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图 2.1 描述了3D表面的直观概念。一个表面可表示为方程z=f（x,y），包含了表面方向和深度信息。
图2.1 一个3D表面
表面的法向量表示为
下面给出3D表面的形式化定义。
定义2.1（3D表面）
三维空间
中的一个平滑表面定义为一个子集
，其中的每一个点对应一个邻域
。存在一个映射
满足下述条件，其中
。
（1）
是一个拓扑同构的。
（2）r（u,v）=（x（u,v,y（u,v）,z（u,v）））具有全阶导数。
（3）每一点的偏导数
是线性无关的。
定义 2.1 从拓扑层面描述了一个表面，r定义了一个同质的映射
。上述条件（2）和（3）可用隐函数定理来理解，即若将
中的变量局部倒转，将直接产生3D表面。对于任意两个开放集U ,U′，得到一个从一个开放集到另一个开放集的平滑倒转映射。这意味着每个映射
是一个平滑的拓扑同构。这样就可得到下面的3D表面的抽象化定义。
定义2.2（表面的抽象定义）
若一个表面拥有一类拓扑同构φ
U
，其中每个映射
是一个平滑可逆的拓扑同构，则称为平滑表面。图 2.2 所示为较常见的平滑表面。
图2.2 常见平滑表面
定义2.3（表面上的平滑曲线）
一条位于表面上的平滑曲线是一个映射，即下面的映射
且具有全阶导数，则γ（t）=r（u（t）, v（t））称为
上的一条平滑曲线，如图2.3所示。
图2.3 位于表面的平滑曲线
一条参数化的曲线意味着 u（t）, v（t）有全阶导数，且
根据上述定义，
是线性无关的，因此，该条件等价于
在一条曲线上，从a点到b点的弧长定义为
定义2.4（第一基本型）
在
域中，一个表面的第一基本型表示为
其中，
第一基本型恰好是二次项形式
，对应一个切空间，
为该空间的基。第一基本型描述了表面的内在几何特性。
将表面
沿着其法向移动一个t距离，从而得到一个表面簇
其中
若已知第一基本型Edu 2 +2Fdudv+Gdv 2 ，则可按式（2.5）计算
式（2.5）的右端一般称为第二基本型。
定义2.5（第二基本型）
中一个表面的第二基本型表示为
其中，
定理2.1（表面是平面的一部分）
如果一个表面的第二基本型消失了，则该表面就是一个平面的一部分，称为局部平面。
证明：
若表面的第二基本型消失，即
则
由于
垂直于n，因此是
的线性组合。这意味着n是常量，即
因此，
是常量，即为平面方程。
定理2.2（闭合表面上的点的正定性）
对于
中的任意一个闭合表面X，含有一些点，在这些点上的第二基本型是正定的。
证明：
由于X 是闭合的，因此为有界，可被一个大球围绕。可不断地压瘪该球，直到半径R边缘停靠在X 的一个点上。若将X 描述为 f 函数图，则有
式（2.6）泰勒级数的第一个非零项为
因此，有
即为正定的。
