2.2 基于时间分数阶非饱和土气、液迁移方程的构建

2.2.1 理论模型

非饱和土一般由固体颗粒、水和空气三相组成，特别是水相由液态水和水蒸气组成。对非饱和膨胀土的物理机制进行以下假设。

（1）介质在空间上是宏观连续的（想象中的连续介质），物理性质是各向同性的。

（2）不考虑固体颗粒体积变化，其膨胀或收缩可以忽略不计。

（3）土壤中液态水的流动是不可压缩的，忽略了渗透压力梯度。

（4）不考虑空气溶解为液态水相。

（5）不考虑气流，保持气压恒定。

（6）无溶质迁移。

（7）无温度梯度的影响。

非饱和土的传质可以看作一系列相互联系的物理过程。从机械论的观点出发，这些过程可以通过物质守恒的普遍定律以数学的方法来描述。考虑到第一次传质，液态水和水蒸气的运动首先与含水量和温度有关。应用连续性原理可以得到非饱和土水分流动的控制方程。水的传质包括液体流和水蒸气流，即

式中， q _l 为液态水的通量密度[kg/（s·m ² ）]； q _v 为水蒸气的通量密度[kg/（s·m ² ）]。

液态水的流动可以通过Darcy定律来描述 ^[14，87-88] ：

式中， k _w 为非饱和土的渗透系数（m/s），是含水量的函数； ρ _l 为液态水的密度（kg/m ³ ）； φ 为压力水头（kPa）。

总势能作为土壤水分迁移的主要动力，对土体中含水量的变化有着重要的意义。总势能包括重力势、基质势、渗透势等，而且多种势能之间相互影响，给研究带来了一定的难度，这时就需要简化物理模型，在误差允许的范围内对土中水分迁移进行分析，从而达到求解目的。这里忽略了重力势、渗透势的影响，重点考虑基质势对水汽水平方向迁移的影响情况。

气态水在非饱和土体中的流动是对气相压力梯度的响应。在气相中有两种机制负责水汽的输送，即水分子在气相中的平流和水分子的扩散 ^[25] 。非饱和土中水蒸气的流动可以用Fick定律来描述 ^[7] ：

式中， D _v 为非饱和土中水蒸气的分子扩散率（m ² /s）； ρ _v 为水蒸气密度（kg/m ³ ）。

土体单元中水量的变化可以根据一定时期内液体和水蒸气进出单元的质量来计算。时间分数阶土壤水分运动质量守恒方程为

其中，0＜ α ≤1。

含水量 M （kg/m ³ ）可以用水蒸气和液态水来表示：

式中， θ 为体积含水量； n 为孔隙度。

式中， ρ _d （kg/m ³ ）为土体干密度。由于水蒸气密度与液态水密度之比非常小（＜0.5×10 ^-4 ），因此土体干密度可取0。根据式（2.10）和式（2.12），可以得到水汽迁移方程为

式中，液态水的渗透系数 k _w （ θ ， T ）和气态水的扩散系数 D _v （ θ ， T ）均为含水量与温度的函数。

渗透系数和扩散系数是反映物质在驱动力（水头梯度和浓度梯度）作用下穿过土体中多孔介质的过程。非饱和土的渗透系数为扩散系数 D _w 与比水容量 C _w 的乘积，即

则式（2.13）可转化为

2.2.2 参数的计算方法

1.液态水扩散

许多研究者将液态水扩散系数试验数据进行拟合发现，扩散系数与体积含水量一般成幂函数或指数关系 ^{[13，33，51，91-92]} 。根据Stokes-Einstein方程 ^[93] ，扩散系数随温度（ T ）呈现正向变化，随动态黏度（ μ ）反向变化。基于此，给出 D _w 的两种预测方程，即

式中， δ 、 ζ 均为经验常数，取决于土体结构和外界环境，其值将在第5章分子动力学研究中拟合得出； μ _T 和 分别为温度 T 和参考温度 T ₀ 下的水蒸气动态黏度，在此取 T ₀ =278K。

2.气态水扩散

非饱和土中的气体扩散受孔隙的孔径大小、不同孔径孔隙的体积分布、孔隙形状及饱和度影响极大，因此气态水的扩散系数可表示为

式中， A 为可供气态水流动的土体截面面积，取 ，其中， e 为孔隙比， d _s 为土粒相对密度； D _se 为有效扩散系数。

假设在非饱和土体中，气态水主要以Fick扩散为主，根据分形理论和曲折毛细管模型理论 ^[94-96] ，均匀直径的单个孔隙内的气态水扩散系数为

式中， k _b 为玻尔兹曼常数，取值1.3806×10 ^-23 J·K ^-1 ； d 为水分子直径，取值4×10 ^-10 m； P _v 为水蒸气压力（kPa）； m 为水分子质量，取值2.993×10 ^-26 kg。

然而，孔隙的结构和形状非常复杂，式（2.19）所提出的气体扩散系数不适用于曲折的孔隙。因此，气体在曲折孔隙中的扩散系数可以修正为

式中， τ 为曲折度，其表达式为

式中， L （ λ ）为直径为 λ 的孔隙的长度， ； L ₀ 为孔隙沿扩散方向的直线长度（见图2.2）； D _t 为曲折度的分形维数，1＜ D _t ＜2。 D _t =1表示直的孔隙， D _t 越大，孔隙就越弯曲； D _t =2对应的是一个非常弯曲的孔隙，它充满了整个平面。

式中， τ _a 和 λ _a 分别为平均曲折度和平均孔隙直径。

由式（2.21）可知， τ 是对孔隙的几何描述，但气体扩散除了受孔隙弯曲度影响，还受孔隙的结构、不规则性及连通性等的影响，故式（2.20）中采用弯曲度的平方作为总体的影响系数 ^[97] 。

众所周知，非饱和土中分布着大量复杂的孔隙，在土中取一个具有代表性的圆柱体单元，假设土体孔隙可用一簇具有不同半径的毛细管代替，其半径 λ 的大小在一定范围内，即 λ _min ≤ λ ≤ λ _max 。基于分形理论，处于孔隙直径 λ 和 λ+ d λ 之间的孔隙数可表示为

式中，负号为孔隙数目随孔隙直径的增大而减少； D _p 为孔隙面积的分形维数， ，其中， D _E 为欧几里得空间维度数， n 为孔隙度。那么土体的有效扩散系数为

将式（2.19）～式（2.25）代入式（2.26），可得

其中 yFkL1Vor7weeriwclkBOq3H+Zm8/+cbR4cMyPxWXQ2F6hfC7Cg+LSUEBso0ubjb7