二、社会福利视角下最优城市规模研究

（一）社会福利的理论模型

社会福利函数形式的设定，是构建社会福利视角下最优城市规模研究框架的基础。最早对于社会福利的理解，认为社会福利基于个人福利而又有别于个体效用，其最大化的实现并不一定是帕累托最优状态，而是一种兼顾公平与效率的均衡（Bergson,1938）。Samulson（1947）将这一概念进一步理论化，得到早期社会福利函数（social welfare function,简称SWF）形式：

其中u表示个人效用，由生产要素、利率水平、国际政策与天气变化等因素共同决定。

此后，随着福利经济学研究的深入，社会福利函数逐渐演化为多种表达形式，如功利（边沁）社会福利函数 W（x）= （x）、纳什社会福利函数W （x ）= i、罗尔斯社会福利函数（W （x ）=min （u i ））和精英（尼采）社会福利函数（W （x ）=m ax （u i ））等。这些函数虽然表达形式不同，但均以个人效用为基点来反映社会整体福利，而经济学中的效用往往体现于消费能力上，不能完全反映社会福利兼顾效率与公平的初衷（汪毅霖,2013）。现代福利经济学从社会整体效用角度出发对社会福利函数进行了改进，认为社会福利是衡量居民生活幸福感的指标，更多与消费而非与生产有关（Nordhausand Tobin, 1971;BlundellandPresto,1998）。Sen在合理假设条件下提出社会福利函数形式：

其中y是人均收入,g是基尼系数。通过基尼系数的引入将公平问题纳入福利函数中，使函数在一定程度上能够反映区域效用水平与公平程度：当社会平均收入越高，则社会福利越大；基尼系数越大，则社会福利越小（Sen,1976;Camagni et al.,2013）。这也是在社会福利视角下探究最优城市规模问题的基础。

（二）社会福利影响因素的确定

除收入与公平外，影响社会福利水平的因素还包括人文、生态、社会和健康等多个方面，仅用上述理论函数形式来表达现实中的社会福利问题存在明显不足。因此，为实现对社会福利更为全面的表达，从而更准确地估计出其最大化条件下的最优城市规模，结合成本效益理论，将社会福利问题转化为对考虑公平因素的社会净效益研究，通过分别对社会效益与社会成本函数变量和形式的确定，测度在受到城市规模变化影响时，社会净效益的变化水平。

1.人均收入及基尼系数

目前对社会福利的考量维度，以经济福利因素和外部性因素为主。经济福利因素主要借鉴Sen（1976）的社会福利函数表达形式，使用人均收入和基尼系数来反映个体效用水平。与传统最优规模研究领域的成本效益分析不同，对于效益指标的考量，一方面用居民效用角度来替代生产力角度，弥补传统成本-效益分析中对个体效用估计的不足，以期从城市居民满意度角度来反映城市规模变化与社会福利的关系。另一方面，基于福利经济学的研究成果，从社会整体角度来兼顾公平与效率，通过加入基尼系数来平衡城市内部存在的贫富差距问题，以反映考虑公平后的社会效益水平。

2.地租与公共财政支出

地租是传统成本-效益函数中对城市规模研究中的重要考量变量，也是经济地理学中认为的对城市人口规模起到决定性影响的因素，国外学者常用地租来作为城市社会成本构成因素之一，作为模型中的主要变量参与结果讨论（Camagni et al.,2013）。但就中国而言，由于土地公有制形式区别于其他私有制国家，且中国的土地开发价格和房地产销售价格存在一定泡沫，与供给环节脱节（邵新建、巫和懋,2012），无法反映城市土地供给的真实情况。为不失文章模型的一般性，借助亨利·乔治（2011）对地租与公共物品供给间关系的研究结论，通过用公共物品支出情况来反映社会成本，不仅在一定程度上可以反映真实地租对城市规模的影响，还涵盖了包括环境、科学、教育、国防等其他公共设施领域的所有社会成本支出。

3.人口福利指标

为了对社会福利进行更为全面、细致的量化，在社会效益的表达形式上除引入考虑公平后的人均收入外，还引入了人类发展指数（human development index,简称HDI）中除人均收入外的另外两个测定维度——预期寿命、教育，以及社会保障水平来评价城市给居民带来的舒适感和发展水平。这一指标的引入，为社会福利层面的最优规模研究提供了多维思路，使城市规模研究不局限于传统理论体系中的经济收益与经济成本，而且拓展到对人口幸福感、社会福利层面的考量。除使用HDI的测定维度外，文中还引入社会保障水平的概念，以社保的投保率高低来测度城市社会福利中医疗保健、社会保险维度上的服务水平，以期更为全面、多角度地描述城市社会福利水平（郑功成,2000）。

4.社会治安与环境污染

环境成本和社会冲突与城市人口规模高度相关（Ridker and Henning, 1967;Wilkinson,1973）。社会稳定是引起人口规模增加的重要因素，相反动荡和不稳定会限制人口规模；而环境污染与人口的关系在新经济地理学的模型中已被证明，其作为一种抑制集聚的分散力，会限制城市规模的增加。与公共财政支出强调城市经济成本不同，这两个维度反映了城市的外部成本，强调了城市外部性对社会福利的影响。对于社会治安的量化过程,Capello和Camagni（2000）运用各市犯罪率数据来反映社会不安程度，然而中国各省市目前尚没有各类案件犯罪情况的统计口径。实证研究结果揭示，城市失业率的增加是引起城市犯罪率增长的重要原因（Altindag,2012;Blomquist and Westerlund, 2014）。基于这一结论，运用城市失业率替代犯罪率，来反映城市的治安水平。城市环境污染程度用排污量表示，由于废水和废气是城市环境污染的主要来源，因此主要采用对废水和二氧化硫的排放量来反映城市的污染排放水平。

（三）社会福利视角下成本-效益函数的设定

基于上述对理论和影响要素的确立，在借鉴Camagni和Shi等人文章思路的基础上，通过构建社会效益与社会成本函数，来考量城市规模对社会福利的影响，并根据均衡理论得出最优城市规模（Shietal.,2010;Camagnietal.，2013）。基于成本-效益模型分析框架，从社会福利角度进行变量选取与模型构建，分别设定效益与成本函数形式，认为社会福利水平的提升表现为社会效益与社会成本差值的增加。从消费者效用角度出发，将考虑公平因素的人均收入（inco m e （1-G ））,H DI和社会保障水平等测定维度（ed ucation ,live ,social ）纳入社会效益函数，以补充社会收益的影响因素，并考虑收入不平等、教育水平等问题；运用公共财政支出（public ）、环境污染（pollution ）与失业率（m alaise ）来量度社会成本。在动态均衡条件下，最优城市规模在边际社会效益与边际社会成本相等处，即社会总效益与社会总成本曲线切线斜率相等时取到（见图2-1）。

在函数形式的选取中，对社会效益和社会成本均采用C-D函数表达形式，不仅便于对数据的处理，同时避免了变量弹性不合理的假设（Uzawa,1962）。由此得出如下函数形式：

社会效益函数

社会成本函数

为提高模型可控性，在不失通用性的情况下，假设每个参数在区间（0,1）上有界。唯一意外的是社会成本函数中的人口规模要素，假定其系数大于1,以反映人口拥挤对社会成本函数的影响。为得到最优规模，需保证社会效益与社会成本函数满足成本效益理论中对函数凹凸性的假设：

同时，依据均衡理论对函数求偏导以得到最优规模，需保证除人口规模外，其他变量均与人口规模大小无关。根据社会净效益最大化求解原理，最优规模在边际成本与边际效益相等处取到，即社会效益与社会成本函数分别对城市规模（size）求一阶偏导，得到的模型结果即为最优城市规模：

通过均衡理论对社会成本与社会效益函数分别求偏导的好处在于，可以在无法估算社会成本和社会效益总量的情况下，根据理论模型的转换得出各福利因素对城市规模的影响权重，并在此基础上得出最优城市规模的估计值。

为方便进行实证运算，对公式（2-4）进行对数线性化转换，从而得到一个可估计函数：

整理得到最终待估函数形式 AWCSJT0p8sFIckzfKSgIfjebrA2GC+6IJa54jzHEFPUk1HOIkYP0TFuWt9GYLpcc