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自然界和自然界的定律隐藏在黑暗中；
上帝说：“让牛顿去吧！”
于是，一切成为光明。
——蒲柏
《原理》首版扉页
读者面前的这本《宇宙体系》（以下简称《体系》），原是艾萨克·牛顿为他的划时代名著《自然哲学之数学原理》（以下简称《原理》）第三编所写的初稿。牛顿在世时没有发表过这部初稿，它首次发表于牛顿死后的第二年，1728年。发表时使用的正式名称是“宇宙体系（使用非数学的论述）”，括号中的文字表明了这个手稿与当时已经出版了的第三版《原理》第三编之间的区别，正式出版的《原理》第三编标题是“宇宙体系（使用数学的论述）”。
与《原理》一样，牛顿写作《体系》手稿时使用的也是拉丁文，该书正式发表时没有记载它的英文译者名姓。根据科学史家和牛顿研究专家弗洛里安·卡约里（Florian Cajori）的考证，《宇宙体系》的英译者与《原理》的英译者是同一个人，安德鲁·莫特（Andrew Motte），莫特于1729年推出了《原理》的正式英文译本。
卡约里于1931年在莫特英文译本的基础上，修订出版了英文本《自然哲学之数学原理·宇宙体系》，该书除《原理》正式三编内容外，同时还收录了这个初稿版的《宇宙体系（使用非数学的论述）》，并附有卡约里撰写的《附录——一个关于〈原理〉的历史与解释性注释》。这是迄今为止最为流行的《原理》版本，为欧美各国研习科学和哲学课程的学生必读书，也是被科学家们和读书人奉为经典的牛顿《原理》的现代蓝本。
早在20世纪30年代初，商务印书馆万有文库曾出版郑太朴先生翻译的牛顿《自然哲学之数学原理》，它所依据的并不是卡约里的标准英文译本，而是一个德文译本，也没有包括这篇非数学的《体系》。郑译《原理》使用的是今天读者所不太熟悉的文言文，市面上早已不再流通，仅少数大型图书馆有存书。卡约里英译完整的《自然哲学之数学原理·宇宙体系》的简体中文版由武汉出版社出版于1992年，使得我国大陆地区读者首次有机会读到牛顿为《原理》第三编所写的初稿，即这本使用非数学论述的宇宙体系。遗憾的是，这个版本已经在市面上消失多年。
现在，北京大学出版社把《宇宙体系》初稿作为单行本出版，终于使当代读者可以一览其“原汁原味”的风采，也应当为生活于快节奏中的现代读者所喜闻乐见。阅读这本小册子，读者可以不必落入严谨的数学和物理论证的重重迷宫，而是通过比较通俗的语言，集中领略牛顿引力理论的概要，以及他为人们所描绘的宇宙体系（实际上是到他那个时代为止人们所认识的有六大行星和十个卫星以及众多彗星的太阳系）的宏大景观。
本书在《宇宙体系》之后添加上两则附录，其中附录一是牛顿的《自然哲学之数学原理》中的“总释”，收录几封牛顿回复本特利（Richard Bentley，1662—1742）的信和一些文稿片段。这些文字涉及牛顿关于自然哲学的重要论述，实际上集中反映了牛顿的上帝观念、宇宙体系的创造与设计、创世的过程、地球的物质构造等思想。这部分由王福山等先生翻译。
附录二系拙作《牛顿——站在巨人肩膀上的巨人》，是一篇以通俗文字写作的牛顿科学小传。这篇传记曾于1995年出版，收录在李醒民先生主编的《世界著名科学家评传丛书——科学巨星》第二卷
，此次发表只作个别文字改动。
《宇宙体系》两部手稿的区别，正如牛顿本人所说，一个使用数学的论述，另一个使用非数学的论述。实际上，在当时正式出版的《原理》中，牛顿使用数学的论述来写作第三编，维护了《原理》全书写作体例和语言风格的统一性——这本书本来讲的就是关于自然哲学的数学原理。牛顿在《原理》第三编开头就提到：“为了使这一课题能为更多人所了解，我的确曾使用通俗的方法来写这第三编；但后来，考虑到未很好掌握这些原理的人可能不容易认识有关结论的意义，也无法排除沿袭多年的偏见，所以，我采取了把本编内容纳入命题形式（数学方式）的办法。”这里牛顿指出了两部手稿的重要区别：在写作体例上，使用数学表述的《体系》采取“命题—定理”或者“命题—问题”形式，它在体例上与第一编和第二编是一致的。而为了证明命题、求解问题，牛顿在第三编中还引入了几条重要的纯数学“引理”，这使得整个第三编也与前两编一样，前后内容的逻辑关联非常紧密，所有的论述紧紧围绕着命题展开。在第三编中，牛顿使用了大量实验和观测数据，其中多数是他本人亲手获得的，来论证他的引力理论和宇宙体系。
而在我们现在见到的这本《体系》初稿中，牛顿采用的不是“命题—定理”形式，而是用数字编号的论题形式。论题总数共78个。这些论题与严谨的数学命题不同，采用的是叙述性文字，随后的说明性文字是对论题的解说，而不是严格的几何学加作图法的数学推导，更没有《原理》中在命题之外所伴随的或多或少的推论和附注。这些加编号的论题，每一个都目标明确、具体，有关的论述紧紧围绕论题展开。唯一的例外是最后一个编号为78的论题，牛顿添加了几个问题以及为了求解这些问题而引证的数学引理，主要用于推算彗星的轨道。他显然认为这些论证和引理必不可少，不得不使用少量的数学语言。
另一个重要区别是，非数学的初稿在文字上远较数学的正式稿活泼、随意，也就是牛顿本人所说的更为“通俗的方法”之意。的确，这个非数学宇宙体系中仍然有很多论题实际上还是命题和证明，仍然有一些几何插图和公式，但是总地来说，这本书取材多样，涉猎广泛，文字流畅通俗，充分显示出牛顿的博学广闻；书中论述也颇为大胆，甚至还有在牛顿正式发表文稿中极为罕见的猜测和预言。全书简洁明晰地展示了牛顿的力学思想、引力理论、行星运动和彗星运动以及海洋潮汐运动的解说。
我们必须告诉读者的是，因为这本非数学手稿原是《原理》的第三编，它与《原理》是密切相关的，读者最好是先读过“科学元典丛书”中《原理》的开头部分
，再来阅读本书。牛顿甚至在这篇非数学《体系》中，几次引用过正式出版的《原理》中的第三编内容。要准确理解本书，我们必须先从《原理》讲起。
牛顿在他的《原理》第三编一开头就告诉读者，阅读第三编时，不需要通读前面两编，但是需要先对全书开始的几条定义、几个运动学的公理，以及第一编的前三章内容加以掌握，而后直接进入第三编内容，只是在遇到问题的时候，再按照提示回到前面去查找和参考有关命题或定理的证明就可以了。因为牛顿前后写的两部第三编内容接近一致，这一提示也可以适用于阅读这本非数学的《体系》，它为本书读者指明了阅读和理解的捷径。
牛顿力学的最基础部分，也就是现代读者所了解的牛顿力学的主要内容，即《原理》开头的定义和公理部分，特别是公理部分。第一编的前三章讲解了牛顿力学体系的基本数学方法，运用这些数学方法求解物体受力情况，以及物体如何在这些力的作用下进行运动的情况。无论是《原理》的第三编，还是这部非数学《体系》初稿，讲的都是牛顿力学体系的“顶层”架构，研习它们的时候，必须回顾这一理论体系的起始部分和基础部分。
牛顿的《原理》是模仿欧几里得的《几何原本》所写作的。欧几里得是古希腊的几何学大师，他为后人演绎了一个讲解平面几何学的近乎完美的公理体系，又称形式化体系。欧几里得从几条基本几何图形定义和推理规则出发，演绎出平面几何几乎全部的知识。如我们所知，基本的定义，是一个庞大理论体系的起点；所谓公理，则是这个理论体系赖以构建的基本规则；理论体系本身则由大量由定义和公理出发经过逻辑和数学推导演绎出的定理和推论构成。《几何原本》就是这样的数学体系，它向世人展示了一个完美理论体系所有的要素，以及推演和讨论过程。欧几里得的影响所及，历经数千年不衰，在牛顿时代如此，今天还是如此。不仅数学，而且包括哲学在内的许多自然科学和人文社会科学学科无不试图模仿这样的公理化知识体系。能不能建立起公理化体系，已经成为一门科学学科是否成熟的重要标志。20世纪初大卫·希尔伯特曾试图把全部数学知识建立在一个统一的公理化体系之中，可惜他的努力已经被哥德尔证明是不可能实现的；我们今天已经熟知的量子力学是在1927年实现公理化的；20世纪后期建立起来的规范场理论也是公理化理论。今天的物理学家仍在为物理学理论的统一而孜孜努力，统一的目标就是建立起囊括所有物理学理论知识的形式化体系；甚至现代经济学研究的一个重要目标就是模仿数学或物理学建立起一套公理化的经济学理论体系。
牛顿《原理》的开篇就讲到著名的8条定义，外加一条附注。内容是：
定义1 物质的量是物质的度量，可由其密度和体积共同求出。牛顿特别声明，今后凡提及物体或质量，指的都是这个物质的量。我们在《原理》“定义和公理”导读中，已经指出牛顿对质量的定义与我们今天的有所不同，牛顿是通过密度和体积确定质量；而我们则是反过来，物质的量是最基本的，它与体积之比决定了物质的密度。
定义2 运动的量是运动的度量，可由速度和物质的量共同求出。在这里，牛顿特别讲到了运动的叠加问题：整体的运动是各部分运动的总和。这是一种既直观又重要的思想：整体等于部分之和。本文后面我们还会再进一步讨论这个问题。我们也知道，牛顿这里说的运动的量，实际上是我们今天所熟知的动量。
定义3 物质固有的力，是一种起抵抗作用的力，它存在于每一物体当中，大小与该物体相当，并使之保持其现有的状态，或是静止，或是做匀速直线运动。这个物质固有的力，就是我们今天所说的惯性，牛顿的这一定义我们有时称作惯性定义。
定义4 外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止的或匀速直线运动的状态。
以上四条定义是牛顿力学中最基本的。随后四条定义是关于向心力概念的，它们之所以重要，是因为在《原理》中它们是牛顿讨论的重点——行星运动的主要原因。
定义5 向心力使物体受到指向一个中心点的吸引、排斥或任何倾向于该点的作用。牛顿列举了很多实例说明这种力的存在，然后他对向心力作出三种分类，称作三种度量：绝对度量、加速度度量和运动度量；又分别把它们称作绝对力、加速力和运动力。
定义6 以向心力的绝对度量量度向心力，它正比于中心导致向心力产生并通过周围空间传递的作用源的性能。
定义7 以向心力的加速度度量量度向心力，它正比于向心力在给定时间里所产生的速度部分。
定义8 以向心力的运动度量量度向心力，它正比于向心力在给定时间里所产生的运动部分。
有了这八条定义，思维严谨的牛顿意识到它们还不足以构建自己的理论大厦，还必须对这些定义“背后的”内容加以解释和说明——他还没有对时间、空间、处所和运动这几个在力学中极为重要的因素加以定义和说明，于是有了关于这些定义的“附注”——在整部《原理》中，牛顿总是把他认为不直接影响到数学论证而又与哲学讨论有关的内容通过附注形式加以阐述。
附注1 绝对时间和相对时间。绝对时间又称为延续，是绝对的、真实的和数学的时间，它自身均匀流逝，与一切外在事物无关；而相对的、表象的和普通的时间，是可感知的、外在的对于运动之延续的量度。也就是说，我们感知到的、科学研究中测量到的时间，都是相对时间。而这个不可感知的绝对时间，其妙用并不显现在《原理》正文中，牛顿直到《原理》第二版发表时，才在人们要求他公开自己的上帝观的压力下添加了一个“总释”，在那里人们窥测到他需要绝对时间的真正意图。
附注2 绝对空间和相对空间。与绝对时间和相对时间相类似，绝对空间自身与一切外在事物无关，它处处均匀，永不移动；相对空间则是一些可以在绝对空间中运动的结构，或者说是对绝对空间的量度，人们通过它与物体的相对位置来感知它。绝对空间和相对空间在形状和大小上相同，而且是连续变化的，但是它们的数值不一定总是相同。
牛顿认为，只有在绝对时间和绝对空间里，创造宇宙体系并给予了它“第一推动”的上帝才有容身之处——请读者不要误解，牛顿的上帝并不像物体那样占据空间（无论是绝对的，还是相对的）、占据时间；上帝是人类无法按照自己的思维认识的。关于上帝，牛顿只能肯定一点：绝对时间和空间，不是上帝本身，而只是上帝的属性。这个问题我们在此暂时从略，待讲到《总释》时再来进一步讨论。
附注3 处所。牛顿说，处所是空间的一个部分，为物体占据着。它可以是绝对的或相对的，随空间的性质而定。牛顿特别强调，处所指的不是物体在空间中的位置。处所具有量的含义，位置则没有量的含义。位置是处所的一种属性，但是绝非处所本身。
附注4 绝对运动和相对运动。绝对运动指物体由一个绝对处所迁移到另一个绝对处所，而相对运动则指物体由一个相对处所迁移到另一个相对处所。
区分绝对运动和相对运动并不容易，人们在通常情况下看到的运动现象都是相对运动，即使有绝对运动也很难与相对运动相区分。为此，牛顿举出了一个后来为人们广泛讨论争议的例子：物体飞离旋转运动轴的力，“在纯粹的相对运动中不存在这种力，而在真正和绝对转动中，该力大小取决于运动的量”。能够说明这种力的存在的实验是水桶实验。一只吊在绳子上的桶中盛有约半桶水，绳子带动桶旋转（用什么方法其实不重要）。开始时，水面平坦，水并未被带动一起旋转；之后，水被桶带动逐渐开始旋转，靠近桶壁的部分水面沿着桶壁上升，整个水面呈凹形；最后水面达到静止，沿桶壁部分上升到最高，这时的水已经不再相对于桶壁转动，水与桶实现了同步转动。牛顿解释说，开始时，水相对于桶的运动最大，但是水面是静止的；当水面上升时，表示水进行着真实的、绝对的转动，它有离开旋转中心的倾向；到最后，水相对于桶不再运动了，但形成了最深的凹形。这说明：“任何一个旋转的物体只存在一种真实的旋转运动，它只对应于一种企图离开旋转轴的力。”
按照牛顿的观点，应该这样来理解绝对运动：“宇宙体系是：我们的天空在恒星天层之下携带着行星一同旋转，天空中的若干部分以及行星相对于它们的天空可能的确是静止的，但却实实在在地运动着。因为它们相互间变化着位置（真正静止的物体决不如此），被裹挟在它们的天空中参与其运动而且作为旋转整体的一部分，企图离开它们的运动轴。”在这里，牛顿假定遥远的恒星天层是静止不动的，那里的空间是绝对空间，相对于那里的运动就是绝对运动，即使在我们的世界里看上去是静止不动的。因此，牛顿的宇宙体系理论，主要讨论的是恒星天层以下的世界，即我们所在的世界，实际上就是太阳系的世界；而发生在太阳系中的运动，主要的都是太阳与各行星之间以及各行星相互之间的相对运动，当然不排除这些运动中也包含着绝对运动。
牛顿还进一步说明了怎样区别物体的真实运动与表象运动；关键的区别在于力。他指出，如果两只球体用一根规定长度的绳子连在一起，当两只球体绕着绳子上一点作旋转运动时，如果没有任何其他物体（如遥远的恒星）作参照，人们很难发现它们正在运动，但是，由于运动的球产生离心力，要从旋转中心逃逸开去，把它们联系在一起的绳子上就会产生张力，这张力克服了球体的离心力。牛顿认为，观察绳子上的张力，可以判断球体是否运动，以及它们的运动方向。
牛顿举出的这两个例子可能给人们留下了这样的印象：如何由运动的原因、效果及表象差异推知真正的力，以及相反的推理，是件困难的事情。牛顿没有否认这一点，他只是不失时机地说，回答这样的问题，正是他写作《原理》的目的。
在运动的公理或定律部分，共有三个定律和六个推论以及一个附注。其中三个定律就是最为著名的牛顿三大运动定律——经典力学的基石与核心：
定律1 每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它，迫使它改变那个状态。
定律2 运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。
定律3 每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反。
牛顿特别指出，这三大运动定律适用于所有物体与力的作用关系，对于吸引力（万有引力）也是成立的。在这里，我们十分惊讶地发现，牛顿本人表述的运动三定律，其形式和语言直到今天几乎没有什么改变。这足以看出牛顿思维的缜密、表述的精确，他的思想和表述经得起时间的考验。
三大定律之后，牛顿写下六条推论和一条附注。
推论1和推论2 分别从几何学推导和力学实验角度提出力的合成和分解规则与原理，即平行四边形法则。这个法则其实不是牛顿本人的发明，早在伽利略的著作里已经有过介绍。但是牛顿在《原理》全书中对各种复杂力学体系的受力分析，特别是求解多粒子体系的质心受力及其运动的分析中极为灵活地加以运用，给人留下了深刻印象。
推论3 是“由指向同一方向的运动的和，以及由相反方向的运动的差，所得到的运动的量，在物体间相互作用中保持不变”。这条由运动第二和第三定律推导出的重要推论，实际上就是我们熟知的动量守恒定律，牛顿也给出了理想弹性碰撞的实例加以证明。然而牛顿的着眼点不仅限于此，他着重要说明的是一个多粒子组成的体系，其总运动量（动量）是保持不变的，这在他后面讨论行星运动时十分重要。
推论4 牛顿在推论4中对此作出了明确的表述。他说到，所有相互作用着的物体（有外力和阻滞作用除外），其公共重心或处于静止状态，或处于匀速直线运动状态，即我们熟知的惯性运动体系。
推论5 对推论4给出了一个例外：上述情形不包括圆周运动。我们知道，作圆周运动的体系不是惯性体系。
推论6 在推论6中，牛顿对推论4又给出了一个出人意料的结论：如果体系中每一个粒子都受到相同的加速力在平行方向上的加速作用，它们还将保持其相互间原有的运动，如同加速力不存在一样。真是意料之外，情理之中。
在有关运动定律的附注中，牛顿首先略述了他的运动定律的渊源、伽利略的落体和抛体研究，又讲到了克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren，1632—1723）、瓦利斯（John Wallis，1616—1703）和惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）等人在弹性碰撞研究方面的贡献。随后牛顿设计了几个实验证明推论3和推论4，他甚至还充分考虑到了落体研究中空气的阻力和实际碰撞实验中没有完全弹性球体的问题，并对由此产生的影响加以排除。更加微妙的是，牛顿从摆的碰撞试验讲到了吸引力的问题，然后就直接讨论起地球各部分之间的引力，他证明，地球上任意各部分之间的吸引力是相互的，也是相等的，否则，“漂浮在无任何阻碍的以太中的整个地球必定让位于更大的重量，逃避开去，消失于无限之中。”类似的由微见著的推理在《原理》中俯拾皆是。
牛顿还进一步讨论了力学的应用，如滑轮组、轮子、螺旋机和楔子的作用及其力学原理。他总结道：“机器的效能和运用无非是减慢速度以增加力，或者反之。”由此，他成功地证明了他的第三定律的适用之广泛和可靠，而我们则发现，牛顿对于机械装置的这一评说简直就是真理，适用于今天一切力学运动场合。
我们今天都知道《原理》是一本物理学著作，因为它讨论的是天地万物之运动和之所以运动的道理。但是牛顿在很大程度上是把它当作数学著作来写的，因为牛顿在告诉人们他所研究出的万事万物运动和之所以运动的道理的同时，还需要教给人们他研究自然问题时所用的数学方法是怎么回事，以及这些数学方法是怎么得来的。尤其是，他需要让深谙自然事物和数学问题的行家们信服。牛顿就像一位那个时代所流行的清唱剧的演员，扮演全剧的主角，表达激情时高歌咏叹调，在高潮迭起的大合唱中负责领唱；但是在需要引导剧情时，他又换一副“马甲”，来一段宣叙调，向观众讲解剧情的背景和剧情发展，有时甚至插科打诨。《原理》的第一编第1章，就是牛顿在全场正剧开演时讲的一段“题外话”，告诉读者要用什么方法来演示他的《原理》。不过这一段题外话十分震撼，牛顿一口气写下了11条数学引理——每当牛顿要介绍某种由他本人发明的数学工具或者进行读者不熟悉的数学推演时，他就采用引理的形式给出。
这11条引理和它们的若干条推论讲的是牛顿本人的发明，用于求解曲线包围区域的面积和求解曲线的切线的问题。在牛顿之前，还没有人成功地找到求出任意曲线的面积和切线的一般的方法。正是在解决了这些问题之后，才有可能解决受到万有引力作用的行星和彗星轨道问题、月地和日地关系问题以及海洋潮汐问题。牛顿是通过引入无穷小概念和求极限的方法做到这一点的。例如：
引理1 量以及量的比值，在任何有限时间范围内连续地向着相等接近，而且在该时间终了前相互趋近，其差小于任意给定值，则最终必然相等。
学习过微积分理论，特别是极限论的读者一看就会明白，这条引理已经初具极限定义的主要内容和形式。
引理2（为引用方便，我们在这里稍微改动了一下引理的表述形式，并略去插图，有兴趣的读者请参阅科学元典版《自然哲学之数学原理》第一编第1章，下同。）任意图形AacE由直线Aa，AE和曲线acE组成，其上有任意多个长方形Ab，Bc, Cd，等等，它们的底边AB，BC，CD等都相等，其边Bb，Cc，Dd等平行于图形的边Aa，又作正方形aKbl，bLcm，cMdn等：如果将长方形的宽缩小，使长方形的数目趋于无穷，则内切图形AkbLcMdD，外切图形AalbmcndoE和曲边图形AabcdE将趋于相等，它们的最终比值是相等比值。
这种利用趋于无穷多个的内、外切图形来逼近任意曲边图形的方法，正是近现代微积分理论描述曲线、求切线和面积的基本思路，自牛顿以来没有改变。
又如：
引理4 如果两个图形中各有一组内切矩形，每组数目相同，它们的宽趋于无穷小，如果一个图形内的矩形与另一图形内的矩形分别对应的最终比值相同，则两个图形的比值与该比值相同。
通过这样趋于无穷小的矩形的比值，就能确定所求图形的面积（的比值）。按照同样的思路，画出任意曲线的任意弦线，当该弦线与曲线的夹角趋于零时，它就变成了曲线的切线。于是有了：
引理6 任意弧长ACB位置已定，对应的弦为AB；在处于连续曲率中的任意点A上，有一直线AD与之相切，并向两侧延长；如果A点与B点相互趋近并重合，则弦与切线的夹角BAD将无穷变小，最终消失。
牛顿没有迷失在数学推导中，他求出曲线的面积和切线，目的是为了求解出物体受力。曲线可能是物体的运动轨迹，由轨迹求出受力情况对于讨论天体运动具有关键性意义。牛顿很轻松就做到了。
引理9 如果直线AE，曲线ABC二者位置均已给定，并以给定角相交于A；另二条水平直线与该直线成给定夹角，并与曲线相交于B，C，而B，C共同趋近于A并与之重合，则三角形ABD与ACE的最终面积之比是其对应边之比的平方。
紧接着，牛顿突然点明了他给出这些引理的意图：
引理10 物体受任意有限力作用时，不论该力是已知的不变的，还是连续增强或连续减弱，它越过的距离在运动刚开始时与时间的平方成正比。
然后推而广之：
引理11 在所有曲线的一有限曲率点上，切线与趋近于零的弦的接触角的弦最终正比于相邻弧长对应的弦的平方。
到这里，牛顿初步建立起《原理》全书分析讨论问题的基本思想：微分思想，顺带着给出由物体运动轨迹求解出其受力情况的一般方法。这一章讨论的几个引理实际上是初步的微分和积分方法，牛顿称之为流数法和反流数法。我们想着重指出的是，自牛顿肇始的这种把整体切割分离为局部然后分析局部的特性，再将各个局部逐一复合或相加还原为整体，从而评估整体性能的方法，就是在近现代科学中大行其道、屡试不爽的所谓“还原论”方法，它的默认前提是“局部之和等于整体”。虽然在当代科学和哲学的某些学科和研究讨论中对这一方法提出了诸多疑问，有人认为“整体大于局部之和”，因而怀疑还原论方法已经过时，进而否定全部的近现代科学的合理性，但是迄今为止还没有看到任何比这种还原论方法更适合科学研究的、更先进、更有效的方法问世。在当代科学方法研究中，问题是提出了，质疑也是合理的，但是却完全没有看到新的建树。在实际的科学研究中，牛顿发明的方法还是中流砥柱。
其次我们需要指出，牛顿在这里演示的证明和推导方法，是以平面几何作图为基础的。今天的许多读者已经很不熟悉这些推导。实际上与牛顿同时代的绝大多数读者也不懂，因为这些推导非普通读者可以领略，它们只能是一流几何学家的游戏。牛顿本来可以用他自己发明的一套方法来进行有关推导，但是他担心即使是几何学家接受起来也有困难，于是不厌其烦地采用当时数学家能够懂得的方法。按照今天的标准，牛顿的证明和推导非常简单、浅显，它们并不困难，读者如果仔细阅读牛顿的文字，再对照书中的作图，应该比较容易读懂，只是比较繁琐。
另一个令读者感到不便的问题是，牛顿的证明和推导大量使用比例形式。这是必然的，因为他在几何作图法上进行代数推演只能这样做。我们必须记得，在牛顿的时代，还远远没有广泛使用今天读者非常熟悉的正交坐标系进行数学推演，牛顿时代的代数运算也远远没有发展到我们今天所熟悉的程度，而且，那时的学术界没有统一的科学计量单位制。此外，可能更为重要的，是在牛顿时代，还远没有具备今天人们熟知的各种科学测量手段、各种标准科学计量单位，牛顿们的天文测量与地面运动物体度量，很大程度上得不出绝对数值参量，而只能测量出不同量之间的比例或比值。在这种情况下，牛顿经常使用的数值比、角度比的方法就显得十分有用，甚至无可替代。在阅读《原理》时，牛顿往往给出一般性的数学上的求比例计算，在代入一两个观测数据之后，重要的科学结论就显现出来。
我们知道，微积分学虽然发端于牛顿和他的同时代人莱布尼茨（Gottfried Withlrn Leibniz，1646—1716）（关于微积分发明权的争论，参见附录二）手中，它的坚实理论基础极限论直到19世纪才臻于完善，那已是牛顿辞世后二百多年的事情了。牛顿手中的流数和反流数方法还是很粗糙的，早在他健在时就已被许多同时代人指出，如神学家贝克莱大主教、莱布尼茨。其实牛顿本人也意识到这种不完善，他在这一章最后的“附注”中为自己的方法作了辩护，他机巧地声称自己专注于这种无穷小的物理意义，而不是数学（我们都记得牛顿本来就是要写自然哲学的数学原理的）：“可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而在它们消失之时，比率也没有了。但根据同样的道理，我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它到达前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。”这一节可以看作数学上是幼稚的，甚至是牵强的；但在物理上却是质朴的，直观的。面对形而上学家和物理学家，牛顿大谈数学；而当数学家质疑时，牛顿就讨论物理。今天的读者，也许感到惊讶的不是牛顿在数学上的不严谨，而应是他竟然用那么简单、原始的数学手段就能对宇宙万物的运动规律作出那么好的解释。
第一编第2章的标题是“向心力的确定”，它可以从两个角度来理解：一是前一章的几个数学引理的应用；二是提供一种普适的方法，用以由物体运动的轨迹求解它所受到的作用力，作为进入整个牛顿力学理论大厦的入门。这一章总共有10个命题、1条引理，以及若干推论和附注，分别讨论了正圆、椭圆、双曲线、螺旋线和抛物线等多种运动轨迹下物体的受力（向心力）情况。今天我们都了解，这些都是二次曲线运动，又叫圆锥曲线运动。所有这些运动情况，牛顿都预设了隐含着的前提：发自某个不动的中心的力（向心力、引力）是导致物体作出沿着某特定轨迹运动的原因，而牛顿的任务是根据现象（观测到的运动轨迹）求解出这种力。这一部分是牛顿学说中最伟大的理论创造，在以前时代，还没有人能够解析这样的运动，直到牛顿。
首先，牛顿证明了，做环绕运动的物体受到向心力作用而运动，其指向力的中心的半径所画出的面积位于该力所在的平面上，而且正比于该力画出该面积所用的时间（定理1），反之亦然（定理2和定理3）。这一证明回答了当时的世纪之问：是什么样的力导致环绕运动；或者反过来，物体做环绕运动究竟是受到什么样的力的作用？
其次，定理4讨论了物体作圆周运动的情况，该定理的推论6特别指出，“如果圆周运动的周期正比于半径的3/2次幂，则向心力反比于半径的平方；反之亦然。”读者一定已经看出，这条定理和前一条定理已经差不多就是著名的开普勒行星运动定律。牛顿在这一定理的附注中也特别说明，推论6的情形发生在天体中。
在研究了圆周运动与向心力的关系之后，牛顿在命题8的附注中指出，物体在椭圆甚至双曲线或抛物线上运动时，所受到的向心力反比于它到位于无限远的力的中心的纵向距离的立方。在命题10的附注中，牛顿把几种运动曲线的关系点破：“如果椭圆的中心被移到无限远处，它就演变为抛物线，物体将沿该抛物线运动，力将指向无限远处的中心，是一常数。这正是伽利略的定理。如果圆锥曲线由抛物线（通过改变圆锥截面）演变为双曲线，物体将沿双曲线运动，其向心力变为离心力。”
真是一通百通。牛顿通过物体的运动轨迹求出它所受的力（如圆周轨道和椭圆轨道对应向心力），又由发出力的中心的位置变化求出轨道变化（力的中心被移至无穷远处轨道变为抛物线），而轨道的变化更会进一步改变力的性质（双曲线轨道时力由向心力变为离心力）。表面上看神出鬼没，变化多端，实际上服从的都是一个道理，求解时用的都是一套方法。这正是理论体系的魅力所在。
初看起来，第3章更加贴近了天体运动的真实情况，它的标题是“物体在偏心的圆锥曲线上的运动”——这本该是在前一章讨论了圆周运动之后的应有之论；然而牛顿显然认为有必要专辟一章来讨论这个问题。仔细斟酌，人们发现牛顿在读者不知不觉中论述到了他的理论体系的核心：引力的平方反比定律，以及引力与椭圆轨道的关系。
这一章由7个定理和2条引理组成，当然还有若干推论与附注。第一个命题（命题11）是：“物体沿椭圆运动，求指向椭圆焦点的向心力的规律。”牛顿用两种不同的方法得出的结论是：向心力反比于物体到椭圆焦点的距离的平方。随后，牛顿分别求出在双曲线和抛物线轨道情形下，向心力有着相同的规律（命题12和13），只是在双曲线轨道上物体受到的是方向相反的离心力。牛顿说（命题13推论1）：“如果任意物体p在处所P以任意速度沿任意直线PR运动，同时受到一个反比于由该处所到其中心的向心力的作用，则物体将沿圆锥曲线中的一种运动，曲线的焦点就是力的中心；反之亦然。因为焦点、切点和切线已知，圆锥曲线便决定了，切点的曲率也就给定了；而曲率决定于向心力和给定的物体速度。相同的向心力和相同的速度不可能给出两条相切的轨道。”
在椭圆轨道与平方反比力之间建立起关联之后，牛顿进一步证明，通过这样的关系，可以推导出开普勒的三个行星运动定律。
许多读者可能都知道，这一章中讲到的几个定理，以及我们援引的牛顿这段话的背后有一个著名的故事，这一故事直接导致《原理》的诞生。早在《原理》出版前十多年，伦敦的文化人聚会的场所里已经经常有人谈论到这样的话题：行星沿着椭圆轨道围绕太阳运动，月球沿着椭圆轨道围绕地球运动，行星和月球分别受到指向太阳和地球的力的吸引作用，这种力的大小反比于它们到太阳或地球的距离的平方。到了牛顿写作《原理》的时候，这更早已不是新鲜话题了。问题在于，没有一个人能够从数学上推导出这种椭圆轨道与平方反比力的必然联系。实际上，牛顿早在1665—1666年之间的大鼠疫时期，已经猜到了这个问题的答案，但是他只是写在自己的私人笔记本中，没有公之于众。大约在1679年，他已经解决了这个难题，并写作成论文形式，但是他依旧没有发表它。让我们引用当代著名物理学家斯蒂芬·霍金所讲述的这一著名故事
：
1684年，在一次有欠光彩的聚会中，皇家学会的三个成员，罗伯特·胡克（Robert Hooke，1635—1703），爱德蒙·哈雷（Edmond Halley，1652—1742）和著名的圣保罗大教堂的建筑师克里斯托弗·雷恩
展开了一场热烈讨论，议题是平方反比关系决定着行星的运动。早在1670年代，在伦敦的咖啡馆和其他知识分子聚会地的谈论话题中，就已经议论到太阳向四面八方散发出引力，这引力以平方反比关系随着距离递减，随着天球的膨胀在天球表面处越来越弱。1684年的聚会的结果是《原理》的诞生。胡克声称，他已经从开普勒的椭圆定律推导出引力按平方反比关系随距离递减的证明，但是在准备好正式发表以前，他不能给哈雷和雷恩看。愤怒之下，哈雷前往剑桥，向牛顿诉说胡克的作为，然后提出了这样一个问题：“如果一颗行星被一种按距离的平方反比关系变化的力吸引向太阳，那么它环绕太阳的轨道应该是什么形状？”牛顿立即打趣地回答说：“它还不就是椭圆。”然后牛顿告诉哈雷，他在四年前已经解决了这个问题，但是不知道把那证明放在办公室的什么地方。
在哈雷的请求下，牛顿用了三个月时间重写并且改进了这项证明。随后，过人的才智喷泻而出，长达十八个月之久。在此期间，牛顿如此专注于工作，以致常常忘记吃饭。他把他的思想发展推衍，一口气写满整整三大编。牛顿把他这部著作定题为Philosophiae Naturalis Principia Mathematica（《自然哲学之数学原理》），刻意要与笛卡儿的Principia Philosphiae（《哲学原理》）做个比对。牛顿的三卷本《原理》在开普勒的行星运动定律与现实物理世界之间建立起联系。哈雷对于牛顿的发现报之以“欢呼雀跃”，对哈雷来说，这位卢卡斯教授在所有其他人遭遇失败的地方取得了成功。他个人出资资助了这个划时代的鸿篇巨制的出版，把这当作是献给全人类的礼物。
到这里，根据牛顿的提示，读者已经具备了阅读《体系》的必要知识准备。但是我们认为，如果能进一步了解下面的内容，对于读者阅读本书、更好地了解牛顿和他的科学思想，会有更大裨益。
我们补充一些牛顿没有推荐的知识，它们也是编排在《原理》书中的。有三部分内容对于理解《原理》和《体系》以及牛顿的思想大有帮助。
牛顿认为，他在《原理》的定义、公理以及第一和第二编中已经“奠定了哲学的基本原理”，当然是数学的原理，这些原理可以用来进行哲学推理，以建构全部的宇宙体系。哲学推理的规则应当是：
规则1 寻求自然事物的原因，不得超出真实和足以解释其现象者。
规则2 对于相同的自然现象，必须尽可能地寻求相同的原因。
规则3 物体的特性，若其程度既不能增加也不能减少，且在实验所及范围内为所有物体所共有，则应视为一切物体的普遍的属性。
规则4 在实验哲学中，我们必须将由现象所归纳出的命题视为完全正确的或基本正确的，而不管想象所可能得到的与之相反的种种假说，直到出现了其他的或可排除这些命题、或可使之变得更加精确的现象之时。
以上四条规则在今天的自然科学研究中仍然被广泛遵循，而且似乎难以增添更多的可以称之为规则的东西并赢得共识。一些自然科学以外的学问也极力遵循这四条推理规则。这实际上是全部近代科学的方法论核心要点。
这份“总释”（王福山先生翻译）现收录在本书附录一中。以下引文则出自拙译《原理》，因为译者不同，本导读中有关引文可能与本书附录一有所不同。这篇总释在体例上与定义、运动的公理和三编内容相并列，由此可见它的特殊重要性。在这篇幅不长的著名文献中，我们需要注意牛顿讲到的几个意思。
第一是牛顿强调指出，他为人们描绘的宇宙体系及其运行规律和机制，比笛卡儿（René Descartes，1596—1650）的“涡旋说”优越。
历史事实是，在牛顿体系出现之前，欧洲人主要信奉的是笛卡儿的涡旋宇宙体系。牛顿指出涡旋说与他的平方反比定律矛盾，不能合乎逻辑地解释天体运动现象。他曾在《原理》中不留情面地挖苦了这一在当时还非常流行的学说：“还是让哲学家们去考虑怎样由涡旋来说明3/2次幂的现象吧。”
第二是集中表达了牛顿的上帝观。
在1687年正式出版的《自然哲学之数学原理》第一版中，牛顿没有写这一总释，更没有公开阐述过他的神学见解，为此曾饱受诟病。《原理》在第二版（1713年）时作了重大修改，最令人瞩目的变化是添加了综合论述牛顿的上帝观的“总释”部分。读者如果需要比较全面地了解牛顿其人其事，这一文献不可不读。实际上，牛顿在其一生的研究生涯中，神学、炼金术和历史学（圣经考据学）研究所占的比重要比他的科学（自然哲学）活动多得多，作为科学家或自然哲学家的牛顿，只是他众多学术身份中的一种。
牛顿说，宇宙（也就是当时所认识到的太阳系）中有六颗行星围绕太阳沿着同心椭圆轨道运行，轨道几乎在同一个平面上；这些行星携带着十颗卫星，卫星轨道也几乎与行星轨道在同一平面上；彗星运动沿着极为偏心的椭圆穿越整个宇宙，“这个最为动人的太阳、行星和彗星体系”不能设想单纯由力学原因就能导致如此多的规则运动。牛顿认为，宇宙的体系“只能来自一个全能全智的上帝的设计和统治”。牛顿意识到真实的宇宙可能远远大于太阳系的范围，他说：“如果恒星都是其他类似体系的中心，那么这些体系的产生只可能出自同一份睿智的设计；尤其是，由于恒星的光与太阳光具有相同的性质，而且来自每个系统的光都可以照耀所有其他的系统，为避免整个恒星的体系在引力作用下相互碰撞，他（上帝）便将这些（恒星）系统分置在相互很远的距离上。”
关于时间（牛顿在此称之为延续）和空间，牛顿倾向于认为它们只是上帝的属性，并非独立的存在。他说，上帝只有一个，全智全能，“他是永恒的和无限的，无所不能的，无所不知的”，“他不是永恒和无限，却是永恒的和无限的；他不是延续或者空间，但他延续着而且存在着。他永远存在，且无所不在；由此构成了延续和空间”。
关于物质和运动，牛顿似乎认为那与上帝无关，至少用人类须臾不可离开的物质和时刻参与其中的运动都不足以去理解上帝的存在。他说：“不论就实效而言，还是就本质而言，上帝都是无处不在的，因为没有本质就没有实效。一切事物都包含在他之中并且在他之中运动，但却不相互影响。物体的运动完全无损于上帝；无处不在的上帝也不阻碍物体的运动。”上帝“以一种完全不属于人类的方式，一种完全不属于物质的方式，一种我们绝对不可知的方式行事”。
因此，了解到事物运动的数学原理，对于认识事物的本质，对于认识上帝而言，还是极为肤浅的。在此，牛顿似乎在回应来自神学界的诘难，他并不是越俎代庖地行上帝之事。“我们能知道他的属性，但对任何事物的本质却一无所知。我们只能看到物体的形状和颜色，只能听到它们的声音，只能摸到它们的外部表面，只能嗅到它们的气味，尝到它们的滋味；但我们无法运用感官或任何思维反映作用获知它们的内在本质，而对上帝的本质更是一无所知。”
不过，事情还没有完全绝望。牛顿又带给我们一些安慰——也可以理解为他在为自己辩护：人类可以通过研究和认识上帝的创造物——宇宙和自然来认识他，同时他也在为当时新兴的数学和实验的自然哲学（即物理学和科学）寻求合理性（向神学）：“我们随时随地可以见到的各种自然事物，只能来自一个必然存在着的存在物的观念和意志。”然而这种观念和意志不是我们人类可以企及窥测的，“我们只能通过他对事物的最聪明、最卓越的设计，以及终极的原因来认识他”。事情的转机在于，人类在上帝面前虽然极为渺小，却发明了一种叫做自然哲学的研究活动，给认识上帝带来了希望：“我们可以说，上帝能看见，能说话，能笑，能爱，能恨，能盼望，能给予，能接受，能欢乐，能愤怒，能战斗，能设计，能劳作，能营造；因为我们关于上帝的所有见解，都是以人类的方式得自某种类比的，这虽然不完备，但也具有某种可取之处。……要做到通过事物的现象了解上帝，实在是非自然哲学莫属。”自然哲学的合理性就在于此，当然，这是牛顿的见解。
“总释”可能是牛顿写下的所有文献中最受后人重视的，中外科学史学者和牛顿研究者无不仔细研读这篇文献，从中揣摩牛顿的上帝观、神学见解、对自然哲学的看法以及对他本人的引力理论的评价。牛顿似乎意识到他的这篇文献的份量，行文中字字斟酌。
第三，关于“假说”和一些不能解释的现象。
在简要论述了他的神学见解之后，牛顿又回到主题，提醒读者，他只是对他的宇宙作出数学描述，并不触及事物的终极原因，而事物的现象之中最重要的定律就是他提出的平方反比定律。引力的作用在宇宙物体运动中发挥根本作用，“它必定产生于一个原因”，但是，牛顿认为，他本人还没有找出这种作用的原因：“我迄今为止还无能为力于从现象中找出引力的这些特性的原因，我也不构造假说。”
于是牛顿一不留神又制造了一个大话题。后世许多人经常引用牛顿这句“不构造假说”，并把假说与理论相区别对待。然而很多人指出牛顿实际上自己构造了有史以来最大的假说——宇宙体系及其平方反比关系理论解释。牛顿这样解释他的理论与他所谓的假说的区别：“凡不是来源于现象的，都应称其为假说；而假说，不论它是形而上学的或物理学的，不论它是关于隐秘的质的或是关于力学性质的，在实验哲学中都没有地位。”牛顿在此重申了他的实验哲学理念：“在这种哲学中，特定命题是由现象推导出来的，然后才用归纳方法作出推广。”循着这样的方法，牛顿完成了他的理论体系。他这样评价自己的理论（虽然还不足以认识事物的本质以及上帝的本质）：“对于我们来说，能知道引力的确是存在着，并按我们所解释的规律起作用，并能有效地说明天体和海洋的一切运动，即已足够了。”
最后，牛顿没有忘记，还有一些事物的现象是自己的理论所不能解释的，这表明牛顿在取得了最后的巨大成功之后还是头脑清醒的。有人说牛顿十分谦逊，有人说牛顿十分傲慢。但是在这里我们的确见到了他的谦逊的一面。他注意到一些涉及某种最细微的精气的事情，它渗透并隐含在一切大物体之中。它的力和作用使得微小粒子在近距离相互吸引和粘连；使得带电物体的作用能延及较远距离，既有吸引也有排斥；使得光可以发射、反射、折射、衍射，并对物体加热；还有感官受到刺激、动物肢体受到意志的支配而运动；等等。牛顿意识到：“这些事情不是寥寥数语可以解释得清的，而要精确地得到和证明这些电的和弹性精气作用的规律，我们还缺乏必要而充分的实验。”
实际上，牛顿完全意识到他自己的局限，觉得在认识他心目中的上帝方面，他必须保持谦逊；但是牛顿的傲慢也是有目共睹的，那是因为他在与同时代的人们打交道。
为《原理》第二版所写的长篇序言
这是一篇战斗檄文，它讨伐了笛卡儿和莱布尼茨等人的学说，集中表达了牛顿的科学思想和世界观，是力学哲学思想的经典之作。我们提示于此，不再赘述。
下面让我们简要说明牛顿在这本非数学的《宇宙体系》中讲了些什么。
现在让我们回到正题，解释牛顿的这部非数学的《体系》。这部分大致上是可以单独当做一部著作刊行的。它讲解宇宙的体系，讲解维系宇宙的稳定和运动所必要的相互作用——无处不在的吸引力。我们需要知道宇宙是什么样的，它为什么是那个样子，那里面有哪些有趣的、令人迷惑的事情，在这本《体系》中都有了解答。
在非数学的《体系》中，牛顿不时提示读者到《原理》中查阅有关内容，包括第三编（即数学的《体系》）内容，这些内容一般是对某个命题或定理的数学证明。由于略去了数学化的内容，牛顿得以使用比较通俗的文字语言从容地发挥他的思想。
首先（论题1），牛顿对自古希腊以来的关于天体物质以及其运行轨道的种种观点作出综述。他指出，日心说是古已有之的。一些古人（希腊的菲洛劳斯、阿里斯塔克、柏拉图、毕达哥拉斯等）认为，恒星静止于世界的最高部分，在恒星以下行星绕太阳运行；地球作为行星之一，每年绕太阳运行一周，同时还绕其自身的轴自转；而太阳位于宇宙的中心，它燃烧的热温暖整个世界。这样的观念可能出自先于希腊的古埃及。在这里，牛顿为自己的日心说和一些宇宙现象的解释找到了经典依据。另一些希腊人（阿那克西哥拉、德谟克利特等）提出了地球是宇宙中心的猜想。无论日心说还是地心说，都同意天体的运动是完全自由不受阻力的。到希腊晚期，产生了坚硬天球壳的设想（欧多克索斯、卡里普斯和亚里士多德），并在后来一千多年的时间里占据了统治地位。这种观点认为天体沿着实体的轨道运行，恒星镶嵌在遥远的天球上。但是牛顿指出，实体轨道观念无法包容彗星现象，它要求彗星轨道低于月球轨道。当人们发现彗星处于远高于木星甚至土星的轨道位置时，坚硬的行星轨道甚至恒星天球便被扁长的彗星轨道刺破。牛顿显然认为，他的宇宙体系将战胜前人的体系，关键之处就是彗星理论。在这里，牛顿设下埋伏，为后面他的彗星理论作为他的理论体系的最高、最重要成就作好铺垫。
牛顿指出，除了轨道的形状和高度问题之外，还存在一个难题，就是怎样解释行星被维系于自由空间中的有限范围内，不断偏离属于其自身的直线路径，而沿着曲线轨道作规则环绕运动。古人对此若非回避也是语焉不详；晚近的人，如开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）和笛卡儿（René Descartes，1596—1650）提出涡旋说、波莱里（Borelli，1608—1679）和胡克（Robert Hooke，1635—1703）提出冲力或吸引力，但都没有能够解决问题。
因此（论题3和4），牛顿给自己定下的任务就是，由现象探寻这种力的量和特性，并用我们在某些简单情形中发现的原理，以数学方法推测涉及更复杂情形的现象。牛顿把这种力称为向心力。于是，推演整个宇宙体系物体运动的工作，就从研究向心力开始。
我们记得，牛顿在《原理》开篇的定义部分，就先定义了向心力。牛顿的理论就是研究作用力与运动的关系的，向心力是力（万有引力）在宇宙中最重要的表现形式之一。
向心力的特性（论题5）是，行星在运动中，由伸向地球中心的半径所掠过的面积正比于掠过该面积所用的时间，这就是著名的开普勒定律。另一方面，牛顿创造性地想象，如果一个物体自高山上被抛出，或者自若干个地球半径的高度被抛出，则这些物体将掠过不同的与地球共心的圆弧或偏心圆，飞出一段或近或远的距离后坠落地面；如果抛离的高度足够高，初始的速度足够大，则物体不再落回地面，而会像行星在其轨道上运动那样在天空中环绕。
宇宙中的向心力，是指向太阳、地球以及其他行星的中心的。月球运动、木星运动、土星运动、金星运动、水星运动以及地球运动都证明了这一论断。
向心力的另一重要特性（论题6）是，向心力反比于到行星中心的距离的平方而减小。牛顿列举了他的时代和他以前几位最优秀的天文学家的观测数据来证明他的论断，有弗拉姆斯蒂德、卡西尼、波莱里以及伽利略等。
牛顿特别讨论了远距离行星受到的向心力情况（论题7和8）。它们的向心力都是指向太阳的。比较火星与地球的轨道和向心力，牛顿很好地解释了火星在地球上看起来时快时慢、时而留驻、时而逆行的现象，这一现象困扰了欧洲和中国古代几乎所有的天学家。牛顿还比较详细地讨论了木星的运动（论题7），有关数据来源于对木星卫星的观测。根据对木星卫星运动的观测，木星的日心经度运动有若干误差。牛顿指出：“它也许来自于某颗迄未发现的卫星的偏心运动。”这种由观测卫星或行星运动的某种非规则性来推测其外层有其他卫星或行星存在的方法，曾经是一种极为有效的天文学研究和发现方法，其依据是，牛顿的理论指出，外层行星对内层行星的运动有一定影响。实际上，人们后来的确发现了更多的木星卫星。我们后面将进一步讨论这个问题。
向心力反比于到中心的距离的平方减小（论题9～12），这既可以从数学上推导出来，也有大量实际观测和实验数据支撑。牛顿列举了大量前人[开普勒、波里奥（Bullialdus，1605—1694）、托勒密（Claudius Ptolemeus，约90—168）、赫维留（Johannes Hevelius，1611—1687）、第谷（Brahe Tycho，1546—1601）、哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543）等]的天文观测数据、地面物理（单摆）实验数据（惠更斯以及牛顿本人）来证明这一结论。考察的角度包括，太阳—行星、地球—月球以及地球—其他行星之间的关系，还考虑到了地球运动与静止的情况。
确立了上述现象知识基础后，牛顿转而比较太阳引力与地球引力的大小（论题13和14），这样的论题是普通读者易于感兴趣的，便于直观理解。通过简单计算牛顿得出，在相同距离处，太阳力1100倍大于木星力，2360倍大于土星力，至少229400倍大于地球力。这些数据都是由千分仪观测天体的视差所得到的数据推算出来的。
牛顿顺便讲到了观测仪器，正如现代科学实验和观测报告所必须做的那样。天体的力的大小决定于星体的大小，天体的大小是由观测到的各行星在其到地球的平均距离上的视直径决定的（论题15），表现为在地面看上去的视角的大小。在牛顿时代，观测天体最精密的仪器是千分仪和望远镜。牛顿极为精通光学和望远镜，他在1704年出版了另一部重要著作《光学》；而天文观测利器——反射式望远镜正是他的发明，他在很年轻时就因为这项发明当选为皇家学会会员。牛顿确实考虑问题缜密，他深知天文观测数据对于自己理论的重要性，不惜笔墨专门讨论了望远镜的像差（由于光的不相等偏折引起）问题以及其解决（校正）的办法（论题16），以打消读者对于观测数据的疑虑。
根据牛顿的理论，有些星体视直径较大，但是所受到的力却较小，只是因为它的密度较小，因而物质的量较少，而力总是正比于星体的物质的量的。太阳非常炎热，靠近它的物体会受到更多的热和光，因而太阳系内层行星只能是沉重且能耐受高热的物质，密度极大。牛顿自问自答道：“如果上帝曾将不同的物质放置在到太阳的不同距离上，为什么不使较密的物体占据较近的位置，使每个物体都享受到适宜于它的条件和结构的热度呢？本着这一考虑，所有行星相互间的重量比等于它们的力的比是再好不过的了。”（论题17）
读者会注意到，从这里开始，牛顿由向心力讲到了天体所受到的力，即吸引力。牛顿提到力与被吸引物体之间的另一种关系，到太阳距离相等的相等重量的行星，受到的向心力的作用是相等的；距离相等的不同行星，向心力正比于星体（的质量）。这一关系适用于所有行星和卫星（论题18），也适用于地面物体（论题19）。“天体的以及地球的物体，这力都正比于其物质的量，因为所有的物体并没有本质的区别，只是状态和形式不同而已”。（论题24）这一大胆论断一扫自古以来自然哲学研究中流行的天体物质及其运动规律与地球物体不同的见解，在科学史和哲学史上都属于重要突破，实际上是牛顿理论的又一革命性结论，也是牛顿能够纵论地球物体与天体的运动的基本预设。有理由认为，牛顿是通过观测与计算发现各种不同天体服从同样的环绕运动规律，进而大胆猜测天体物质与地球物质本质相同。
根据第三运动定律（定律3），星体间所有的作用都是相等的，方向相反，因而吸引是相互的；在轨道上的行星受到指向太阳的向心力的作用，它同时也吸引着太阳。如果说一个是吸引的，另一个是被吸引的，“这种区分与其说是自然的，还不如说是数学的”（论题20）。作用只有一个，应该把两个行星之间存在的单一作用视为双方的共同本性使然，“这作用驻留于二者的不变关系中，如果它正比于其一物质的量，则也应正比于另一个物质的量”（论题21）。牛顿进一步证明，这样的效应在地球上小得微不足道，以至于不可察觉（论题22和23）。但是对于星体，则是导致它作环绕运动的唯一原因。
进一步研究，这种力自行星表面向外反比于距离的平方递减，向内则正比于天体包括行星物质到其中心的距离递减（论题25）。历史上，发现并证明，这一点是牛顿的重要科学贡献。这一发现，使得牛顿可以精确地表述后人称为万有引力定律的结论（论题26）：“每个球体的绝对力正比于该球体所包含的物质的量；但使得每个球体被吸引向另一个的运动力，对于地球物体而言，我们称之为重量，正比于两个球体物质的量除以它们的中心间的距离平方，……而由每个球所含物质的量决定的使它被吸引向另一个球的加速力，则正比于另一个球的物质的量再除以二球中心间距离的平方。”牛顿说，掌握了这些原理，即易于求解各天体之间的运动。
在上述的力的作用下，所有的行星都受到太阳的吸引而围绕着太阳作环绕运动，各行星的卫星受到行星的吸引而环绕着行星运动。虽然地球也具有吸引力，但并不表明地球可以成为世界的中心。原因即在于引力作用的大小：太阳是宇宙中物质的量最多吸引力最大的天体，它只能处于宇宙中心。经过一番细致的说明，结论（论题27）是：“如果迄今为止地球以其各部分的吸引作用而被置于宇宙最具权威的最低区域，则今天，太阳应以其具有强于地球千倍以上的向心力这一更好的理由占据最低位置，被尊为宇宙的中心。像这样安排的整个体系才能得到更充分、更精确的解释。”
有趣的是，牛顿在论题27中指出了此前在欧洲流行过百年之久的第谷宇宙体系的荒谬：“如果太阳绕地球运动，并带动其他行星绕它自己运动，则地球应以极大的力吸引太阳；但环绕太阳的诸行星并没有受到产生明显效应的力作用，这与（《原理》）第一编命题65推论3矛盾。”
然而，这样的体系还是粗略的描述，更精确地表达应当是：在太阳与各行星运动的关系中，太阳并不是严格静止的，准确地说应当是太阳与所有行星的公共重心是静止的，太阳也作极慢的运动。原因是太阳围绕着它与所有行星的公共重心运动，只是这一重心在距离太阳本身的中心不远处，很少会超出它的直径（论题28）。牛顿推算出：“即使将所有行星都置于木星相对于太阳的同侧，太阳与它们全体的公共重心也很少超出它到太阳中心的两倍。”因此，太阳总是以很慢的摇摆运动来回游荡，离开整个体系的中心距离从未超过其自身的直径。宇宙的中心太阳居然也是摇摆不定的！而这种摇摆居然是由于环绕它的行星运动引起的！读到这里，人们难免叹服，牛顿思维真是太缜密了！他的推理有如此之大的力量以至于能够撼动太阳，而且他对于这一理论推演是如此自信，坚定地认为，天体运动必须服从自己发现的力学原理。
再看行星。行星的环绕轨道不是正圆，而是椭圆。“行星环绕的椭圆其焦点位于太阳中心；其伸向太阳（中心的）的半径掠过的面积正比于时间”（论题29）。
行星轨道的大小（论题30），如果地球的轨道是100000，则土星为953806，木星为520116，火星为152399，金星为72333，水星为38710。这是一方面；另一方面，外层行星对内层行星的运动有影响，导致内层行星周期被稍稍延长，天文观测上发现内层行星的远日点以极慢速度向前推移。这是牛顿力学的必然结论，然而牛顿把这一结论进一步引申到彗星：“出于同样理由，所有行星，尤其是外层行星，其周期时间，都将因彗星的作用而延长。”这样的结论是相当意味深长的，甚至表现为某种预见性。
的确，牛顿在此似乎是在预言着什么未知的东西。他说：“如果有任何彗星位于土星轨道以外的话，那么，所有的远日点也将因之而前移。……天文观测似乎证明远日点的前移与交会点的退移相对于恒星极慢。因此，这可能是由于在行星区域以外有彗星沿极为偏心的轨道运行，很快地掠过它们的近日点一侧，并在其远日点处运动极慢，在行星以外区域度过其几乎全部的运行时间。”科学史家和牛顿研究专家们认为，牛顿写下的这段话令人极感兴趣，因为那时人类还没有发现天王星。我们记得，在《体系》论题7中讲到木星卫星轨道异常情况时，牛顿已经暗示了这个问题，在这里他进一步应用到行星轨道计算上，接近于作出正式的科学预言。牛顿显然认为，外层行星木星和土星的行为（远日点的前移和交会点的退移）需要通过设想在土星轨道以外还存在着未知的“彗星”来加以解释。在天文学中，这种外层行星对内层行星的影响称为“摄动”。历史上，天王星和随后的海王星的发现，都分别是通过对位于其内层的土星轨道和天王星轨道的摄动的计算而先作出预言，随后在大型望远镜的帮助下在计算出的预定位置发现的；而冥王星的发现，也是在预定位置上找到的，那个位置是由对海王星的轨道摄动计算出的。没有什么比这些发现更能证明牛顿理论的威力了。这样的预言性文字，在出言谨慎的牛顿文稿中是不多见的。
随后，牛顿运用同一理论，在论题31～34中对月球以及土星和木星的轨道不规则运动作出了详细解释。月球运动表现出较多的不规则性，并不完全吻合牛顿的运动理论。在这些论题里，牛顿作了讨论，触及直到20世纪才基本廓清的日地月三体问题。牛顿尝试了求解，但是他似乎有一定保留，说：“愿天文学家们检验这样求出的距离与月球视直径相一致的精确程度。”（论题33）在论题35～37中，牛顿还解释了行星（包括地球）与卫星（月球）的自转问题，以及自转轴的摆动（天平动）问题。值得注意的是，牛顿强调了他计算的行星和卫星的自转以及自转轴的运动，是相对于恒星而非太阳的运动。
在论题37，牛顿指出，由于行星的自转，它的两极处直径小于其赤道直径，并援引对木星外型的观测佐证。
从论题38到论题56，牛顿详细解释了地球上的海洋的潮汐现象与月球和太阳运动的关系。牛顿指出，潮汐运动的成因是地球自转、月球和太阳的吸引。
他列举了大量的海洋潮汐现象（论题38～47），这些现象发生于世界各地，包括中国、缅甸、印度、巴西，当然更多的是英国的一些重要河流入海口和海峡。牛顿运气很好，他已经能够获得世界各地传教士和商人记录的当地天文、水文和地理数据。牛顿善于分类归纳现象，这些分类的方式非常有利于他在分析潮汐成因时突出主要原因，同时运用自己的理论作出解释。
在随后几个论题中，牛顿对地球自转、月球的吸引力和太阳的吸引力对于海洋潮汐的影响进行了定量计算，他指出，太阳位于天顶时对当地海洋的作用力仅为地球重力的1/12868200（论题49），月球产生的力约比太阳产生的力大6倍多，因而引发海洋潮汐运动的主因是月球的吸引力和环绕地球的运动。月球和太阳二者产生的引起最大潮汐的合力与地球重力比约为2032890∶1（论题54），小于当时最灵敏的天秤可感知重量的500倍。这些力足以驱动海洋，但“它们还不曾在我们的地球上产生任何别的可见效应”。
牛顿还相当详细地计算了各地海岸与河口的涨潮时间、高潮时间以及落潮过程，并与实际观测数据比对。牛顿指出，一般规律是，各地的涨潮时间为月球经过当地子午线后的3小时。而那些使得海潮运动推迟开始的因素，包括海底的阻碍（论题44）、海岸的阻碍（论题45）、海峡的影响（论题46和47）等。
太阳引起的潮高随着地球纬度的升高而降低（论题51），太阳在地球赤道处引起的潮比极地处约高出9英寸（论题50）。月球的影响要比太阳的影响大很多。牛顿说（论题52）：“由于潮高正比于激起它的力，而太阳的力能将潮举高9英寸，则月球的力将足以将潮举高4英尺。如果我们令这一高度加倍，或变为三倍，则在海水运动中存在的，以及使其运动推迟开始的互动力的作用下，将足以在海洋中产生我们所实际看到的任何高度的海潮。”
顺带着他还计算了太阳对月球运动的干扰力的大小：约为地球重力的1/638092.6（论题48）。他进一步推算出：月球的密度约6倍于太阳（论题55），月球与地球的密度比为3∶2，月球与地球的绝对向心力的比，也就是二者物质的量的比，为1∶29（论题56）。
《宇宙体系》的最后部分，从论题57到论题78，是牛顿宇宙体系理论中最辉煌的部分，彗星现象及其精彩的解释和轨道推算。在《原理》的第三编中，这一部分篇幅巨大，但是只分作3个定理进行讨论，其内容极为丰富庞杂。在这篇非数学的《宇宙体系》中，牛顿把基本相同的内容细分成22个论题。在论题78（确定彗星轨道）之后，他添加了5条引理和3个问题，可以看成是他的彗星理论的数学附录。
牛顿先从恒星的距离讲起。恒星的年度视差极小，表明最近的恒星比太阳到土星的距离远至少约2000倍以上（论题57）。如此遥远的恒星，它们与太阳之间不存在相互吸引问题（即小到完全可以忽略不计）。然而彗星的情况有很大不同，“彗星必定逃不出太阳的作用”，它们在月球轨道以外，但大多在木星轨道以内，无论是从其经度视差（论题58）、纬度视差（论题59）、年度视差（论题60）和发光情况（论题61）来看，都得出同样结论。
牛顿一生中有幸亲身经历多次彗星临近地球事件，他运用自己制作的望远镜，用当时最先进的千分仪进行了大量观测，并记录了大量数据；他还收集了同时代天文学家的更多的观测数据；他为了验证自己的理论，还从教会的史料中挖掘出许多有关彗星的历史记录资料。像这样运用史料记载的观测数据来论证科学理论，牛顿实际上发明了一种科学研究的新方法，可称之为宇宙考古方法。在20世纪中期，天文学家们从我国宋代天文律历志中发现了一颗客星（超新星）记录，验证了基于大爆炸宇宙学的恒星演化理论。
彗星会落入远低于木星轨道的地方，有时还低于地球轨道。牛顿确信彗星的近日点距太阳很近，他亲身经历过的1679年彗星曾可能深入到水星轨道以内（论题62）。他引证大量史料记载证明，彗尾在太阳附近会发出绚丽的光芒，论题63援引的许多记载非常生动，令人读起来兴趣盎然（在《原理》中有关内容更加丰富多彩）。
牛顿指出，彗星仅在太阳附近时才是可见的，它们在近日点亮度极大，这时如果正好它们也在距地球不远处，如与地球在太阳的同一侧，则人们会看到天空的彗星奇观。彗星是属于太阳的，这就是为什么在太阳区域内能见到大量彗星的原因。彗星其实是很小的星体，它之所以那么明亮，是因为它距离太阳十分近，甚至深入到水星轨道以内。彗星如昙花般一现即逝，表明它在极近处绕过太阳后又极速飞往木星，甚至土星轨道之外。彗星与行星无异，只是它们的轨道更加扁长而已（论题64～66）。
牛顿不满足于描述和解释彗星的现象，如彗星的亮度和出现的方位，在夜空（有时甚至是白昼）中创造的奇异景观；他还试图解说彗尾出现的原因。他认为彗尾是由于彗星大气而生成的（论题67），“彗尾现象只能由某种反光物质来解释”。由于在太空中物质极为稀薄，“最接近地球处的直径一英尺的空气球，如果稀薄到一个地球半径高度的程度，将充满整个行星区域并超出土星轨道很远；稀薄到十个地球高度处的程度时，……将充满整个天界，包括恒星在内”。因此，极小量的蒸汽即足以解释所有的彗尾现象（论题68）。这部分有关彗星尾部物质发光的推算和讨论，可谓精彩绝伦，令人叹为观止。
那么彗星上的蒸汽从何而来，为什么而来？牛顿说，彗星本身有大气，在彗星接近太阳接受较多热量时，它的大气被加热而比重变轻，从而升腾形成彗尾。简而言之，是太阳光的作用致使彗尾上升（论题69）。可见，牛顿对彗星的理解，与现代天文学并无二致。
在最后的几个论题中，牛顿终于讲到了人们期盼已久的彗星轨道的计算问题。他说，彗星沿着圆锥曲线运动，该曲线的一个焦点位于太阳中心，由彗星伸向该中心的半径掠过面积正比于时间（论题72）。这些圆锥曲线近似于抛物线，实际上是极为偏心的椭圆（论题73和74）。就这样，保持了千百年的神秘的彗星与人们已习以为常的行星的根本区别，在这里被牛顿一劳永逸地一笔勾销。牛顿特别以1680年彗星为例。该年11月出现一颗彗星，在次年1月又一颗彗星出现。根据观测记录，牛顿计算出这两颗彗星于1680年12月7日和8日位于太阳的会合点，因而是同一颗彗星，在太阳附近其轨道呈现出抛物线型（论题75和76）。它在头年11月进入地球轨道附近，因而被人们观测到，之后因为距离太阳太近而湮没在太阳的光辉中。它次年1月再次出现时已经开始远离太阳并到达地球轨道附近，之后就因为离太阳太远而消失在太空中。牛顿进一步指出（论题77），根据同一理论，1618年12月7日的彗星，与当年11月9日出现的是同一颗彗星。此外，1607年9月和10月两次出现的彗星也是同一颗；1665年3月和4月的也是同一颗；等等。
像这样成功地解释彗星运动，是有史以来第一次。牛顿理论的引力理论气势恢宏一览无余。
最后，在论题78中，以及后面附加的5条引理和3个问题中，牛顿给出了根据少数几次观测点记录推算彗星轨道的方法。从这些推导可以看出，牛顿以及当时的天文学家和数学家们在当时简陋的天文仪器帮助下，需要做多么繁杂的观察、测量、计算、画图、猜测，再修正数据，才能运用几何知识和初级微分概念、级数概念大致确定彗星（乃至所有的行星）的运动轨道，以及其他的参数。值得注意的是，在这些推导中，在众多可能有效的猜测中，牛顿指示读者说，需要用到“规则3”去筛选出真正有用的假设，这个规则3就是出自我们在前面提到的《原理》第三编开头的“哲学推理的规则”。
论题78主要向读者演示运用几何作图和求比例方法，以及微分和级数技术，求解彗星的轨道。这是牛顿十分得意的创造发明，它在这份非数学的宇宙体系中被表达得如此详尽，思路解释得如此透彻，对技巧和解题策略交待得如此明白，在《原理》中甚至都没有出现过。不过，它过于细致繁琐，不熟悉数学的读者可以略去，这无碍于理解牛顿的宇宙体系。
比较而言，《体系》中关于海洋潮汐和彗星的部分，写得不如《原理》中的精彩和引人入胜，缺乏那种波澜壮阔激动人心的宏大场景，特别是引证的资料和史料不如《原理》中那样丰富，这也足见牛顿的数学的《体系》写作晚于这篇非数学的《体系》。然而，牛顿写作这编非数学的《宇宙体系》，集中精力介绍了他的宇宙体系即太阳系的基本情况，以及维系这个巨大体系内各行星及其卫星、彗星相互间运动关系以及海洋潮汐运动的根本原因——万有引力的特性和规律。全编布局合理，从开头到结尾一步一步深入，环环相扣，结构严整，牛顿成功地用统一的引力理论和三大运动学规律解释了全部的天文现象，包括潮汐现象和彗星现象。在这个意义上，非数学的《宇宙体系》发挥的作用超过了《原理》的第三编，它独立地完成了向普通读者完整地介绍牛顿宇宙体系的任务，近似起到《原理》全书的功效。
牛顿对于宇宙体系的描绘和解释，特别是他对潮汐现象和彗星现象的解释，是他的“独门秘籍”。在他以前的一切时代，从没有人能够对这些现象中的哪怕是一种作出合乎逻辑、经得起理论推敲和实验与观测检验的解释，更不用说用如此统一的理论对宇宙中如此之多的现象作出如此完美、如此前后连贯一致的解释。这是牛顿的伟大，我们通过阅读他写下的著作体验到这种伟大。这也是理论体系的伟大。当我们在阅读中面对这样的宏大理论体系时，敬仰与叹服油然而生。许多学者，包括专门研究牛顿的学者，都发现，牛顿的著作和文稿，越读就越会发现，他实在是太了不起了，他的思维超越普通人、超越他的时代太多太远。他的思维缜密，以至于洞察到宇宙中所发生的一切。所以我们就会理解，他同时代的人们，纵然杰出如哈雷、惠更斯和莱布尼茨，都会觉得他简直就是神一样的存在。阅读这篇非数学的《体系》，我们也会产生这样的感悟。