3.2
质点动力学

牛顿运动定律已在前面作过一些叙述，下面我们再把这三条定律的意义，有关概念以及如何应用它来解题分别作些说明。

牛顿第一定律

第一定律指明任一物体不受到外力（即其他物体对它所作用的力）时，将保持静止或匀速直线运动的状态。物体保持这种运动状态的特性，称为惯性，所以第一定律又称为惯性定律。

同时，第一定律也确定了力的涵义。物体所受的力是外界对该物体所施加的一种作用，使物体的静止或匀速直线运动的状态改变，也就是使物体获得加速度。

我国战国时期的《墨经》中曾写道：“力，形之所以奋也。”这里，“形”就是我们所说的“物体”，“奋”就是“由不动变为动”的意思。可见在两千年以前，我们的先辈已对力的意义有了明确的认识。在西欧，第一定律尚未建立以前，许多人误认为力是维持速度的原因，误认为物体不受力，就要失去速度而归于静止。伽利略在这类问题上，进行了实验，经过反复推敲，终于说明了力并不是维持速度的原因，而是改变速度的原因。

实际上牛顿第一定律是间接验证的，因为任一物体是不可能完全不受外力作用的。例如一个物体在粗糙水平面上滑动，因为物体受到摩擦阻力的作用，滑过一段路程后将完全停止下来。如果这物体以同样的初速度在一个较为光滑的水平面上滑动，由于受到的摩擦阻力要小一些，那么它将滑得远一些才停止下来，由此可以外推地设想，如果这物体在一理想的绝对光滑的水平面上滑动，那么由于物体不再受到使它减速的摩擦阻力的影响，物体也就保持其初速度不变而匀速运动下去。当物体受到两个或两个以上的外力作用时，如果外力的作用彼此抵消，亦即当物体处于力的平衡中，物体将与不受外力一样，保持静止或匀速直线运动状态；如果这些力的作用并不完全抵消，物体将在合力的作用下改变速度。在力学中常见的力有：万有引力、弹性力和摩擦力。

牛顿第二定律

在第一定律的基础上，第二定律对物体机械运动的规律，作了定量的陈述，引入了“力”和“质量”这两个重要的物理量，并确定了力f、质量m和加速度a之间的关系：

式中比例系数k决定于力、质量和加速度的单位。采用国际单位制（SI制）时k=1，于是上式有

式中质量的单位为千克（kg，）加速度的单位为米·秒 ^-2 （m·s ^-2 ，）力的单位为牛[顿] (N)。1N就是作用于质量为1 kg的物体使其获得1m·s ^-2 的加速度的力。

式（3.7）是牛顿第二定律的数学表达式，这是质点动力学的基本方程。如果知道物体所受的外力以及物体的初始条件（即t=0 时，物体的位置和速度，）那么受力物体在任何时刻的位置和速度就可以确定。所以这一方程也称为牛顿运动方程。

第二定律概括了下述基本内容：

首先，第二定律说明了任一物体在不同外力作用下，物体的加速度与外力之间的同时性和正比性关系。

其次，第二定律说明了任一物体在相等的外力作用下，物体加速度与物体质量之间的反比关系。这里，先要说明质量的意义。要知道，物体的惯性还表现受到外力作用时是否容易改变速度这一事实上。譬如说，在相等的外力f作用下，某一物体的加速度a ₁ 较大（因为容易改变速度，）另一物体的加速度a ₂ 较小（因为不容易改变速度，）我们就说前一物体的惯性较小，后一物体的惯性较大。物体的质量就是物体惯性大小的量度。

其三，第二定律概括了力的独立性（或叠加性。）实验证明，如果几个力同时作用在一个物体上，那么所产生的加速度等于一个单力所产生的加速度，这个单力等于这几个力的矢量和。由此可以看出：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度，应等于每个力单独作用时所产生的加速度的叠加（矢量加法，）这称为力的独立性原理或力的叠加原理。运动叠加原理和力的叠加原理实质上是一致的。由于力的矢量性，我们可把式（3.7）写成

由此可见，式（3.6）和式（3.7）中的f应理解为物体所受的合力 。

应用第二定律时，应注意下述几点：

（1）第二定律是说明瞬时关系的，a表示瞬时加速度，f表示瞬时力。力改变时，加速度也同时随着改变。力和加速度同时存在，同时改变，同时消失。加速度只在有力作用时产生，当力变为零时，加速度相应地变为零。

（2）公式（3.7）是矢量式。实际应用时，常用正交坐标系中各轴线方向上的分量式

或

应用上述分量式时，应注意各分量（力和加速度的分量）的正负决定于坐标轴的取向。

有时也常根据圆周轨道或曲线轨道的自然情况采用法向分量式和切向分量式来分析和求解力学问题：

式中f _n 和f _t 分别代表法向合力和切向合力。

(3) f是物体所受的一切外力的合力，但不能把ma误认为外力。例如：质量为m的物体，在水平桌面上运动（图3.7。）物体在竖直方向所受的外力有重力P和桌面对物体的向上正压力N，P和N相平衡，所以在竖直方向物体没有加速度。物体在水平方向上所受到的外力有水平拉力f和摩擦力f _r 。水平方向的合力为f+f _r ，其大小为f-f _r 。按第二定律，得f-f _r =ma，式中a就是f-f _r 所产生的加速度。ma虽在量值上等于f与f _r 两力之差，但不能认为是沿水平方向施予物体的第三个外力。

（4）演算力学问题时，一般要作简图，画出物体所受的各个力。问题中如有几个物体相互接触，或用绳子连接，应将各个物体分开画出，然后画出每个物体所受的各个力。这种图称为隔离体图或示力图。应用示力图可以帮助我们把物体间的作用力与反作用力分辨清楚。选择恰当的坐标系之后，也可以比较方便地按牛顿第二定律列出各物体的运动方程，步骤也比较清楚。图3.7（b）所画的就是（a）图中物体m的示力图。

牛顿第三定律

第三定律说明物体间的作用力具有相互作用的本质：力是成对地出现的，作用力和反作用力同时存在，同时消失；当作用力和反作用力存在的时候，不论哪一时刻，一定在同一条直线上，而且大小相等，方向相反。必须特别注意，作用力和反作用力是分别作用在不同物体上的，一个物体所受的作用力决不能和这个力的反作用力互相抵消。B物体受到A物体的作用力时，可获得加速度；同时A物体也受到B物体的反作用力，也可获得加速度。

还应该注意，作用力和反作用力一定属于同一性质的力，如果作用力是万有引力或弹性力或摩擦力，那么反作用力也相应地是万有引力或弹性力或摩擦力。

现在用一简单实例具体说明作用力与反作用力的关系。参看图3.8，一重物悬在绳子的下端，绳子竖直，物体保持静止。这时重物受到两个力：一为绳的向上拉力T，一为地球作用于重物的向下引力P。因为物体处于平衡状态，可知T+P=0，T=-P。T和P虽然是大小相等、方向相反的两个力，但必须注意不能错误地认为它们是一对作用力和反作用力。应该认识到T是绳子拉重物向上的力（作用在重物上），T的反作用力是重物拉绳子向下的力T′（作用在绳子上）；T和T′在同一竖直线上，大小相等、方向相反，且同是弹性力（张力）。P 为地球吸引物体的力（作用在重物上，）方向向下，P的反作用力为物体吸引地球的力P′（作用于地心，）方向向上。P 和 P′大小相等，且同是万有引力。

牛顿的三条运动定律之间有着紧密联系。第一定律和第二定律分别定性地和定量地说明了一物体的机械运动状态的变化与其他物体对这物体的作用力之间的关系。第三定律说明引起物体机械运动状态变化的物体间的作用力具有相互作用的性质，并指出相互作用力之间的定量关系。第二定律侧重说明一个特定物体，第三定律侧重说明物体之间相互联系和相互制约的关系。 aj+1NheM28gXgQOZ0O7KZMNtoEIyoZM6uIf5VipY63H/Jmy5Ra8ix44rgk+G8gC+