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2.1 3D表面概念

图 2.1 描述了3D表面的直观概念。一个表面可表示为方程z=f(x,y),包含了表面方向和深度信息。

图2.1 一个3D表面

表面的法向量表示为

2.1.1 表面的形式化定义

下面给出3D表面的形式化定义。

定义2.1(3D表面)

三维空间 中的一个平滑表面定义为一个子集 ,其中的每一个点对应一个邻域 。存在一个映射 满足下述条件,其中

(1) 是一个拓扑同构的。

(2)r(u,v)=(x(u,v,y(u,v),z(u,v)))具有全阶导数。

(3)每一点的偏导数 是线性无关的。

定义 2.1 从拓扑层面描述了一个表面,r定义了一个同质的映射 。上述条件(2)和(3)可用隐函数定理来理解,即若将 中的变量局部倒转,将直接产生3D表面。对于任意两个开放集U ,U′,得到一个从一个开放集到另一个开放集的平滑倒转映射。这意味着每个映射 是一个平滑的拓扑同构。这样就可得到下面的3D表面的抽象化定义。

定义2.2(表面的抽象定义)

若一个表面拥有一类拓扑同构φ U ,其中每个映射 是一个平滑可逆的拓扑同构,则称为平滑表面。图 2.2 所示为较常见的平滑表面。

图2.2 常见平滑表面

2.1.2 第一基本型

定义2.3(表面上的平滑曲线)

一条位于表面上的平滑曲线是一个映射,即下面的映射

且具有全阶导数,则γ(t)=r(u(t), v(t))称为 上的一条平滑曲线,如图2.3所示。

图2.3 位于表面的平滑曲线

一条参数化的曲线意味着 u(t), v(t)有全阶导数,且 根据上述定义, 是线性无关的,因此,该条件等价于

在一条曲线上,从a点到b点的弧长定义为

定义2.4(第一基本型)

域中,一个表面的第一基本型表示为

其中, 第一基本型恰好是二次项形式 ,对应一个切空间, 为该空间的基。第一基本型描述了表面的内在几何特性。

2.1.3 第二基本型

将表面 沿着其法向移动一个t距离,从而得到一个表面簇

其中

若已知第一基本型Edu 2 +2Fdudv+Gdv 2 ,则可按式(2.5)计算

式(2.5)的右端一般称为第二基本型。

定义2.5(第二基本型)

中一个表面的第二基本型表示为

其中,

定理2.1(表面是平面的一部分)

如果一个表面的第二基本型消失了,则该表面就是一个平面的一部分,称为局部平面。

证明:

若表面的第二基本型消失,即

由于 垂直于n,因此是 的线性组合。这意味着n是常量,即

因此, 是常量,即为平面方程。

定理2.2(闭合表面上的点的正定性)

对于 中的任意一个闭合表面X,含有一些点,在这些点上的第二基本型是正定的。

证明:

由于X 是闭合的,因此为有界,可被一个大球围绕。可不断地压瘪该球,直到半径R边缘停靠在X 的一个点上。若将X 描述为 f 函数图,则有

式(2.6)泰勒级数的第一个非零项为

因此,有 即为正定的。 OQ2CZFniyAi0y39jbg3A8HSmT/laRfpnEXZZOHgx3KaISTGn/fcIXtyWQweSJW+G

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