3.6
力学中的守恒定律与对称性

物理学中的守恒定律有其更深层次的内涵。所谓“守恒”即意味着“不变”，守恒定律的不变性揭示了物质运动中诸多不同物理规律共同性和统一性的一面，然而这种不变性又由更高层次的对称性法则所制约。

对称性的概念最初来源于生活、艺术、结构领域的图像中。一个物体或任意一个整体各部分之间适当的比例、平衡、协调（所产生的美感）称之为对称。1951年德国数学家魏尔提出了关于对称性的普遍的、严格的定义：如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说状态在此操作下不变，我们就说系统对这一操作是“对称”的，而这个操作叫做系统的一个对称操作。物理学中的对称性是指物理系统或物理规律对应于变换的不变性。当一小球在匀速行驶的车厢里自由下落时，对不同惯性系中的观察者运动不同，在伽利略变换下，小球运动的轨迹不同，这就是具体事物的不对称性。但是，小球运动所服从的动力学规律（牛顿定律）是具有伽利略变换不变性的，这也就是物理规律的不变性。

变换可以是多种多样的。最常见的变换是时空变换，它包括有空间的变换（如使物体在空间平移一段距离的平移变换或使物体在空间绕某一轴线旋转一定角度的旋转变换等）、时间变换（如进行时间上的平移反演等变换）以及时空的联合变换（如伽利略变换等）。

下面就力学中的三个守恒定律（动量守恒、角动量守恒、机械能守恒）分析它们与时空对称性的联系。

空间均匀性与动量守恒定律

经验告诉我们，在某处进行实验，然后平移到有相同环境的另一处做同样的实验，必然会得到完全相同的结果。例如一只运行的钟表无论把它带到哪里，通常快慢都是一样的，这表明当钟表所处的空间位置变换时，钟表内机械运动所遵循的物理规律是不变的。因此，可以表述为物理规律对于坐标平移变换即r=r′+Δr具有不变性，这就是空间均匀性的意义。

为了明确定义空间的均匀性，可以引入一个描述物体间相互作用能的函数（称势函数，）例如太阳与地球之间的函数U，它只与它们的相对位置有关而与参考点无关，假设地球的位置移动一个小量Δr。现以地球和太阳组成的系统的相互作用势能来分析，当地球移动一位移Δr时，系统的势能变化为克服太阳对地球作用力所作的功，即ΔU=f·Δr；若地球不动，而太阳沿相反方向移动位移-Δr时，系统的势能变化为ΔU′=f′·（-Δr′，）式中f′是地球对太阳的作用力。值得注意的是：上述两种情况的终态之间的区别仅在于系统整体在空间有一平移，而地球与太阳的相对位置相同，空间的均匀性意味着系统的相互作用势能只与系统内物体的相对位置有关，与系统整体在空间的平移无关，因此有ΔU=ΔU′，即f=-f′。由f=dp/dt可知，在相同时间内一物体动量的减少，必然等于另一物体的动量增加，因此对系统而言总动量保持不变，这就是动量守恒定律。

时间均匀性与能量守恒定律

时间均匀性是指时间的过去、现在和将来都没有什么特殊的地方，因此，今天如果我们重复前人做过的实验，应该得到与前人同样的结论，而且还可预言若干年后，有人做同样实验时也会得到相同的结果，这就是时间均匀性的意义。

由于在一对粒子的系统中，粒子与粒子之间的相互作用可通过相互作用的势能来表达，在一维的情况下，两粒子之间的作用力 。时间的均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子的相对位置有关，与时间无关。因此，当一粒子相对另一粒子移动Δx距离时，力所作的功为

而根据动能定理，该粒子所作的功应等于其动能的增量，即W=ΔE _k 。因此对系统来讲，总的机械能（势能和动能的总和）增量为零，即机械能守恒定律。

空间的各向同性与角动量守恒定律

空间的各方向上的物理性质都相同，称为空间各向同性。仍以一对粒子的系统为例。当一粒子沿以另一粒子为中心的圆弧移动 时，它们之间相互作用的势能改变量是 。空间各向同性意味着两粒子之间相互作用的势能只与它们之间的距离有关，与两粒子连线在空间的取向无关，上述转动不应改变它们系统的势能。因此，由ΔU=0可得相互作用力的切向分量f _切 =0，两粒子之间的相互作用力沿它们连线的方向，即r×f=0，故相对于它们的质心而言，系统的角动量守恒。

在物理定律的对称性中，对于每一种对称性都有相对应的一条守恒定律。 bZl1aHVKNWWLU9jYN7CLTHYKaOU9O98KTJOQIrXqZcgdlOvob4kTUWt0r3rO86aB