3.7
振动与波动

简谐振动

振动是一种很普遍的运动形式，物体在某一位置附近作周期性的往复运动，叫做机械振动。例如，钟摆的来回摆动，活塞的往复运动等，都是机械振动。但是振动并不限于机械振动，自然现象中存在着各式各样的振动，从广泛的意义上说，凡是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化，都叫做振动，例如，在交流电路中，电流和电压随时间作周期性变化，在交变场中，电场和磁场的强度随时间作周期性的变化等。这些振动和机械振动虽然在性质上并不相同，但是在对它们的描述上都有着许多共同之处，机械振动的基本规律是学习和研究其他形式振动以及波动、波动光学、无线电技术等的基础，在生产技术中也有着广泛的应用。

振动的形式很多，情况大多也较为复杂。简谐振动是最简单、最基本的振动。弹簧振子就是简谐振动的典型例子，如图3.19所示。

在弹簧振子中，物体在任意位置所受的弹性力F与弹簧的伸长量即物体对于平衡位置的位移x成正比，且弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置，当物体在点 O 的右方（x>0）时，力F指向左方（F<0，）反之亦然，即

式中比例常数k为弹簧的劲度系数，它由弹簧本身的性质所决定，负号表示力与位移的方向相反，根据牛顿第二运动定律可知，物体在弹性力的作用下所获得的加速度

对于一个给定的弹簧振子，k与m都是常量，而且都是正值，所以它们的比值可用另一个常量ω的平方表示，即

把上式代入式（3.29，）有

上式说明弹簧振子的加速度a与位移x成正比，而方向相反。把具有这种特征的振动，叫做简谐振动。可见，物体仅在弹性力的作用下的振动是简谐振动。

由于加速度a=d ² xdt ² ，故上式可写成

或

上式即为简谐振动运动方程的微分形式，它的解是

式中A和φ是积分常量，它们的物理意义将在后面讨论。由上式可知，当物体作简谐振动时，位移是时间的余弦函数，所以也可以说，具有这种运动方程形式的振动叫做简谐振动。

将简谐振动方程（3.30）对时间求一阶、二阶导数，可得简谐振动物体的速度和加速度：

式（3.30），（3.31）中x-t，v-t，a-t关系如图3.20 所示。从图上可以看出，简谐振动的位移和速度都是周期性变化的，它们每隔一定的时间重复一次前面的变化情况。

振幅、周期、频率和相位等都是描述简谐振动的物理量，现在结合简谐振动方程（3.30）来说明这些量的物理意义。

（1）振幅。在简谐振动方程（3.30）中，位移 x 的绝对值最大为 A，我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移A，叫做振幅。

（2）周期。运动的周期性是振动的基本性质。我们把物体作一次完全振动所需要的时间叫做振动的周期，用T表示，通常以秒为单位。例如在图3.19中，物体自位置B经O到达C，然后再回到B，经历了一次完全振动，这过程所需要的时间，就是一个周期。如以T表示周期，物体在任意时刻t的位置和速度，应与时间t+T的位置与速度完全相同，所以有

而余弦函数是以2π为周期的，即：

对比以上两式，有

所以

对于弹簧振子，由式 ，有 ，所以弹簧振子的周期为

（3）频率和角频率。单位时间内物体所做的完全振动的次数叫做频率，用ν表示，它的单位名称为赫[兹]，符号为Hz。当物体每秒钟振动一次时，它的频率为1 Hz。显然，频率等于周期的倒数，即

有

所以ω表示物体在2π秒时间内的完全振动的次数，叫做角频率，单位是s ^-1 ，弹簧振子的频率为

由于弹簧振子的角频率 是是由表征弹簧振子性质的物理量——质量m和劲度系数k所决定的，所以周期和频率只和振动系统本身的性质有关。这种由振动系统本身的性质所决定的周期和频率，叫作固有周期和固有频率。

（4）相位和初相。由谐振动的位移和速度方程（3.30）和（3.31）可以看出，当振幅A与角频率ω一定时，振动的位移和速度都取决于一个物理量（ωt+φ，）此量（ωt+φ）叫做振动的相位。所以，当物体以一定的振幅和角频率作简谐振动时，相位不仅决定振动物体在任意时刻的位移，也决定振动物体在该时刻的速度。因此，相位是决定简谐振动物体运动状态的物理量。例如，图3.19中的弹簧振子作简谐振动时，当相位 时，x=0, v=-ωA，即物体在平衡位置处，以速度ωA向左运动。当相位 时，x=0,v=ωA，物体也是在平衡位置，但以速度ωA向右运动，可见，不同的相位反映了不同的运动状态。

常量φ是当t=0时的相位，也叫做初相位，简称初相。

振幅A和初相φ都取决于起始时刻物体的运动状态。设当t=0时，振动物体有位移x ₀ 和速度v ₀ ，把它们代入式（3.30）和（3.31，）则有

从上两式可得

初位移x ₀ 和初速度v ₀ 叫做初始条件。上述结果说明，简谐振动的振幅和初相是由初始条件决定的。

机械波

现以沿绳子传播的波为例，分析机械波的形成过程。如图3.21 所示，绳上的波是由手握绳端上下振动而引起的，这上下振动的绳端就是波源，而绳子是传播这种振动的介质。为什么绳端作机械振动时，会引起绳上各点的振动呢？因为绳上各质点之间是以弹性力相互联系着的，所以当绳的一端开始振动，在弹性力作用下，就会带动邻近的质点也振动，邻近的质点又去带动它的近邻的质点振动。这样依次带动，就把振动由近及远地传播出去，形成了波动。

一般来说，弹性介质中任意一质点离开平衡位置时，由于形变，邻近的质点将对它产生弹性力的作用，使之回到平衡位置。因此，这个质点就会在平衡位置附近振动起来。同时，这个质点也会给邻近的质点以弹性力作用，使邻近的质点也在平衡位置附近振动。这样，当弹性介质的一部分产生振动时，振动不会只局限在这一部分，而会由于介质各部分之间的弹性联系，由近及远地在介质中传播出去，形成机械波。由此可见，机械波的产生必须有具有机械振动的物体作为波源及能够传播这种机械振动的介质。

在上述情况中，绳上各点都是在竖直方向上作上下振动，而波则是沿水平方向传播的。这种振动方向和波的传播方向互相垂直的波，叫做横波。还有一种波，例如在空气中传播的声波，其振动方向和波的传播方向相同，叫做纵波，横波和纵波是波的两种形式。

下面我们以横波为例，说明波的产生及传播情况。我们设想可把绳子分成许多小部分，并把每一个小部分看成是一个质点，如图3.21所示（图中只画出16个点，）点上的箭头指向表示它们的运动方向。开始时（t=0）质点都在各自的平衡位置上，只是质点1在手的作用下，正要离开平衡位置向上运动。当质点1离开平衡位置时，由于质点间弹性力的作用，质点1就要带动质点2向上运动。同样，质点2又带动质点3向上运动。这样，每个质点的运动都将带动它右面的质点运动，于是，2,3,4，…各质点将依次先后振动起来，振动就沿绳子向右传播出去。

设波源的振动周期为T，经过 周期，即当 时时，振动传到了质点4处，质点4正要离开平衡位置向上运动，如同质点1在t=0时的运动状态一样，此时，质点2、3已经比质点4 先离开平衡位置向上运动，而质点1 已向上达到最大位移处，并将向下运动。再经过 周期，即当 时，振动传到了质点7处，质点7正要离开平衡位置向上运动，而质点1已达到平衡位置并将继续向下运动。在这段时间里，质点2、3不但先后达到最大位移，而且已经在返回平衡位置的过程中，质点4 达到最大位移，正要向下运动，质点5、6已各自向上运动了一段距离。如此振动继续传播下去，就可以得到如图3.21所示的在不同时刻各质点的运动情况。

经过一个周期，当t=T时，质点1完成了一次完全振动回到了平衡位置，又将向上运动，而质点13将开始向上运动。质点13的运动状态与质点1的相同，但在时间上落后了一个周期，此时1至13各质点间的连线是一个完整的波形，在以后的过程中，由于弹性力的作用，振动将继续向右传播，而且质点1每振动一次，即每经过一个周期，就向右传播一个具有波峰、波谷的完整的横波波形。

波源在弹性介质中振动时，振动将向各个方向传播。我们把波的传播方向叫做波线，把某一时刻波动所达到的各点连成的面，叫做波前或波阵面，波在传播时，介质中各质点都在平衡位置附近振动，我们把振动相位相同的各点连成的曲面，叫做波面。按波前的形状将波分成球面波和平面波等。在同一波线上，两个振动相位差为2π的质点之间的距离，即一个完整波的长度，叫做波长，用λ表示。

波的周期是波前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示。周期的倒数叫波的频率，用ν表示，即 ，频率也就是单位时间内波前进距离中完整波的数目。

同时，还有 的关系。

波动的数学描述——波函数

当波源是作简谐振动时，介质中各点也作简谐振动，在介质中所形成的波叫做简谐波，下面讨论在均匀介质中，沿Ox 轴正向传播的简谐波。如图3.22 所示，设原点 O 处的质点在任一时刻t的位移为

式中A是振幅，ω是角频率。若在振动的传播过程中，各点的振幅不变，则当振动沿Ox轴方向传播到Ox轴上的任意点P时，点P处的质点将以相同的振幅和频率重复点O的振动。但是，因为振动从点O以波速v传播到点P时需要x/v的时间，也就是说，点O振动了t时间，点P只振动了（t-x/v）的时间。点P在时刻t的位移等于点O在时刻（t-x/v）的位移。因此点P在任意时刻t的位移为

上式为沿Ox轴正方向传播的简谐波的表达式，称为波函数。对于沿Ox轴正方向传播的平面波，由于任意时刻在垂直于Ox轴的平面上各点的相位相同。因此，上式是平面简谐波的表达式，它含有t和x两个自变量，给出了在波动过程中任意时刻波线上任意点作简谐振动的位移。

因为 ，所以式（3.32）可以写成

或

波的干涉 衍射 多普勒效应

从总结实验现象可知，介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，任意时刻这些子波的包络就是新的波前。这也就是所谓的惠更斯原理。应用这一原理，可以由某一时刻波前的位置，用几何作图的方法，确定下一时刻波前的位置，从而确定波的传播方向。

波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向要发生改变，能够绕过障碍物的边缘继续前进，这种现象叫做波的衍射。

应用惠更斯原理，可以解释波的衍射现象。

当频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，某些地方振动始终加强，而另一些地方振动始终减弱，这一现象叫做波的干涉现象。这两列能产生干涉现象的波叫做相干波，它们的波源叫做相干波源。表示两相干波从各自的波源到达点P时所经过的路程差，叫做波程差，在波程差等于零或为波长的整数倍的空间各点，合振动的振幅最大，在波程差等于半波长的奇数倍的空间各点，合振动的振幅最小。

在以上的讨论中，波源与观察者相对介质都是静止的，观察者所接受的波的频率与波源的频率相同。如果波源或观察者或两者同时相对于介质运动时，观察者所接受到波的频率和波源的频率就不相同，这种现象叫做多普勒效应。在日常生活中我们可以感觉到，高速行驶的火车鸣笛而去时，汽笛的声调变低，即波长变长，这种现象就是声波的多普勒效应。

波长向短波方向移动，这在光学上称之为“紫移”，反之则叫“红移”。

在天文学上，往往利用特征光谱线的“红移”与“紫移”来判断发射光谱的天体是远离我们而去，还是接近我们而来。天文学上的所谓“宇宙膨胀”的理论，其实验证据之一，就是观察到河外星系谱线红移。 CQTv85gKupiFQScWl233MhRCZHsnwQGJy2rSUX2mXTGd4SbXld06DF46ae8ijW8Z