3.5
刚体的运动

在许多问题中，物体的大小和形状对运动有着重要的影响，以致不能再把物体视为质点。这时，就不得不考虑物体的大小和形状。如果在外力作用下，物体的大小和形状始终保持不变，这理想化的物体就称为刚体。

刚体可以看成是由无数个质点组成。由于刚体不会变形，刚体中任何两个质点间的距离都将保持不变，所以刚体也可以看成是一种特殊的质点组。因此，可以从质点及质点组的运动规律出发来讨论刚体的运动。

刚体的运动可分为平动与转动两种基本运动形式。当刚体中所有质点的运动轨迹都保持相同时，或者说刚体由于任意两点间的连线在运动过程中始终保持平行时，这种刚体的运动叫平动；当刚体中所有点都绕同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，这条直线叫转轴。转轴的位置和方向也可以随时间改变，当转轴固定不变时，刚体的运动称为定轴转动，下面讨论只限于刚体定轴转动的情况。

刚体定轴转动的运动学描述

机器上各种齿轮、飞轮在工作时通常是绕固定轴转动的。当转轴相对某一惯性参考系（例如地面）不发生变化，这样的运动称为刚体的定轴转动。

我们将垂直于转轴的平面称为转动平面，在定轴转动的过程中，刚体上所有的质点都在各自的转动平面上绕轴作圆周运动。根据3.1 节，质点在作圆周运动时，可用角量来描述。如图3.16 所示，以Ox为参考方向，刚体上任一点A的位置可用它的转动平面内的角位置θ惟一确定，由于刚体的形状、大小不变，转轴又是固定的，那么A的位置一旦确定，刚体上各点的位置也都确定，从而整个刚体的空间位置亦确定。可见，描述刚体的定轴转动位置，只要一个参量θ。并且刚体上各点在同样时间间隔内应转过相同的角度，即刚体各点有相同的角位移、角速度和角加速度。所以，我们有理由把刚体上任一点的角位移、角速度和角加速度称为定轴转动刚体的角位移、角速度和角加速度，在3.1节中有关质点圆周运动的各种角量公式，对刚体定轴转动完全适用。

经验告诉我们，物体转动状态的变化不是简单地取决于作用力，而是取决于力矩。如图3.17，一个力对轴的力矩M等于这个力在转动平面上的分力F ₁ 和F ₁ 与轴之间的垂直距离d（称为力臂）的乘积，即 其矢量式为

若刚体不受外力矩作用（M=0，）刚体保持原有的转动状态不变（静止或匀速转动，）这表明刚体有保持它原有转动状态不变的特性，即刚体的转动惯性。在定轴转动中，转动惯性大小可用物理量J来表示，称之为转动惯量，它不仅与刚体的质量有关，也与质量的分布和转轴的位置有关。

实验表明，定轴转动时刚体的角加速度β与刚体所受的合力矩M成正比，与刚体的转动惯量J成反比，即

这就是刚体定轴转动定律与质点运动时，牛顿第二定律的表达式F=ma形式上的相似。M与F对应，β与a对应，转动惯量J与描述物体平动惯性的质量m对应。转动惯量J在式（3.23）中所处的位置又一次表明它是刚体绕轴转动惯性大小的量度。

如果把刚体视为特殊的质点组，并应用牛顿定律来讨论每个质点，从理论上也可推出上述结果，在此不作详细介绍。

转动定律是一瞬时表达式，当外力矩是变力矩时，直接应用转动定律来解决转动的动力学总是比较困难。此时可采用质点动力学中相类似的方法，讨论力矩的空间和时间的累积作用，从而得到相应的转动的功能定理和转动的角动量定理。

定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

讨论一个绕定轴转动的刚体。因为刚体对轴的转动惯量J是常量，所以刚体定轴转动的转动定律可以变换为如下形式：

即刚体所受的外力矩，等于刚体的角动量对时间的变化率。式（3.23）还可写成

将上式积分，得刚体定轴转动的角动量定理：

式（3.24）中的积分式 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累，称为在时间t ₀ 到t的冲量矩，Jω与Jω ₀ 分别表示时间t和t ₀ 时的角动量，并记作L和L ₀ 。定轴转动的角动量定理表明作用于刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。

导出式（3.24）时，只讨论了一个绕定轴转动的刚体。如果是若干个刚体组成的系统绕同一定轴转动，可以从理论上证明式（3.24）所表示的动量矩定理同样成立。不过，这时L ₀ 和L应分别理解为转动系统在t ₀ 时刻（即初状态）和t时刻的总角动量。这样，式（3.24）就是刚体系统的角动量定理，这个定理与质点组的动量定理很相似，它把一个过程的冲量矩（过程量）与该过程始末状态的动量矩（状态量）相联系。

如果式（3.24）中，转动系统所受的合外力矩等于零即M=0，则在t ₀ 到t这段时间所经历的过程中，转动系统总的角动量始终保持不变，即L=L ₀ ，这就是定轴转动的角动量守恒定律。需要再次强调的是，在这里已经不是讨论一个刚体绕定轴转动的情况，而是一个绕固定轴转动的转动系统，因而，L ₀ 和L都是指的这个系统的总角动量。

在日常生活中，利用角动量守恒定律的例子是很多的。例如舞蹈演员、滑冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂收回靠拢身体，这样做会造成自己的转动惯量迅速减小，因而旋转速度加快。

无数实验证实，角动量守恒定律与动量守恒定律和能量守恒定律一样，也是自然界的一条普遍规律，在宇观的研究中，天文家应用角动量守恒来研究天体的演化。在微观领域内，原子、电子和原子核等的运动都有角动量。例如电子有绕原子核运动的角动量，还有自旋角动量等，分子、原子的特征状态常常以角动量作为标记。基本粒子的自旋角动量都有确定的数值，它同粒子的质量、电荷一样，表征着粒子的基本属性。

力矩作功与定轴转动中的动能定理

质点在外力作用下发生位移时，我们说力对质点作了功。当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，我们就说力矩对刚体作了功。这是力矩的空间累积作用。

如图3.18所示，设刚体在切向力F _t 作用下，绕转轴OO′转过的角位移为dθ。这时力F _t 的作用点位移的大小为ds=rdθ。根据功的定义，力F _t 在这段位移内所作的功为

由于力F _t 对转轴的力矩M=F _t r，所以

上式表明，力矩所作的元功dW等于力矩M与角位移dθ的乘积。

如果力矩的大小和方向都不变，则当刚体在此力矩作用下转过角θ时，力矩所作功为

即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度θ的乘积。

如果作用在绕定轴转动的刚体上的力矩大小是变化的，那么，变力矩所作的功则为

应当指出，式（3.25）和（3.26）中的M是作用在绕定轴转动刚体上诸外力的合力矩。故上述两式应理解为合外力矩对刚体所作的功。

同样与质点运动中功率的定义相似，我们用单位时间内力矩对刚体所作的功来表示力矩作功的快慢，并把它叫做力矩的功率。用P表示。

设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，在时间dt内转过dθ角，则力矩的功率为

即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转速越高，力矩越小。

设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过角位移为dθ，合力矩对刚体所作的元功为

由转动定律 ，上式亦可写成

若J为常量，在t时间内，由合外力矩对刚体作功，使得刚体的角速率从ω ₀ 变到ω，那么，合外力刚体所作的功为

即

上式表明，合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。这就是刚体绕定轴转动的动能定理。

为了便于理解刚体绕定轴转动的规律性，必须注意刚体定轴转动与质点运动在规律形式和研究方法上的类比。它们的一些重要的物理量和重要公式的类比见表3.1。