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相对论和空间与时间的理论有密切的联系。我们习惯上的空间与时间概念和我们经验的特性又是怎样联系着的呢？我们的概念和概念体系，之所以能得到承认，其唯一理由就是它们是适合于表示我们的经验的复合；除此以外，它们并无别的关于理性的根据。在日常生活中确定物体相对位置时，地壳处在如此主要的地位，由此而形成的抽象的空间概念，当然是不能为之辩护的。为了使我们自己免于这项极严重的错误，我们将只提到“参照物体”或“参照空间”。以后会看到，只是由于广义相对论才使得这些概念的精细推究成为必要。我们提出问题：除掉曾经用过的笛卡儿坐标之外，是否还有其他等效的坐标？
相对论和空间与时间的理论有密切的联系。因此我要在开始的时候先简单扼要地考究一下我们的空间与时间概念的起源，虽然我知道这样做是在提出一个引起争论的问题。一切科学，不论自然科学还是心理学，其目的都在于使我们的经验互相协调并将它们纳入逻辑体系。我们习惯上的空间与时间概念和我们经验的特性又是怎样联系着的呢？
我们看来，个人的经验是排成了序列的事件；我们所记得的各个事件在这个序列里看来是按照“早”和“迟”的标准排列的，而对于这个标准则不能再作进一步的分析了。所以，对于个人来说，就存在着“我”的时间，也就是主观的时间，其本身是不可测度的。其实我可以用数去和事件如此联系起来，使较迟的事件和较早的事件相比，对应于较大的数；然而这种联系的性质却可以是十分随意的。将一只时计所指出的事件顺序和既定事件序列的顺序相比较，我就能用这只时计来确定这样联系的意义。我们将时计理解为供给一连串可以计数的事件的东西，它并且还具有一些我们以后会说到的其他性质。
各人在一定的程度上能用语言来比较彼此的经验。于是就出现各个人的某些感觉是彼此一致的，而对于另一些感觉，却不能建立起这样的一致性。我们惯于把各人共同的因而多少是非个人特有的感觉当做真实的感觉。自然科学，特别是其中最基本的物理学，就是研究这样的感觉。物理物体的概念，尤其是刚体的概念，便是这类感觉的一种相对恒定的复合。在同样的意义下，一个时计也是一个物体或体系，它还具有一个附加的性质，就是它所计数的一连串事件是由都可以当做相等的元素构成的。
◀《引力和电的统一场论》的手稿。
我们的概念和概念体系之所以能得到承认，其唯一理由就是它们是适合于表示我们的经验的复合；除此以外，它们并无别的关于理性的根据。我深信哲学家
曾对科学思想的进展起过一种有害的影响，在于他们把某些基本概念从经验论的领域里（在那里它们是受人们制约的）取出来，提到先天论的不可捉摸的顶峰。因为即使看起来观念世界不能借助于逻辑方法从经验推导出来，但就一定的意义而言，却是人类理智的创造，没有人类的理智便无科学可言；尽管如此，这个观念世界之依赖于我们经验的性质，就像衣裳之依赖于人体的形状一样。这对于我们的时间与空间的概念是特别确实的；迫于事实，为了整理这些概念并使它们适于合用的条件，物理学家只好使它们从先天论的奥林帕斯山（Olympus）
落到人间的实地上来。
现在谈谈我们对于空间的概念和判断。这里主要的也在于密切注意经验对于概念的关系。在我看来，庞加莱（Poincaré）在他的《科学与假设》（ La Science et l’Hypothese ）一书中所作的论述是认识了真理的。在我们所能感觉到的一切刚体变化中间，那些能被我们身体任意的运动抵消的变化是以其简单性为标志的；庞加莱称之为位置的变化。凭简单的位置变化能使两个物体相接触。在几何学里有根本意义的全等定理便和处理这类位置变化的定律有关。下面的讨论看来对于空间概念是重要的。将物体B,C,…，附加到物体A上能够形成新的物体；就说我们 延伸 物体A。我们能延伸物体A，使之与任何其他物体X相接触。物体A的所有延伸的总体可称为“物体A的空间”。于是，说一切物体都在“（随意选择的）物体A的空间”里，是正确的。在这个意义下我们不能抽象地谈论空间，而只能说“属于物体A的空间”。在日常生活中确定物体相对位置时，地壳处在如此主要的地位，由此而形成的抽象的空间概念，当然是不能为之辩护的。为了使我们自己免于这项极严重的错误，我们将只提到“参照物体”或“参照空间”。以后会看到，只是由于广义相对论才使得这些概念的精细推究成为必要。
我不打算详细考究参照空间的某些性质，这些性质导致我们将点设想为空间的元素，将空间设想为连续区域。我也不企图进一步分析一些表明连续点列或线的概念为合理的空间性质。如果假定了这些概念以及它们和经验的固体的关系，那就容易说出空间的三维性是指什么而言；对于每个点，可以使它与三个数x 1 ,x 2 ,x 3 （坐标）相联系，办法是要使这种联系成为唯一地相互的，而且当这个点描画一个连续的点系列（一条线）时，它们就作连续的变化。
在相对论之前的物理学里，假定理想刚体位形的定律是符合于欧几里得几何学的。这个意义可以表示如下：标志在刚体上的两点构成一个 间隔 。这样的间隔可取多种方向和我们的参照空间处于相对的静止。如果现在能用坐标x 1 ,x 2 ,x 3 表示这个空间里的点，使得间隔两端的坐标差Δx 1 ,Δx 2 ,Δx 3 ，对于间隔所取的每种方向，都有相同的平方和，则这样的参照空间称为欧几里得空间，而这样的坐标便称为笛卡儿坐标。 [1] 其实，就以把间隔推到无限小的极限而论，作这样的假定就够了。还有些不很特殊的假设包含在这个假设里；由于这些假设具有根本的意义，必须唤起注意。首先，假设了可以随意移动理想刚体。其次，假设了理想刚体对于取向所表现的行为与物体的材料以及其位置的改变无关，这意味着只要能使两个间隔重合，则随时随处都能使它们重合。对于几何学，特别是对于物理量度有根本重要性的这两个假设，自然是由经验得来的；在广义相对论里，需假定这两个假设只对于那些和天文的尺度相比是无限小的物体与参照空间才是有效的。
量s称为间隔的长度。为了能唯一地确定这样的量，需要随意地规定一个指定间隔的长度；例如，令它等于 1（长度单位）。于是就可以确定所有其他间隔的长度。如果使x ν 线性地依赖于参量λ，便得到一条线，它具有欧几里得几何学里直线的一切性质。举个特例，容易推知：将间隔s沿直线相继平放n次，就获得长度为n·s的间隔。所以长度所指的是使用单位量杆沿直线量度的结果。下面会看出：它就像直线一样，具有和坐标系无关的意义。
x ν =a ν + λb ν
现在考虑这样一种思路，它在狭义相对论和在广义相对论里处在相类似的地位。我们提出问题：除掉曾经用过的笛卡儿坐标之外，是否还有其他等效的坐标？间隔具有和坐标选择无关的物理意义；于是从我们的参照空间里任一点作出相等的间隔，则所有间隔端点的轨迹为一球面，这个球面也同样具有和坐标选择无关的物理意义。如果x ν 和x ν ′（ν从1 到3）都是参照空间的笛卡儿坐标，则按两个坐标系表示球面的方程将为
必须怎样用x ν 表示x ν ′，才能使方程（2）与（2a）彼此等效呢？关于将x ν ′表作x ν 的函数，根据泰勒（Taylor）定理，对于微小的Δx ν 的值，可以写出
如果将（2a）代入这个方程并和（1）比较，便看出x ν ′必须是x ν 的线性函数。因此，如果令
而
则方程（2）与（2a）的等效性可表示成下列形式：
所以由此知道λ必定是常数。如果令λ =1,（2b）与（3a）便供给条件。
其中按照a=β或a≠β有δ
aβ
=1 或δ
aβ
=0。条件（4）称为正交条件，而变换（3），（4）称为线性正交变换。如果要求 s
2
在每个坐标系里都等于长度的平方，并且总用同一单位标尺来量度，则λ须等于1。因此线性正交变换是我们能用来从参照空间里一个笛卡儿坐标系变到另一个的唯一的变换。我们看到，在应用这样的变换时，直线方程仍化为直线方程。将方程（3a）两边乘以b
νβ
并对于所有的ν求和，便逆演而得
同样的系数b 也决定着Δx ν 的反代换。在几何意义上，b νa 是 x ν ′轴与x a 轴间夹角的余弦。
总之，可以说在欧几里得几何学里（在既定的参照空间里）存在优先使用的坐标系，即笛卡儿系，它们彼此用线性正交变换来作变换。参照空间里两点间用量杆测得的距离s，以这种坐标来表示就特别简单。全部几何学可以建立在这个距离概念的基础上。在目前的论述里，几何学和实在的东西（刚体）有联系，它的定理是关于这些东西的行为的陈述，可以证明这类陈述是正确的还是错误的。
人们寻常习惯于离开几何概念与经验间的任何关系来研究几何学。将纯粹逻辑性的而且与在原则上不完全的经验无关的东西分离出来是有好处的。这样能使纯粹的数学家满意。如果他能从公理正确地即没有逻辑错误地推导出他的定理，他就满足了。至于欧几里得几何学究竟是否真确的问题，他是不关心的。但是按我们的目的，就必须将几何学的基本概念和自然对象联系起来；没有这样的联系，几何学对于物理学家是没有价值的。物理学家关心几何学定理究竟是否真确的问题。从下述简单的考虑可以看出：根据这个观点，欧几里得几何学肯定了某些东西，这些东西不仅是从定义按逻辑推导来的结论。
空间里n 个点之间有
个距离s
μν
；在这些距离和3
n
个坐标之间有关系式
从这
个方程里可以消去3n 个坐标，由这样的消去法，至少会获得
个有关s
μν
的方程。
[2]
因为 s
μν
是可测度的量，而根据定义，它们是彼此无关的，所以s
μν
之间的这些关系并非本来是必要的。
从前面显然知道，变换方程（3）、（4）在欧几里得几何学里具有根本的意义，在于这些方程决定着由一个笛卡儿坐标系到另一个的变换。在笛卡儿坐标系里，两点间可测度的距离 s 是用方程
表示的，这个性质表示着笛卡儿坐标系的特性。
如果K （xν） 与K （xν） ′是两个笛卡儿坐标系，则
右边由于线性正交变换的方程而恒等于左边，右边和左边的区别只在于 x
ν
换成了 x
ν
′。这可以用这样的陈述来表示：
对于线性正交变换是不变量。在欧几里得几何学里，显然只有能用对于线性正交变换的不变量表示的量才具有客观意义，而和笛卡儿坐标的特殊选择无关，并且所有这样的量都是如此。这就是有关处理不变量形式的定律的不变量理论对于解析几何学十分重要的理由。
考虑体积，作为几何不变量的第二个例子。这是用
表示的。根据雅可比定理，可以写出
其中最后积分里的被积函数是x ν ′对x ν 的函数行列式，而由（3），这就等于代换系数b νa 的行列式|b μν |。如果由方程（4）组成δ μα 的行列式，则根据行列式的乘法定理，有
如果只限于具有行列式+1 的变换
（只有这类变换是由坐标系的连续变化而来的），则V是不变量。
然而不变量并非是表示和笛卡儿系的特殊选择无关的唯一形式。矢量与张量是其他的表示形式。让我们表示这样的事实：具有流动坐标x ν 的点位于一条直线上。于是有
x ν - A ν =λB ν （ν由1 到3）
可以令
而并不限制普遍性。
如果将方程乘以b βν [比较（3a）与（5）]并对于所有的ν求和，便得到
其中
这些是参照第二个笛卡儿坐标系K′的直线方程。它们和参照原来坐标系的方程有相同的形式。因此显然直线具有和坐标系无关的意义。就形式而论，这有赖于一个事实，即（x ν -A ν ）-λB ν 这些量变换得和间隔的分量Δx ν 一样。设对于每个笛卡儿坐标系所确定的三个量象间隔的分量一样变换，这三个量的总合便称为矢量。如果矢量对于某一笛卡儿坐标系的三个分量都等于零，则对于所有的坐标系的分量都会等于零，因为变换方程是齐次性的。于是可以不需倚靠几何表示法而获得矢量概念的意义。直线方程的这种性质可以这样表示：直线方程对于线性正交变换是协变的。
现在要简略地指出有些几何对象导致张量的概念。设P 0 为二次曲面的中心，P为曲面上的任意点，而ξ ν 为间隔P 0 P在坐标轴上的投影。于是曲面方程是
在这里以及类似的情况下，我们要略去累加号，并且了解求和是按出现两次的指标进行的。这样就将曲面方程写成
对于既定的中心位置和选定的笛卡儿坐标系，a μν 这些量完全决定曲面。由ξ μ 对于线性正交变换的已知变换律（3a），容易求得a μν 的变换律 [3] ：
这个变换对于a μν 是齐次的，而且是一次的。由于这样的变换，这些a μν 便称为二秩张量的分量（因为有两个指标，所以说是二秩的）。如果张量对于任何一个笛卡儿坐标系的所有分量a μν 等于零，则对于其他任何笛卡儿系的所有分量也都等于零。二次曲面的形状和位置是以（a）这个张量描述的。
可以定出高秩（指标个数较多的）张量的解析定义。将矢量当做一秩张量，并将不变量（标量）当做零秩张量，这是可能和有益的。在这一点上，可以这样提出不变量理论的问题：按照什么规律可从给定的张量组成新张量？为了以后能够应用，现在考虑这些规律。首先只就同一参照空间里用线性正交变换从一个笛卡儿系变换到另一个的情况来讨论张量的性质。由于这些规律完全和维数无关，我们先不确定维数n。
定义 设对象对于n维参照空间里的每个笛卡儿坐标系是用n α 个数A μνρ …（α=指标的个数）规定的，如果变换律是
则这些数就是α秩的张量的分量。
附识 只要（B），（C），（D），…，是矢量，则由这个定义可知
是不变量。反之，如果知道对于在意选择的（B），（C）等矢量，（8）式总能导致不变量，则可推断（A）的张量特性。
加法与减法 将同秩的张量的相应分量相加和相减，使得等秩的张量：
由上述张量的定义可得到证明。
乘法 将第一个张量的所有分量乘以第二个张量的所有分量，就能从秩数为α的张量和秩数为β的张量得到秩数为α+β的张量：
降秩 令两个确定的指标彼此相等，然后按这个单独的指标求和，可从秩数为α的张量得到秩数为α-2 的张量：
证明是
A′ μμρ …=b μα b μβ b ργ …A αβγ …=δ αβ b ργ …A αβγ …=b ργ …A ααγ …
除了这些初等的运算规则，还有用微分法的张量形成法[“Erweiterung”（扩充）] :
对于线性正交变换，可以按照这些运算规则由张量构成新的张量。
张量的对称性质 如果从互换张量的指标μ与ν所得到的两个分量彼此相等或相等而反号，则这样的张量便称为对于这两个指标的对称或反称张量。
对称条件：A μνρ =A νμρ
反称条件：A μνρ =-A νμρ
定理 对称或反称特性的存在和坐标的选择无关，其重要性就在于此。由张量的定义方程可得到证明。
Ⅰ. 量δ ρσ （4）是张量的分量（基本张量）。
证明 如果在变换方程A μν ′=b μα b νβ A αβ 的右边用量δ αβ （它按α=β或α≠β而等于1 或0）代替A αβ ，便得
A μν ′=b μα b να =δ μν
如果将（4）用于反代换（5），就显然会有最后等号的证明。
Ⅱ. 有一个对于所有各对指标都是反称的张量（δ μνρ …），其秩数等于维数n，而其分量按照μνρ…是123…的偶排列或奇排列而等于+1 或-1。
证明可借助于前面证明过的定理|b ρσ | =1。
这些少数的简单定理构成了从不变量理论建立相对论前物理学和狭义相对论的方程的工具。
我们看到：在相对论前的物理学里，为了确定空间关系，需要参照物体或参照空间；此外，还需要笛卡儿坐标系。设想笛卡儿坐标系是单位长的杆子所构成的立方构架，就能将这两个概念融为一体。这个构架的格子交点的坐标是整数。由基本关系
可知这种空间格子的构杆都是单位长度。为了确定时间关系，还需要一只标准时计，假定放在笛卡儿坐标系或参照构架的原点上。如果在任何地点发生一个事件，我们立即就能给它指定三个坐标x ν 和一个时间 t，只要确定了在原点上的时计和该事件同时的时刻。因此我们对于隔开事件的同时性就（假设地）给出了客观意义，而先前只涉及个人对于两个经验的同时性。这样确定的时间在一切情况下和坐标系在参照空间中的位置无关，所以它是对于变换（3）的不变量。
我们假设表示相对论前物理学定律的方程组，和欧几里得几何学的关系式一样，对于变换（3）是协变的。空间的各向同性与均匀性就是这样表示的。
现在按这个观点来考虑几个较重要的物理方程。
质点的运动方程是
（dx
ν
）是矢量；dt是不变量，所以
也是不变量；因此
是矢量；同样可以证明
是矢量。一般地说，对时间取微商的运算不改变张量的特性。因为m是不变量（零秩张量），所以
是矢量，或一秩张量（根据改量的乘法定理）。如果力（X
ν
）具有矢量特性，则差
也是矢量。因此这些运动方程在参照空间的每个其他笛卡儿坐标系里也有效。在保守力的情况下，能够容易认识（X
ν
）的矢量性质。因为存在势能Φ只依赖于质点的相互距离，所以它是不变量。于是力
的矢量特性便从关于零秩张量的导数的普遍定理得到证明。
乘以速度，它是一秩张量，得到张量方程
降秩并乘以标量dt，我们获得动能方程
如果ξ
ν
表示质点和空间固定点的坐标之差，则ξ
ν
具有矢量特性。显然有
，所以质点的运动方程可以写成
将这个方程乘以ξ ν ，得到张量方程
将左边的张量降秩并取对于时间的平均值，就得到维里定理，这里便不往下讨论了。互换指标，然后相减，作简单的变换，便有矩定理：
这样看来，显然矢量的矩不是矢量而是张量。由于其反称的特性，这个方程组并没有九个独立的方程，而只有三个。在三维空间里以矢量代替二秩反称张量的可能性依赖于矢量
的构成。
如果将二秩反称张量乘以前面引入的特殊反称张量δ，降秩两次，便获得矢量，其分量在数值上等于张量的分量。这类矢量就是所谓轴矢量，由右手系变换到左手系时，他们和Δx ν 变换得不同。在三维空间里将二秩反称张量当做矢量具有形象化的好处；可是按表示相应的量的确切性质而论，便不及将它当做张量了。
其次，考虑连续媒质的运动方程。设ρ是密度，u ν 是速度分量，作为坐标与时间的函数，X ν 是每单位质量的彻体力，而P νσ 是垂直于σ轴的平面上沿 x ν 增加方向的胁强。于是根据牛顿定律，运动方程是
其中
是在时刻t 具有坐标 x
ν
的质点的加速度。如果用偏导数表示这个加速度，除以ρ之后，得到
必须证明这个方程的有效性和笛卡儿坐标系的特殊选择无关。（u
ν
）是矢量，所以
也是矢量。
是二秩张量，
是三秩张量。左边第二项是按指标σ，τ降秩的结果。右边第二项的矢量特性是显然的。为了要求右边第一项也是矢量，p
νσ
必须是张量。于是由微分与降秩得到
所以它是矢量，乘以标量的倒数
后仍然是矢量。至于p
νσ
是张量，因而按照方程
p μν ′=b μα b νβ p aβ
变换，这在力学里将这个方程就无穷小的四面体取积分就可得到证明。在力学里，将矩定理应用于无穷小的平行六面体，还证明了p νσ =p σν 。因此也就是证明了胁强张量是对称张量。从以上所说就可知道：借助于前面给出的规则，方程对于空间的正交变换（旋转变换）是协变的；并且为了使方程具有协变性，方程里各个量在变换时所必须遵照的规则也明显了。根据前面所述，连续性方程
的协变性便无须特别讨论。
还要对于表示胁强分量如何依赖于物质性质的方程检查协变性，并借助于协变条件，对于可压缩的黏滞流体建立这种方程。如果忽略黏滞流体，则压强p将是标量，并将只和流体的密度与温度有关。于是对于胁强张量的贡献显然是
p δ μν
其中δ μν 是特殊的对称张量。在黏滞流体的情况下，这一项还是有的。不过在这个情况下，还会有一些依赖于u ν 的空间导数的压强项。假定这种依赖关系是线性的。因为这几项必须是对称张量，所以会出现的只是
（因为
是标量）。由于物理上的理由（没有滑动），对于在所有方向的对称膨胀，即当
假设没有摩擦力，因此有
如果只有
不等于零，令
这样就确定了α。于是获得全部胁强张量
从这个例子显然看出由空间各向同性（所有方向的等效性）产生的不变量理论在认识上的启发价值。
最后讨论作为洛伦兹电子论基础的麦克斯韦方程的形式：
i
是矢量，因为电流密度的定义是电荷密度乘上电荷的矢速度。按照前三个方程，
e
显然也是当做矢量的。于是
h
就不能当做矢量了。
可是如果将
h
当做二秩反称张量，这些方程就容易解释。于是分别写h
23
,h
31
,h
12
以代替h
1
,h
2
,h
3
。注意到h
μν
的反称性，（19）与（20）的前三个方程就可写成如下的形式：
和 e 对比， h 看来是和角速度具有同样对称类型的量。于是散度方程取下列形式：
后一个方程是三秩反称张量的方程（如果注意到 h μν 的反称性，就容易证明左边对于每对指标的反称性）。这种写法比较通常的写法要更自然些，因为和后者对比，它适用于笛卡儿左手系，就像适用于右手系一样，不用变号。
已知的爱因斯坦最早的相片
[1] 这关系必须对于任意选择的原点和间隔方向（比率Δx 1 ∶Δx 2 ∶Δx 3 ）都能成立。
[2]
其实有
+6个方程。
[3] 根据（5），方程a στ ′ξ σ ′ξ τ ′=1可以换成a στ ′ b μσ b ντ ξ σ ξ τ =1，于是立即有上述结果。