 测试区的投影面积
投影面积为
如果是不透明表面,要求 否则,就是阴影。因此,表面辐照度为
4.点光源下的表面辐照度
如图 2.7 所示,点光源的辐射强度 是指在 方向中碰撞到测试区的单位波长λ、单位立体角的能量。
图2.7 点光源辐照度
所谓立体角,定义为测试区在单位球上的投影,即
其中,
对于测试区,其表面辐照度为
5.分布式光源辐照度
点光源情况是一种理想假设,实际情况下多为有限个光源的组合,如图2.8所示。
图2.8 分布式光源
其中一个测试区的辐照度为
一般情况下,这些光源之间是一种线性组合,可以进行叠加运算,结果相当于单光源。因此,后面的章节都是基于单光源展开讨论,这种假设是合理的。
表面反射模型如图2.9所示。
图2.9 表面反射模型
表面某点的图像强度为 其中 为表面法向 为表面反射率, 为入射光强度。
1.漫反射
设一个无穷处光源,方向为 表面辐照度是 是表面法向, 为视向,如图2.10所示。
图2.10 漫反射模型
单位面积表面的反射强度为
其中, 称为双向反射分布函数(Bidirectional Reflectance Distribution Function,BRDF)。
若假设BRDF对于 保持恒定,则 称为Lambertian逼近模型。
2.镜面反射
考虑一个无穷远处的光源,其辐照度为 其中的上标i表示入射辐照度。
图2.11中的 是镜面反射方向,可表示为 此时的反射辐照度为
其中的 是Fresnel项,指明光谱分布的变化。
图2.11 镜面反射模型
由上述可知,表面辐照度与光源辐照度的关系为
横截面区域在 上的垂直投影为dA V ,如图2.12所示。
图2.12 Lambertian模型
与反射表面的对应区域为 则有
这意味着其不依赖于视向 如图2.13所示。
图2.13 球面Lambertian模型
如图2.14所示,表面法向表示为平面上的一点 而光源方向表示为另一个点 表面重构的目标之一就是根据图像光亮度I(x,y),估计梯度空间
图2.14 梯度空间示意图
单位法向量为
光源法向为
它们的夹角为
要实现基于图像的3D重构,首先必须深入了解成像设备的物理性能,如相机的内外参数等。因此,下面介绍最常用的针孔相机的成像模型。
针孔相机可实现将一个3D场景及其所包含的物理对象映射到一个像平面,从而获得一幅 2D 图像,这个过程称为投影,如图 2.15所示。
图2.15 针孔相机的投影成像
投影表示为一个 的矩阵F,描述了 空间中的场景和 空间中图像之间的关系: ,其中
其中 分别为3D点及其投影的2D点,均采用齐次坐标;矩阵元素 。
图1.2所示的相机成像模型描述了场景的透视投影,使用若干参数,这些参数表示相机的内部参数以及与场景的关系。投影中心为O C :3D空间点M在相机坐标系中<XYZ,O C >的坐标为(X c ,Y c ,Z c );主轴与像平面的交点 称为主点,一般是像平面坐标系<xy,o u >的原点。
M投影为图像点m,表示为
其中,f为投影中心到像平面的距离,称为焦距。
需要注意以下几点。
(1)对于数字照相机,如CCD或CMOS相机,像平面是像素阵列,单个像素的水平和垂直长度可能并不相同,其比值称为纵横比。
(2)同样,由于制造工艺问题,像素也许并不一定是矩形,也可能是平行四边形或梯形 [61] ,即存在倾斜,倾斜因子一般不为零,但是近似为零,如图2.16所示。
图2.16 倾斜因子和纵横比
(3)一般情况下,主点并不位于像平面的原点,如图2.17所示。
图2.17 主点不位于像平面原点
因此,像平面上得到的一个像素点 可表示为
其中,(u o ,v o )是主点在坐标系<xy,o u >中的位置坐标。α为像素的水平长度,β为像素的垂直长度。θ为 方向的夹角。
如果场景和图像点表示为齐次坐标,那么,中心投影可简单表示为线性映射。组合式(2.14)和式(2.15)得到
1.内参数
式(2.16)可以改写为
其中,
式(2.18)中的 分别表示焦距在像平面坐标轴 上的投影焦距,纵横比为 s为倾斜因子。一般地,K称为相机的内参数。
2.外参数
上面假设场景中的3D点 是用相机坐标系来描述,事实上,一般描述为世界坐标系<XYZ ,O>。这种情况下,为了计算的有效性,所有数据点包括相机中心都必须定义在世界坐标系中。
假设相机的光学中心为 则有
其中,R是旋转矩阵,表示了相机坐标系对于世界坐标系的方位。
式(2.19)意味着,如果世界坐标系中的3D点和 是有效的,则该点可定义在相机坐标系。参数 就称为相机的外参数。相机的外参数如图2.18所示。
图2.18 相机的外参数
综上所述,得到
其中,
式(2.21)称为相机的投影矩阵,也称基础矩阵。
如果知道投影矩阵M,就可能由此分解得到相机的内参数K和外参数
一个变换可以代数化定义为一个矩阵。
1.射影变换
射影变换是一个线性变换,一般地会改变几何形状的角度、距离或比率。能确保恒定不变的是奇异性、关联性、交比。从 的射影变换,映射每个点 中的一个新的位置: 其中T是一个(m+1)×(n+1)的矩阵。
(1)单应性。单应性是指在同一空间内的一个射影变换H:P n →P m ,即 。
这里的H是一个(n+1)×(n+1)的非奇异矩阵。
在P 3 空间,H为4×4的矩阵,具有15个自由变量。
其中,A 3×3 是非奇异矩阵; 为3-向量。
(2)对偶空间的单应性。
当 空间的某个点经历H变换后,得到的对偶图元 对于2D和3D空间,则分别表现为直线和平面。
对偶变换为H * :P *n →P *n ,即 。
2.仿射变换
仿射变换是一种特殊的射影变换,保留无穷远处全局恒定不变的超平面。因此,在 空间,一个仿射变换及其逆变换可表示为
含有12 个变量。
3.相似性变换
相似性变换是一种特殊的放射变换,包含平移、旋转和缩放。这种变换保持任何方向的夹角、比率不变。在 空间,相似变换可表示为
其中, 是旋转矩阵, 是一个平移向量。λ是一个各向同性的非零比例因子。T M 含有7个变量,即围绕三个轴的旋转、在三个方向上的平移、一个全局性的比例因子。
4.欧氏变换
欧氏(或等量)变换是相似性变换的特殊情况,包含一个平移和一个旋转。欧氏变换为一个物体的刚体变换建立模型。这种变换保持任何方向的夹角和距离不变。
在 空间,欧氏变换可表示为
其中, 是一个旋转矩阵,且det(R)=1,所以R -1 =R T
含有6个变量,即围绕三个轴的旋转、在三个方向上的平移。
上述四种变换的总结参见表2-1。
比较表2-1中的射影变换和仿射变换的矩阵,可以发现,它们的差异在于向量v,在仿射变换中,v为零向量。
表2-1 四种3D几何变换
续表
因此,放射变换保留了无穷远处的理想点(x,y,z,0) T 。
在射影变换下,理想点(x,y,z,0) T 映射到一个有限远点,看作为一个消隐点。