3.1
质点运动学

在物质的多种多样的运动形式中，最简单而又最基本的运动是物体位置的变化，称为机械运动，行星绕太阳的转动，宇宙飞船的航行，机器的运转，水、空气等流体的流动等都是机械运动，它们都遵从一定的客观规律，力学的研究对象就是机械运动的客观规律及其应用。

描述机械运动，常用位移、速度、加速度等物理量，研究物体在位置变动时的轨道以及研究位移、速度、加速度等物理量随时间而变化的关系，但不涉及引起变化的原因，称为运动学。至于物体间的相互作用对物体运动的影响，则属于动力学的研究范围。本节研究质点的运动学。

参考系和坐标系

我们知道，要描写一个物体的运动，总得选择另一个运动物体或几个虽在运动而相互间相对静止的物体作为参考，然后研究这物体相对于这些参考物体是如何运动的。被选作参考的物体称为参考系。

在运动学中，参考系的选择可以是任意的，主要看问题的性质和研究的方便。例如要研究物体在地面上的运动，最方便的是选择地球作为参考系。一个星际火箭刚发射时，主要研究它相对于地面的运动，所以就把地面选作参考系，但是当火箭进入绕太阳运行的轨道时，为研究方便起见，我们就要把太阳选作参考系。

同一物体的运动，由于我们所选参考系不同，对物体运动的描述就会不同，例如在匀速前进的车厢中的自由落体，相对于车厢，是作直线运动；相对于地面，却是抛物线运动；相对于太阳或其他天体，运动的描述更为复杂。这一事实，称为运动描述的相对性。实际上这个事实本身也正是表明对同一物体运动从不同运动状态的参考系的不同描述中去进行研究，才能更全面更深刻地认识物体运动的客观规律。总的说来，在自然界中，无论从机械运动来看，还是从其他运动形式来看，一切物质都处于永恒不息的运动之中，运动和物质是不可分割的。运动是物质存在的形式，物质的各种运动形式都有其特殊的规律，物质运动存在于人类意识之外，这便是所谓运动本身的绝对性，因此，在认识运动描述的相对性的同时，还必须认识运动本身的绝对性。

为了从数量上确定物体相对于参考系的位置，需要在参考系上选用一个固定的坐标系。一般在参考系上选定一点作为坐标系的原点，取通过原点并附标度的线作为坐标轴。常用的一种坐标系包括一个原点和三条相互垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴，）这种坐标系称为直角坐标系或正交坐标系。根据需要，我们也可选用其他的坐标系，例如极坐标系、球面坐标系或圆柱面坐标系等来研究物体的运动。

质点

任何物体都有一定的大小或形状。物体运动时，内部各点的位置变化可以各不相同。因此要确切描写物体的运动并不是一件简单的事。为使问题简化，我们可以采用抽象的方法：如果物体的线度和形状在所研究的现象中不起作用，或所起的作用可以忽略不计，我们就可近似地把物体看作是一个没有大小和形状的理想物体，称为质点。

例如，研究地球绕太阳的公转，由于地球的直径较之公转运动的轨道直径要小得多，因此地球上的各点相对于太阳的运动基本上是可视为是相同的，也就是说，可以忽略地球的线度和形状，把地球当作一个质点。但是研究地球的自转时，如果仍然把地球看作一个质点，显然就没有实际意义了。由此可知，一个物体是否可抽象为一个质点，应根据问题的性质而定。

质点运动是研究物体运动的基础。当我们进一步研究物体的运动时，常把整个物体看作由无数个质点组成，分析这些质点的运动，就可能弄清楚整个物体的运动。

时间和时刻

任何物质运动都是在时间和空间中进行的，运动不能脱离空间，也不能脱离时间。时间本身具有单方向性的特点。“光阴一去不复返”这句话，正是说明了时间的单方向性。

运动学中，除时间外，还经常用到时刻的概念。在一定的参考系中考察质点的运动时，与质点所在某一位置相对应的为某一时刻，与质点所走某一段路程相对应的为某一段时间。例如，火车从北京开出的瞬间，表示某一时刻；火车从北京开到上海，需经历一段时间。又例如钟表上指针指的某一位置表示时刻，两个不同位置表示两个不同的时刻，而两个时刻的间隔就表示一段时间。

位置矢量

为了描述运动质点的确切位置，必须在选定的参考系上建立坐标系，如图3.1所示。质点P在直角坐标系中的位置可由该点的三个坐标x，y，z来确定，或者用从原点O到P点的有向线段 来表示，将此有向线段记作r，称为位置矢量，也叫径矢。相应地，坐标x，y，z也就是径矢r的沿坐标轴的三个分量。

径矢r的大小

径矢的方向余弦是

运动方程

质点的机械运动是质点的空间位置随时间而变化的过程。这时，质点的坐标x，y，z和径矢r都是时间t的函数。表示运动过程的函数式称为运动方程，可以写作

或

当质点在选定在x轴和y轴组成的平面内运动时，则运动方程可简化为两个函数式：

另一函数式z=0通常不再写出，知道了运动方程，就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动。力学的主要任务之一，正是根据各种力学问题的具体条件，求解质点的运动方程。

运动质点在空间所经过的具体路径称为轨道。质点的运动轨道为直线时，称为直线运动。质点的运动轨道为曲线时，称为曲线运动。轨道的数学表达可采用式（3.1）的参数方程，也可将式中参数t消去以后，得到轨道方程。

由上可知，运动方程表明r与t的函数关系，而轨道方程则只是位置坐标x，y，z之间的关系式，两者是不同的。例如，设已知某质点的运动方程为

从x，y两式中消去t后，得轨道方程

以上两式表示质点在z=0的平面内，作以原点为中心、半径为3的圆周运动。

位移

设曲线AB是质点轨道的一部分（图3.2。）在时刻t，质点在A点处，而在另一时刻t+Δt，质点到达B点处。A、B两点的位置分别用径矢r _A 和r _B 来表示。在时间Δt内，质点位置的变化可用A到B的有向线段 来表示，称为质点的位移，位移 除了表明B点与A点的距离外，还表明B点相对于A点的方位。

位移是矢量，是按三角形法则或平行四边形法则来合成的。譬如说，质点从A点移到B点，又从B点移到C点（图3.3，）那么质点在C点处对A点的位移显然是 。AC是三角形ABC的一边，也是平行四边形ABCD的对角线，位移相加可用矢量式表示： 。

从图3.2中可以看出，位移 和径矢 之间的关系为

或

上式说明，位移 等于径矢r _A 和r _B 的矢量差，而矢量差r _B -r _A 也就是径矢r在Δt时间内的增量，所以用Δr来表示。

必须注意，位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程。例如在图3.2中，位移是有向线段 ，是矢量，它的量值 即割线AB的长度，而路程是标量，即曲线AB的长度，可记作Δs。Δs和 并不相等。显然，只有在时间Δt趋近于零时，Δs和 方可视为相等。即使在直线运动中，位移和路程也是截然不同的两个概念。例如一质点沿直线从A点到B点又折回A点，显然路程等于A、B之间距离的两倍，而位移却为零。

位置矢量和位移在量值上都表示为长度，常用的单位为米（m）、千米（km）和厘米（cm）。

速度

研究质点的运动，不仅要知道质点的位移，亦要知道运动的快慢程度。若质点在t时刻位于A点，t+Δt时刻位于B点，则定义质点在这段时间内的平均速度：

这就是说，平均速度的方向与位移的方向相同，平均速度的大小与在相应时间Δt内单位时间的位移大小相同。

平均速度 只是粗略地描述质点在一段时间内运动的特点，然而在研究质点运动时，更重要的还要知道质点在某一时刻的运动状态，为此取时间趋近于零时平均速度的极限值，作为时刻t运动状态的描述，这个极限值称为时刻t的瞬时速度 v（简称速度，）即

加速度

在一般的运动中，质点的速度是随时间变化的，为了反映质点速度变化的快慢程度引入加速度的概念，仿照前面的讨论，可定义平均加速度：

定义瞬时加速度：

加速度是速度随时间的变化率，我们先讨论直线运动，若为匀速直线运动时，其运动方程为

其中，x ₀ 为t=0时的位置，x为t时刻的位置。

若为匀加速直线运动，则有

式中x ₀ 为t=0时的位置，即初始位置；v ₀ 为t=0时的速度，即初速度；a为加速度。

若向上抛出一物体则初速度v ₀ 不为零，而且方向是向上，而重力加速度方向则是向下，在计算此类问题时，应首先确定坐标的方向，若竖直向上为正方向，则g就为负值，再选取抛出物体处为坐标原点，则有

也可选取地面为坐标零点，则初始的y ₀ 值就不为零了，相应的关系读者可以自己推算一下。

运动叠加原理

运动的叠加性也是运动的一个重要特性。先举例说明这一特性。如图3.4所示，A、B为两个小球，在同一时刻，从同一高度，使 A 球自由落下，B 球向水平方向射出。我们将看到，虽然A、B两球运动的轨道不同，一个是直线，另一个是抛物线，但是两球总是在同一时刻落到地上。这一实验事实说明，在同一时间内，A、B两球在竖直方向上的运动距离总是相同的。B球除了竖直方向的运动外，同时还有水平方向的运动，但水平方向的运动对于竖直方向的运动没有丝毫影响，反之亦然。由此可见，抛体的运动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。

根据类似的无数的客观事实，可得到这样一个结论：一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成。这个结论称为运动的叠加原理。

抛体运动

现在应用运动的叠加原理，分析竖直平面内抛体的运动。

如图3.5所示，一物体自某点O以初速v ₀ 抛出。取O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设v ₀ 与x轴所成的抛射角为θ ₀ ，那么物体的初速在水平和竖直方向的分量分别为

如果不考虑空气阻力和风速、风向等影响，那么物体在水平方向的运动是匀速直线运动，而在竖直方向的运动是匀加速度直线运动，重力加速度g的方向向下。因此，设抛出的时刻为零，根据匀速和匀加速直线运动方程，可知物体在时刻t的速度分量分别为

而坐标分别为

按照运动叠加原理，抛体运动便是由这两个方向的分运动叠加而成的。

从式（3.3）中消去t可得抛体的轨道方程：

设抛体从地面上一点抛出，最后又落到地面上同一高度的另一点。因为终点和起点同高，因此令y=0，即可求得飞行的总时间

t=0表示物体在起点的时刻。如果要求出射程r，即水平距离，只要将飞行总时间t代入式（3.3）内，就解得

从上式不难看出，在一定初速下，要使射程为最大，应令抛射角 ，这时最大射程为

如果要求出物体到达最高点所需的时间t _H ，应注意到物体在最高点时，速度的竖直分量为零。在式（3.2）中令v _y =0，得

即飞行总时间的一半。将t _H 代入式（3.3）内，可得最高点的高度

从上式不难看出，在一定初速下，要使高度最大，应令 ，这时最大的高度为

以上各式是弹道学的基本公式。在这基础上，如果考虑空气阻力、风速、风向等影响并加以校正，就能得到炮弹等抛体运动的正确轨道。

曲线运动中的切向加速度和法向加速度

质点在平面内运动的轨道是曲线时，通常采用运动的坐标系——自然坐标系加以分析。该坐标系虽然仍是平面直角坐标，但坐标的位置和取向随运动而改变。坐标原点选在运动的质点上，两坐标轴分别取为该点处曲线的切线方向（以t表示）和法线方向（以n表示，）质点t时刻在曲线上的A点，速度为v _A ，t+Δt时刻在B点速度为v _B ，由于速度增量Δv与v大小变化和方向变化都有关。现我们讨论其在两个特定方向即切向和法向上的变化，当Δt➝0时，则可求得质点t时刻在A点的法向加速度a _n 和切向加速度a _t ，根据计算

v为A点的速率，ρ为A点处的曲率半径，a _n 是描述速度方向的变化率，a _t 是描述速度大小的变化率。质点作匀速圆周运动时，ρ=R，所以 （为向心加速度），a _t =0。

圆周运动的角量描述

质点作圆周运动时，除了用前面讨论的位置矢量、位移、速度、加速度等物理量（统称线量）描述外，还可采用角位置、角位移、角速度和角加速度等物理量（统称角量）的方式来描述。

如图3.6所示，质点在作圆周运动，即质点在确定平面内绕圆心O的转动。质点在t时刻位于点A的位置，它可由半径OA与过圆心O的参考线Ox的夹角θ惟一地确定。角θ称为角位置，它是时间t的函数，即θ=θ（t，）称为质点作圆周运动时以角量描述的运动方程。

与前面讨论质点运动时引入速度和加速度概念相似，同样可引入角速度来反映质点作圆周运动时转动的快慢，即角速度ω=dθ/dt，以及引入角加速度来反映转动中角速度变化的快慢，即角加速度β=dω/dt=d ² θ/dt ² 。

既然可采用角量和线量两种不同方法描述同样的圆周运动，这表明角量与线量之间必定存在着联系。如图3.6所示，在Δt时间内质点的角位移为Δθ，相应地，质点在圆轨道上所经历的路程 ，由几何关系可知Δs=RΔθ，因此有

质点作圆周运动的这种角量描述方法，在以后讨论物体作定轴转动中有着重要意义。 igP0IPV7iaVCqnzVfOZRmRN4ufHLHia8wauoBrouAWWrT+NrdDKJDFVjIK7m6bc4