第二章
经典的极致

如果说现代物理开始于量子物理，经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对论。广义相对论的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观，但牛顿本人很清楚他的时空观的局限。爱因斯坦用相对论的因果律代替了牛顿的绝对时空中的因果律，所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍然是经典的，广义相对论是经典物理的极致。这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理所改造。所有相信弦论的人都认为引力已被成功地量子化，至少在微扰论的层次上，但一些执著于几何是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论。他们在一定程度上承认弦论的成功，霍金（S.Hawking）以及特霍夫特（G.’t Hooft）可以被看成这方面的代表，虽然前者较之后者更积极地支持弦论。我们希望读者在本章的结尾时看到，弦论家的观点和弦论同情者的观点都有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策，认为引力还是原来的引力，星星还是那颗星星，这样有助于他们继续发表各色各样的理论。

我们假定读者已学过狭义相对论，甚至学过一点广义相对论，这样我们就可以相对自由地从不同角度来看广义相对论。广义相对论的基本原理是等效原理：在引力场中，在时空的任何一点都可以找到一个局域惯性系，物理定律在这个局域惯性系中与没有引力场时完全相同。爱因斯坦本人更喜欢将局域引力比喻成局域加速所引起的结果。这样，局域惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间，加速则可以用一个二次坐标变换来消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述。在一个局域惯性系中，度规变成狭义相对论中的闵可夫斯基度规。爱因斯坦进一步说，如果引力效应可以用一般的坐标变换来消除，则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具有曲率。爱因斯坦的引力理论是标准的场论，而他相信物理的基本要素就是场，这是他高度评价麦克斯韦工作的原因。

一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线，而运动方程可以由变分原理得到。这个变分原理说，连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为极大（粒子的固有时是欧氏空间中测地线长度在闵氏空间中的推广）。这种几何变分原理早就用在光学中，光行进的轨道使光程取极小值，即费马原理。当地球环绕太阳运动时，人们可以想象，太阳产生的引力场使得太阳周围的时空发生一点点弯曲，从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中，这个测地线并非是闭合的。一般说来，它在空间中的投影也不是闭合的，这样就有了水星近日点进动（这里，时空同时弯曲起了关键作用）。同样，一个无质量的粒子（如光子）在引力场中的测地线也是弯曲的，尽管光的固有时总是为零，光的测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱因斯坦在广义相对论完成之前就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原理，这等价于仅仅用了度规的时间分量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。

决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量；在方程的右边是能量动量张量。爱因斯坦经过八年断断续续的努力，在1915年尾才最终写下正确的场方程。（从1907到1911年有三年半的时间，他发表了关于经典辐射理论、狭义相对论、临界弥散的文章，甚至尝试修改麦克斯韦方程以期得到光量子，就是没有发表关于广义相对论的文章）1915年11月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院物理数学部（那时的科学没有今天专业化得厉害，今天的一些物理学家往往以不能与数学家沟通为自豪）宣读了一篇题为《引力的场方程》的文章。他说：“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成。”

1915年11月，爱因斯坦每一个星期完成一篇文章。11月4日，在一篇文章中他写下不完全正确的一种场方程，该方程线性化后成为牛顿泊松方程。11月11日，他写下另一个场方程，方程的左边是里奇（Ricci）张量，方程的右边是能量-动量张量，他还要求度规的行列式等于1。11月18日，爱因斯坦仍然相信度规的行列式必须等于1。对爱因斯坦非常幸运的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于1——施瓦茨希尔德（K.Schwarzschild）于次年1月发现了严格解，5月即死于在俄罗斯前线得的一场病。在18日的文章中，爱因斯坦发现了两个重要效应。爱因斯坦发现的第一个效应是水星近日点进动。勒韦里耶（J.J.Le Verrier）1859年观察到的水星每百年45秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是如此令人激动，爱因斯坦此后一连几天都不能平心静气地回到物理上来。第二个发现是，他以前计算的光线弯曲比正确的结果小一半，这时他计及了度规的空间部分。11月25日，爱因斯坦写下了一直沿用至今的引力场方程。爱因斯坦放弃了度规行列式等于1的物理要求，但将它作为对坐标选取的一种条件。爱因斯坦当时还不知道场方程的左边满足比安基等式，从而方程右边自动满足能量动量守恒定律。能量动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。

由于引力常数很小，引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互作用的大小通常可以用动能与势能之比来定，对于处于束缚态的系统，这个比例大约是1，所以我们常常说束缚态是非微扰的。不需要计算，我们知道地球在太阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样，电子在氢原子中的电势能大约等于它的动能。可是电子氢原子的原子核质子之间的引力相互作用就非常非常小了，它与电子的动能之比大约是10 ^-40 ！所以我们常常说引力是自然界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说，时空非常难以弯曲。看一看爱因斯坦的场方程，它的左边是曲率，右边是牛顿引力常数乘以能量-动量张量。能量动量张量引起时空弯曲，而牛顿引力常数则很小，可以说时空的强度很大，比任何金属都要大得多。

在谈到广义相对论的实验验证时，人们常提到的是三大经典验证：引力红移、光线弯曲和水星近日点进动。时至今日，广义相对论所通过的验证远远不止这些。即使在验证还很少时，人们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功的物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样说。广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论，即整个理论建立在一些简单的原理之上。尽管它是一个物理理论，它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功的理论之一，它解释了所有已知的宏观的包含引力的系统，这包括整个可观测宇宙在内。其精度经常在万分之一，在等效原理情形，精度已达10 ^-13 ！

广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言——几何。可以说爱因斯坦的直接继承人，今天仍然活跃的，即那些在gr-qc电子档案馆贴文章的人，仍然坚持用这种语言。这种语言似乎与量子力学有着本质的冲突，从而也与粒子物理学家所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不想强调这种冲突，但了解这种冲突的存在是有好处的。20世纪60年代之前在相对论界和粒子物理界之间存在的对话很少，这在一个费曼的小故事中很好地体现出来。费曼有一次去参加在北卡罗来纳州召开的相对论界的会议，出发之前他忘记了带详细地址，所以下飞机后向人打听有没有看到一些相对论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的人，他说，就是一些嘴里不停地念叨“gmunu”的人。

广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格（S.Weinberg）的名著《引力论与宇宙论——广义相对论的原理与应用》（Gravitation and Cosmology：Principles and Applications of the General Theory of Relativity）中也显示出来。温伯格尝试用粒子物理的方法重新表达广义相对论，仅取得部分成功。温伯格与费曼最早试图由自旋为2的无质量粒子及相互作用推出广义相对论，今天我们知道，人们的确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2的无质量粒子的自洽相互作用理论。但这个证明是一级一级的证明，很难看出其中的几何原理。

广义相对论与粒子物理本质的不同还可以从引力波效应的计算中看出。早在1916年爱因斯坦就指出在他的理论中存在引力波，到1918年，他给出了引力辐射与引力系统的四极矩关系的公式。不同于电磁系统，自旋为2的粒子的辐射与偶极矩无关。电磁系统的辐射公式从来就没有人怀疑，而不同于电磁系统，引力系统的引力波辐射是否完全由四极矩公式给出长期存在争论。争论的原因是，引力是一个高度非线性理论，引力势能本身也会影响引力波辐射。爱因斯坦本人在1937年曾短暂地怀疑过引力波的存在。有趣的是，关于引力波辐射的第一级效应的争论直到1982年才完全得到解决：爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然，引力波辐射的效应已在脉冲双星系统中被间接地观察到，这个工作也已获得诺贝尔奖。迄今为止，引力波还没有被直接探测到，但位于美国的引力波天文台LIGO正在升级，也许2016年后能够直接观测到引力波。不过，引力波的存在已经被宇宙学家观测到了，而且他们看到的是宇宙大爆炸那一瞬间的引力波。这些时空皱纹在宇宙微波背景辐射上留下痕迹，而被美国在南极的BICEP2辐射计观测到了，他们是在2014年3月17日宣布这个轰动物理与天文学界的结果的。今后几年，引力波可能被引力干涉仪直接观测到，这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测之后又一令人激动的天文观测，必将极大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。

广义相对论应用最成功的领域是宇宙学。历史上断断续续地有人考虑过用牛顿理论研究包括整个宇宙的力学体系，但从来没有一个比较完备的理论，原因之一是很难用牛顿理论得到一个与观测相吻合的宇宙模型。如果假定在一定尺度之上宇宙中的物质分布大致是均匀的，从牛顿理论导出的泊松方程没有一个有限的解。如果我们被迫假定物质的质量密度只在一个有限的空间不为零，则会回到宇宙中心论。即便如此，这个有限的引力体系也是不稳定的，终将不断地塌缩。

独立于牛顿理论的另外一个困难是奥尔贝斯（Olbers）佯谬。如果物质的主要成分是发光的星体，那么天空的亮度将是无穷大。每颗星对亮度的贡献与它对地球的距离平方成反比，而在径向上恒星的线密度与距离平方成正比，所以总亮度以线性的方式发散。假如恒星分布在一个有限区域，尽管亮度有限，但白昼黑夜的存在说明这个亮度远小于太阳的亮度，所以这个有限区域不能太大。

现代宇宙学开始于爱因斯坦。他在1917年2月给出的宇宙学虽然不完全正确，却一举解决了上面的两个问题。爱因斯坦当然知道用牛顿理论建立宇宙论的困难，他的出发点却全然不同。爱因斯坦在许多重要工作中，往往从一个很深的原理，或者从一个在他人看来只是一种不切实际的信仰出发，而常常能够达到解决实际问题的目的。这一次他的出发点是马赫原理。马赫原理大致是说，一个质点的惯性质量在一定程度上取决于其周围的物质分布，换言之，所谓惯性系实际上就是那些相对于宇宙平均物质分布匀速运动的系统。对于爱因斯坦来说，这意味着度规完全取决于物质的密度分布，而不是密度先决定曲率，然后再决定度规。

为了实现马赫原理，爱因斯坦首先引入宇宙学原理——宇宙是均匀和各向同性的。要得到物质密度分布决定度规的结果，他发现必须修改他的场方程，这样他引进了宇宙学常数。宇宙学常数项是一个正比于度规的项，在大尺度上如果忽略曲率项，则能量-动量张量完全决定于度规。在小尺度上，宇宙学常数项可以被忽略，这样广义相对论原来的结果还成立。宇宙学常数项在牛顿理论中有一个简单的对应。可以在泊松方程中加一个正比于引力势的项，相当于给这个标量场一个质量。如果物质密度是一个常数，则引力势也是一个常数，正比于物质密度，正比系数是牛顿引力中的宇宙学常数的倒数。爱因斯坦就是从这个修正的牛顿理论出发从而避免了无穷大的困难。

爱因斯坦1917年的宇宙模型是一个封闭、静态的模型。他错误地认为在没有宇宙学常数项的情形下场方程没有满足宇宙学原理的解。他也许相信在没有物质，只有宇宙学常数的情形下也没有解。这些后来都被证明是错误的。德西特尔（W.de Sitter）在爱因斯坦的文章发表后很快就发现只有宇宙学常数情形下的解，这就是德西特尔空间。弗里德曼（A.Friedmann）于1922年发现了没有宇宙学常数的解，这是一个膨胀宇宙模型。哈勃（E.P.Hubble）于1929年发现宇宙学红移，从而证实了膨胀宇宙模型。哈勃是观测宇宙学的鼻祖，他在1924年首先证实一些星云存在于银河系之外，从而大大扩大了宇宙的尺度。爱因斯坦后来很为当初引进宇宙学常数从而没能预言宇宙的膨胀后悔，后来他终于放弃了马赫原理。爱因斯坦没能预见到宇宙学常数是非常可能存在的，这个他那时认为是他一生中所犯的最大错误也许会成为他的最大成就之一（他的最大成就也太多了，近年有一个获得诺贝尔奖的实验也与他的名字有关）。我们将在讨论弦论如何对待宇宙学常数问题时再介绍最近的宇宙学常数的天文观测。

宇宙学在20世纪60年代之前是一门高雅的学问，这方面发表的文章不多，但质量很高。60年代末彭齐亚斯（A.Penzias）和威尔逊（R.Wilson）偶然发现了宇宙微波背景辐射，宇宙学遂成为一门大众学问，也就是说它成为一门主流学问，大学物理系和天文系开始有了专门研究宇宙学的教授（我们不妨在这里做一下广告：我在读大学的时候，全国只有两个天文系，宇宙学专业几乎没有。现在，全国有七个天文系或学院，中山大学刚刚成立了天文与空间科学研究院，其中重点发展的方向之一就是宇宙学）。早在40年代伽莫夫（G.Gamow）等人已经将广义相对论与粒子物理和统计物理结合起来，预言了核合成与微波背景辐射。标准宇宙模型开始形成。大爆炸宇宙无论从什么角度看都是唤起公众想象力的最好的东西，它却是爱因斯坦理论的一个应用，一个并不是最深刻但肯定是最重要的应用。

迪克（R.Dicke）在我看来是一个很了不起的人。他对广义相对论的实验和理论都做出过很有原创力的贡献。在实验上他的贡献如等效原理的精确检验。当人们满足于宇宙学原理是一种第一原理时（爱因斯坦早期认为是马赫原理的一个推论），他开始怀疑均匀各向同性应是早期宇宙动力学过程的结果。宇宙学原理只是他提出来的标准宇宙模型不能解答的三个问题之一。另外两个问题是：为什么在宇宙早期空间曲率与物质密度相比非常非常小；为什么早期相变的遗迹几乎不可观察到，如磁单极。正是他在康奈尔大学的演讲促使古思（A.Guth）提出暴涨宇宙论（Inflation），从而一举解决了宇宙论中的三个“自然性”问题。记得1982年我考到中国科学技术大学做硕士研究生，那时暴涨宇宙论提出仅一年。我的老师从杨振宁的石溪理论物理研究所访问回来，刚刚写了一篇这方面的与相变有关的文章。他在很多场合宣传暴涨宇宙论，他的大弟子从剑桥回来也谈相变时的泡泡碰撞。这对一个刚刚接触理论物理的研究生来说是非常新鲜的话题。不过我心里也有点嘀咕，这个利用最新粒子物理进展的宇宙模型要解决的问题也太哲学了，有可能被观测所证实吗？过了近十年，暴涨宇宙论的第一个间接的、有点模糊的证据才出现，这就是轰动一时的柯比（COBE）实验。该实验发现宇宙微波背景辐射有非常小的大约为1/100000的涨落，暴涨宇宙论的大尺度结构形成理论需要这么大的涨落。霍金曾说柯比实验是20世纪最重要的发现，这倒不免有些夸大。令人兴奋的是，最近的宇宙微波背景辐射的功率谱的测量说明宇宙是平坦的，即宇宙目前的空间曲率几乎为零，这正是暴涨宇宙论的预言之一，而功率谱曲线的形状也与暴涨宇论的预言一致。在我准备第二版的时候，BICEP2的原初引力波的发现，几乎证实了暴涨论。可以预见，古思不久即将获得诺贝尔物理学奖，某些实验家也许也将获奖。

做类似宇宙微波背景辐射的功率谱的测量要花很多钱，与如今的高能物理实验相比，却又少得多。台湾大学物理系曾与台湾“中央研究院”天文研究所合作，斥资数亿台币建造微波天文望远镜，很可惜，他们没有成功。在中国大陆还没有进行类似的实验，而且至今也没有任何探测宇宙微波背景辐射的计划，但我认为很值得去规划进行，至少这类实验需要的投资要小于其他很多大型国家计划。

暴涨宇宙论中大尺度结构的形成起因于量子涨落。由于在暴涨期每个量子涨落模的波长随着共动尺度一起迅速增长，波长会很快超出当时的视界，这样由于涨落的两端失去联系，涨落就被固定下来。大部分暴涨宇宙模型预言涨落在波长上的分布是幂律型的。很多人喜欢谈宏观量子效应，宇宙的大尺度结构（如银河系、星系团）是最大的宏观量子效应。一个不容忽视的问题是，暴涨宇宙论中的涨落可能起源于非常小的尺度，这些尺度可能比普朗克尺度还要小。进一步研究涨落的谱可能会揭示量子引力的效应，这也包括弦论中的量子效应。

暴涨宇宙论对研究弯曲空间中的量子场论起到了推动作用。对此研究起到推动作用的另一重要发现是霍金的黑洞量子蒸发理论。从20世纪70年代中期直到80年代，弯曲空间中的量子场论是广义相对论界一个很活跃的领域。这个领域的进展对理解量子引力并没有带来多大的好处，原因是广义相对论和量子场论在这里的结合多少有点生硬，在很多情形下，该领域的专家也没有解决一些概念问题，如什么是可观测量等等。即便如此，这里获得的一些计算结果可以用到暴涨宇宙论中去，而一些诸如共形反常的计算在弦论的发展过程中也起过一定的作用，在将来的弦论发展中还会起一定的作用。我们把这个话题留到后面再谈，我们现在先谈谈广义相对论中的一个最吸引人的话题——黑洞。

贝肯斯坦（J.D.Bekenstein）于1972年发表黑洞与热力学关系的时候，他还是普林斯顿大学的研究生。在1973年发表于《物理评论D》（Physical Review D）的文章中，他明确指出，黑洞的熵应与它的视界面积成正比，这个正比系数是普朗克长度平方的倒数。普朗克长度的平方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正比，所以黑洞熵的起源既与引力有关，又与量子有关。在贝肯斯坦之前，所有与黑洞有关的研究都是经典的，贝肯斯坦改变了一切。

贝肯斯坦现在以色列的希伯莱大学（Hebrew University）工作。他是那种所谓的单篇工作物理学家，在1973年的工作之后，一直在做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之外，他另一个有名的工作是熵与能量的关系，叫贝肯斯坦上限，我们这里不打算介绍。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人，叫做：他还在改进和抛光他的博士论文。贝肯斯坦的工作决不能作如是观，他是那种不断有新的物理想法的人。尽管他的所有工作中最困难的数学也就仅是积分，这并不说明他的文章易读——他的物理思想要求你有足够的直觉。例如我就曾闻知有人在一个物理论坛上说泡耳钦斯基的文章难以理解，这说明了一个问题，那就是我们要训练自己的物理直观，而不能满足于理解那些有明确数学定义的东西。

黑洞可能存在是很容易理解的，拉普拉斯早就做过这样的猜测。在牛顿引力中，如果一个物体的动能不足以用来克服引力场中的势能，这个物体就无法逃逸出去。如果光也不能逃逸出去，对一个远处的观察者来说，产生这个引力场的物体就是黑洞。以拉普拉斯时代对光的理解，光的动能正比于光速的平方，而光的势能由牛顿引力给出，这样，如果径向距离小于2GM/c ² ，势能的绝对值就大于光的动能，光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小于这个值，这个系统就成为黑洞。这个特别的、与质量和牛顿引力常数成正比的长度叫做施瓦茨希尔德半径。施瓦茨希尔德去世前三个月在他的第二篇关于广义相对论的文章中讨论了这个半径。

虽然拉普拉斯得到了正确的结果，但他的方法并不正确。正确的方法要用到爱因斯坦的光子能量公式，而光子的能量不能认为是正比于光速的平方的，光子的有效质量则为能量除以光速的平方。这样，这个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯坦最为著名的结果。普朗克常数最终会消掉，虽然我们在中间过程中用到它。另一个等价的方法是用引力红移的公式，施瓦茨希尔德半径是引力红移成为无限大的地方。有趣的是，爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开他的光量子公式。爱因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个大胆想法搅在一起。

牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外，其他并无共同之处。在牛顿的黑洞中，原点是一个奇点，但这个奇点与经典电子的原点作为库仑势的奇点在本质上并无不同。在爱因斯坦理论的黑洞中，径向坐标在视界上发生本质的变化。在视界之外，径向坐标是类空的；在视界之内，径向坐标是类时的，所以光锥在视界上才可能变为向内。“坐标原点”的奇点是在时间上的一个奇点，经过塌缩的物质都撞到这个奇点上，对于它们来说，时间完全终结了。所以人们说，黑洞的奇点是类空的，很像大爆炸宇宙中的奇点，只不过在黑洞中这个奇点是时间的终结，而大爆炸宇宙中的奇点是时间的开始。

虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现，要证明它们在现实世界中存在却不是一件很容易的事。钱德拉塞卡（S.Chandrasekhar）1934年的计算表明，当一个引力系统有足够大的质量时，自然界不存在其他相互作用能阻止引力塌缩。钱德拉塞卡的这个结果要经过许多年才能被大家接受，部分原因是埃丁顿（Sir A.Eddington）从一开始就非常反对这个结论。对于白矮星来说，当质量大于某个质量限值时，不稳定性就会发生，这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中子星相应的极限叫做奥本海默-沃尔可夫（Oppenheimer-Volkoff）极限。这些极限都与太阳的质量相差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞，也终结于黑洞，他去世前的最后一本研究著作是关于黑洞的，主要研究黑洞周围的扰动。他于1982年完成这本书，时年71岁。

黑洞的存在是毋庸置疑的，我们的银河系中间就有一个巨大的黑洞。可以肯定，有十分之一的星系和活动星系核的中心都是黑洞。这些黑洞的起源还是一个谜。

我们前面说过，贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵，根据统计物理，这说明给定一个黑洞，应该有很多不同的物理态，态数的对数等于熵。这些态不能用经典物理来解释。事实上，在广义相对论中可以证明一个所谓的无毛定理：黑洞的状态由少数几个守恒量完全决定，如质量、角动量和电荷，每个守恒量对应一个局域对称性。整体对称性所对应的守恒量，如重子数，在引力塌缩过程中是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找，因为他的熵公式含有普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰的，当普朗克常数为零时，黑洞熵是无限大，而不是经典物理中的零。由此可见，我们不能指望用微扰量子引力来解释黑洞的熵。

在1973年，贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用，他是如何得到他的熵公式的呢？他用的是非常简单的物理直觉。首先，那时有大量的证据证明在任何物理过程，如黑洞吸收物质、黑洞和黑洞碰撞中，黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律，该定律断言一个封闭系统的熵在任何过程中都不会减少。贝肯斯坦于是把黑洞视界的面积类比于熵，并且说明为什么熵应正比于面积，而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的正比系数，他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加1（这里我们的熵的单位没有量纲，与传统的单位相差一个玻尔兹曼常数），这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果熵与面积成正比，则熵与质量的平方成正比，因为施瓦茨希尔德半径与质量成正比。这样，如要将熵增加1，则质量的增加与黑洞的原有质量成反比，也就是与施瓦茨希尔德半径成反比。现在，如何增加黑洞的熵呢？我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子是最“轻”的粒子，同时由于自旋的存在具有数量级为1的熵。这样，我们可以用向黑洞投入光子的方法来增加黑洞的熵。我们尽量用能量小的光子，但能量不可能为零，因为光子如能为黑洞所吸收，它的波长不能大于施瓦茨希尔德半径。所以，当黑洞吸收光子后，它的质量的增加反比于施瓦茨希尔德半径，这正满足将黑洞熵增加1的要求。对比两个公式的系数，我们不难得出结论：黑洞熵与视界面积成正比，正比系数是普朗克长度平方的倒数。

贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中无量纲的系数，尽管他本人给出过一个后来证明是错误的系数。霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息时产生了很大的怀疑。霍金在此之前做了大量关于黑洞的工作，都是在经典广义相对论的框架中的，所以有很多经验，或不妨说是成见。类似我们在第一章中提到的威腾之于对偶，他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质，从而最终导致他发现了霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说，1973年当他与巴丁（J.M.Bardeen）、卡特（B.Carter）合写那篇关于黑洞热力学四定律的文章时，他是不相信贝肯斯坦的。此后不久，霍金发现了黑洞的量子蒸发，从而证明黑洞是有温度的，由此简单地应用热力学第一定律，就可以导出贝肯斯坦的熵公式，并可以定出公式中的无量纲的系数。由于霍金的贡献，人们把黑洞的熵又叫成贝肯斯坦-霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的《自然》（Nature）杂志上，数学上更完备的结果后来发表于《数学物理通讯》（Communications in Mathematical Physics）。在简单解释霍金蒸发之前，我们不妨提一下关于中文中“熵”这个字的巧合。在热力学第一定律的表述中，有一项是能量与温度之比，也就是商，所以早期翻译者将entropy翻译成“熵”。黑洞的熵恰恰也是两个量即视界面积和普朗克长度的平方的商。

霍金蒸发很像电场中正负电子对的产生，而比后者多了一点绕弯（twist）。在真空中，不停地有虚粒子对产生和湮没。由于能量守恒，这些虚粒子对永远不会成为实粒子。如果加上电场，而虚粒子对带有电荷，正电荷就会沿着电场方向运动，负电荷就会沿着与电场相反的方向运动，虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电子对的产生几率就越大。现在，引力场对虚粒子对产生同样的作用，在一对虚粒子对中，一个粒子带有正能量，另一个粒子带有负能量。在黑洞周围，我们可能得出一个怪异的结论：由于正能被吸引所以带有正能的粒子掉入黑洞，而带有负能的粒子逃离黑洞，黑洞的质量变大了。事实是，在视界附近由于引力的作用正能粒子变成负能粒子，从而可能逃离黑洞，而负能粒子变成正能粒子，从而掉进黑洞。对于远离黑洞的人来说，黑洞的质量变小了；对于视界内的观察者来说，掉进黑洞的粒子具有正能量，也就是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不可思议。

霍金蒸发是黑体谱，其温度与施瓦茨希尔德半径成反比，黑洞越大温度就越小，所以辐射出的粒子的波长大多与施瓦茨希尔德半径接近（这很像我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子）。当辐射出的粒子变成实粒子后，它们要克服引力作用到达无限远处，所以黑体谱被引力场变形成灰体谱。霍金在《时间简史》中坦承，当发现黑洞辐射时，他害怕贝肯斯坦知道后用以去支持其黑洞熵的想法。

黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大的挑战。虽然我们可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵，但这并不表明我们已理解了黑洞熵的起源。最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用，但我们还没有能够理解施瓦茨希尔德黑洞的熵。另外，黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯态，还是一个混合态，就像黑体谱一样？如果是后者，那我们就不得不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改，后来霍金也改变了他过去的看法，加入弦论家的行列。黑洞的量子物理过去对弦论的发展起到过很大的作用，将来也许注定对弦论的发展会起更大的作用。

前面提到，2014年，宇宙学领域发生了一件大事，原初引力波的痕迹被发现，从而暴涨理论有望得到证实。另外，形形色色的引力理论没有找到任何证据，爱因斯坦理论比以前显得更加正确了。 qO4DKk+L7Jb3DiqjdLUzJrOSGhG1OsVJLUCjgl7X3sUFhbXTjU+TVEE2uj1ckYwV