四、模型实证检验与分析

（一）模型修正与估计

在进行模型估计前，首先对变量间可能存在的反向因果和多重共线关系进行排除和修正，避免干扰模型估计结果，保证估计的准确性。通过两步骤进行这一调整：一方面，在数据选择过程中对自变量进行滞后处理，即因变量取2013—2015年间的平均值，而自变量取2012—2014年间的平均值或2010年的人均值；另一方面，采用工具变量对可能存在的内生性变量进行替代和修正。由于高水平学校会倾向于在大规模城市形成聚落现象，因此城市规模扩大可能是导致高校数量增加的原因（Porter,1998;阎光才,2003;曾鹏等,2015）。为避免这种反向因果产生的内生性问题，采用通过相关性检验的工具变量“平均每百人藏书量”这一与城市教育水平有关，而与其他变量和随机误差项无直接关联的变量来修正原有变量ed ucation并进行2SLS回归，通过一步回归得到的O LS估计值用变量book表示，再通过二步回归得到剔除内生性问题后的模型结果。

在进行工具变量替代的基础上，为避免变量之间可能存在的多重共线问题，在模型运行过程中采用逐步回归法，将所选自变量分别与因变量进行OLS回归并进行因果关系检验，得到7组R 2 值，根据R 2 由大到小的顺序依次将变量代入模型中（见表2-3中第（1）—（7）列），观测模型参数估计值变动情况。在逐一代入过程中，参数符号未发生变化且R 2 波动幅度较小，因此认为模型不存在明显的多重共线。

（二）模型结果分析

从表2-3中第（7）列的估计结果来看，变量参数均符合前期公式预期要求且都通过了1%的显著性检验，模型在一定程度上可以解释社会福利维度下的最优城市规模。得到工具变量的AndersonLR检验结果为8.45且拒绝原假设，认为加入工具变量与其他变量间不存在相关性，在一定程度上减少了模型的内生性问题。模型结果显示，考虑公平的人均收入、人均预期寿命、社会保障水平和教育水平的系数估计值符号为正，是促进城市规模扩大的集聚因素；而公共财政支出、环境污染和失业率的系数估计值符号为负，是抑制城市规模扩大的分散因素，其系数估计值分别揭示了对城市规模的影响权重。常数项符号为负且在0.1%的置信区间内显著，表明现实中可能存在其他对社会福利产生影响的因素没有被纳入模型分析中，这些要素总体呈现对人口规模的分散效应。

将参数估计结果代入模型中，进一步预测样本城市社会效益与社会成本均衡时的最优规模，得到预测的最优城市规模与实际规模的关系分布（见图2-2）。模型得出，所谓的最优城市规模并不是唯一、恒定的，而是由某一时点的城市特性和社会福利状况综合决定，城市间具有异质性并随相关要素的时空演化而产生相应的动态变动。从预测结果来看，样本城市的实际规模较其最优规模预测值的浮动比例在-54.33%~90.52%之间。在社会福利考量维度下，城市实际人口规模超过其可容纳最优规模的城市有25个，占样本总数的41.67%；仍具有进一步人口容纳能力的城市有35个，占样本总数的58.33%。其中，城市实际规模最接近最优规模，即实现社会净效益最大化的城市是江苏南通市和浙江丽水市，其浮动比例分别为1.1%和-0.44%。广西河池市是实际城市规模超出最优规模最多的城市，其实际人口规模为31万人，而由其资源和城市功能供给能力所决定的最优人口规模仅为16.26万人。宁夏石嘴山市和安徽黄山市是样本中可通过进一步扩大人口规模、拉动经济增长潜力最大的城市，其实际城市规模尚未达到最优人口规模水平的50%。

按城市规模分类来看，模型样本中人口规模在50万人以下的小型城市，最优规模范围为12.52万~97.81万人，部分城市的社会福利水平已满足中型城市的人口承载能力（见表2-4）。这类城市的平均最优规模为48.45万人，其中有64.71%尚未达到自身社会福利所能满足的人口水平，具有继续集聚扩张的潜力。规模在50万~100万人的中型城市，平均最优规模为82.13万人，超过其最优值的城市占37.5%，其中南平、廊坊、辽阳、萍乡和锦州得到的估算结果均超过《标准》划定的规模上限（100万人）。在实际规模为100万~500万人间的大城市中，有29.41%超过城市规模的最优水平，其中实际规模与最优估计值最为接近的是呼和浩特市和秦皇岛市，浮动比例分别为0.73%和3.61%，是目前人口规模实现社会净效益最高的大型城市。而在规模为500万人以上的超特大城市中，佛山、上海、武汉、天津、杭州、成都、广州和南京的实际城市规模均超过了其社会福利水平决定的最优人口数量，人口规模的超负荷承载使得城市发展呈现边际效益递减趋势。为实现城市发展的高效性、增加城市发展活力和综合竞争力，需对城市规模进行适当缩减或提高社会福利水平，如增加就业机会、加强环境污染防治、提高教育水平和公共服务能力等。相反，北京和深圳的浮动比例分别为-1.79%和-5.25%，其现有规模较最优值还有一定增长空间，社会综合福利条件仍具备一定人口吸纳能力，可通过人口规模的适度扩张而实现提高经济增长和社会效益提升的目的，但应注重人口结构和空间分布密度的调节，以增加城市可持续发展能力。

（三） Zipf法则检验

为进一步检验模型结果的可靠性，采用城市规模研究领域通用的Zipf法则进行检验（Zipf,1949;Camagni et al.,2013）。Zipf法则是用于验证城市体系规模分布演化的位序-规模定律,Rosen等人和Krugman等学者通过运用不同国家或地区的数据分别验证了这一法则，认为这是城市自然集聚与分散所形成的人口规模分布状态（Rosen and Resnick,1980;Krugman,1996）。该法则的表达式为

这一理论模型可引申推导为对数形式

其中a为常数,S为城市人口规模，幂指数ξ为Zipf系数,R i 表示第i个城市按人口规模的位序（Zipf,1949）。通过OLS回归，得到Zipf系数的估计值为ξ=0.7214231（R 2 =0.9120），接近于1,基本符合Zipf法则描述，但小于其所描述的集中状态，城市人口规模相对更趋于均匀分布（见图2-3）。

估计和检验结果表明，模型在一定程度上可以解释社会福利水平下城市可容纳人口的最优规模。诚然，本模型主要从社会福利角度，基于成本效益分析对最优城市规模进行拟合，涉及的变量也侧重于反映居民效用和幸福感的增减，因而先前一些基于成本效益模型研究中所使用的显著性要素并没有纳入本模型中，如全要素生产率、资本收益率、交通拥堵、城市法律规制和住房成本等，模型最优规模估计值与实际人口规模之间的差异，也可能由这些因素所导致（王小鲁、夏小林,1999;Syverson,2011;邹一南,2017）。如对于实际规模高于最优规模的城市，可能由于具有可持续城市治理规划，或具备良好有效的市场运营能力，使得城市有吸纳大量外来人口的能力（Camagni et al.,2000）；相反，对于实际规模低于最优规模的城市，其可能正处于城镇化发展过程中，或具有更为长远的战略规划。 9LLG4/gMmAtDR3oilOPiMwVT8MEcV/1jWfpvNcDMKeHg1DbxXqDnPzva8zZ7uYgx