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在数学描述中，命题被定义为一个非真即假的陈述句。例如，“铁是金属”“今天下了雪”“明天是 12 月 28 日”等。
命题有真假之分，一个命题可以在一种条件下为真（记为T），例如，上文的“今天下了雪”，真值为真；在另一种条件下为假（记为F）。命题同时具有逻辑性，主要研究命题及命题之间的关系是否符合一般性的真假认知（而并不用于描述事物的结构及逻辑特征，也不描述不同事物的共同特征）。在命题逻辑中，命题一般用大写英文字母表示，常用P表示，除T和F外，真值也用数字 0 和 1 来表示，其中，0 表示命题的真值为假，1 表示命题的真值为真。
命题在组成结构上，有原子命题和复合命题之分。原子命题不可再作分解，如“铁是金属”。复合命题是用连接词将多个命题（支命题）连接起来的命题，如“如果天在下雨，那么地是湿的”。原子命题多出现在事实性知识和常识性知识中；而复合命题多出现在规则性知识和元知识中。现实生活中，大量的知识都是按照复合命题的方式表示，即通过连接词和支命题及它们的组合，其真假由支命题的真假决定。按照组合方式和连接逻辑的不同，复合命题也有以下区分：
①联言命题：断定事物的若干种情况同时存在的命题，如“汽车既含有机械部件，又含有电气部件”。
②选言命题：断定事物若干种可能情况的命题。如“今天中午可以吃米饭，也可以吃水饺”。需要注意的是，选言命题中存在相容选言命题和不相容选言命题，上述例子为相容选言命题（支命题有同时存在真值的可能性），而“最后一个球要么是蓝色的，要么是红色的”是不相容选言命题（支命题中只有一个为真值）。
③假言命题：断定事物情况之间条件关系的命题。这类命题具有多个表示条件的前件和表示依赖该条件而成立的命题的后件，按照“如果前件，则后件”这样的方式组合，如“如果天在下雨，那么地是湿的”。
④负命题：通过对原命题断定情况的否定而作出的命题。这类命题与原命题（假设真值为真）在真值为假时（即否定命题）的含义不同，如“并非所有小朋友都喜欢看动画片”就是“所有小朋友都喜欢看动画片”的负命题，但却与否定命题“所有小朋友都不喜欢看动画片”在意义上有根本的差异。
不难发现，上述组合方式实际上对应了不同的连接逻辑，连接逻辑通过不同的连接词来实现不同支命题的组合。按照定义，命题中的连接词有 5 个，分别为否定、析取、合取、蕴涵、等价，见表 2.1。如在一个命题中含有多个连接符，可以遵从量词、非、合取、析取、蕴涵、等价的优先级进行运算。
表 2.1 连接词表
例：设命题P为“明天会下雨”，Q为“后天会下雪”，则有：
①¬P表示“明天不会下雨”。
②P∨Q表示“要么明天会下雨，要么后天会下雪，也有可能既明天会下雨又后天会下雪”，该关系在没有说明的情况下，不考虑不相容选言命题的情况。
③P∧Q表示“既明天会下雨，又后天会下雪”。
④P→Q表示“只要明天会下雨，后天就会下雪”。
⑤P↔Q表示“只有明天下雨，后天才会下雪，反之亦然”（也可以理解为“后天下雪只可能由明天下雨引起，而明天下雨也只可能引起后天下雪”）。
根据前述可知，命题具有真值，而命题在通过连接词组合成复合命题后，同样具有真值，设A，B为两个命题，其连接词真值表见表 2.2。
表 2.2 连接词真值表
其中，需要特别注意的情况有以下两种：
①A→B。当A为T、B为F时其真值为F，A为F、B为T时其真值为T，这两个真值系人为定义，其中对B是整个命题的真值“是否可被接受”的核心所在，读者可参阅《离散数学》中关于“蕴涵式”的部分，并尝试理解与A↔B的差异。
②A∨B。前文已提及，在没有说明的情况下，不考虑不相容选言命题的情况，即有（A∨B）∧（A∧B）的真值可以为T。而在不相容选言命题情况时，（A∨B）∧（A∧B）的真值必为F，可知（A∨B）∧（A∧B）与A∧B等价，此时A和B的真值只有一个为T。
除上述 5 个连接词外，还有两种符号可用于描述不同命题之间的关系。
①等价命题符号⇔：对A，B两个命题，若有P 1 ，P 2 ，…，P n 是A，B中的全部变元，如果任意一组真值P 1 ，P 2 ，…，P n ，均可以令A和B的真值一致，那么称A和B为等价命题，用符号表示为A⇔B。
例 2.1 求证 :A↔B⇔（A→B）∧（A→B）。
解 作出命题 A↔B 与 （A→B）∧（A→B） 的真值表 ， 见表 2.3。
表 2.3 真值表
从表 2.3 中可以看出 ， 第 3 列与第 4 列 ，A、B 真值的 4 种不同组合 ，A↔B 和 （A→B）∧（A→B） 的真值一致 ， 由等价的定义知 ， 证明 A↔B⇔（A→B）∧（A→B）。
②蕴涵命题符号⇒：对A，B两个命题，当且仅当A→B为永真式时，即有命题A蕴涵命题B，用符号表示为A⇒B。
例 2.2 求证 ：¬B∧（A→B）⇒¬A。
解 作出复合命题 ¬B∧（A→B） 与 ¬B∧（A→B）→¬A 的真值表 ， 见表 2.4。
表 2.4 真值表
从表 2.4 中可以看出 ， 第 3 列与第 4 列 ，A、B 真值的 4 种不同组合 ， 命题 ¬B∧（A→B）→¬A 均为真 ， 证明 ¬B∧（A→B）⇒¬A。
在运算中，往往还涉及一些定理，这些定理主要用于复合命题逻辑的约简和推导分析。以下给出复合命题的常用等价式：
（1）双重否定律
（2）交换律
（3）结合律
（4）分配律
（5）德摩根（De Morgan）定律
（6）吸收律
（7）补余律
（8）连接词化规律
在谓词逻辑中，谓词是描述个体性质和个体之间关系的词语，故命题是由谓词进行表示的。谓词的一般形式为
其中，P是谓词名，用于体现个体的某一性质、状态或者个体之间的关系，个体x 1 ，x 2 ，…，x n 为独立存在的具体的或抽象的客体。根据个体为常量、变量或者函数的区别，谓词的表达存在差异。在个体为常量的情况下，即具体或特定的个体，例如，小王是一名工人：WORKER（Wang），10>5:GREATER（10）；个体为变量的情况，即抽象或泛指的个体，需要对个体赋值后判断命题真假，例如，y>3:LESS（y，3）；个体为函数的情况，即个体到另一个体的映射，例如，小王的父亲是厨师：COOK（FATHER（Wang））。
当谓词表示事物及相互关系时，要求根据表达需要人为地定义谓词的语义，例如，有一谓词P（x），可以表示“x是一个苹果”，也可以表示“x是一辆汽车”等。而谓词与命题类似，也具有真值的属性。当谓词中的变元是特定个体时，谓词的真值是确定的T或者F。
类比于函数，因为谓词可以包含多个个体，所以个体数目称为谓词的元数，例如，P（x）是一元谓词，Lower（c，6）是二元谓词。同样，谓词能够使用命题逻辑的连接词进行连接，如“苹果可以是红的和绿的”，表示为COLOR（Apple，Red）∨COLOR（Apple，Green）。
在谓词逻辑中，有时需要对谓词与个体之间的关系进行描述，故引入两种量词，即全称量词和存在量词。全称量词（∀x）表示对个体域的所有个体x，例如，“所有西瓜都是红色的”，可以表示为（∀x）[WATERMELON（x）]→COLOR[（x，Red）]。存在量词（∃x）则表示在个体域中存在个体x，例如，“1 号房间存在一个物体”，可以表示为（∃x）INROOM（x，R1）。
需要注意的是，全称量词和存在量词在命题中出现的先后顺序会影响整个命题的意义。
例 2.3 使用谓词逻辑分别表示 “ 所有学生都需要考试 ” 和 “ 某些学生考得好 ”。
解 首先对谓词作定义 ，S（x） 表示 “x 是学生 ”，T（x） 表示 “x 需要考试 ”，G（x） 表示 “x 考 得好 ”。 那么 “ 所有学生都需要考试 ” 表示为 （∀x）（S（x）→T（x）），“ 某些学生考得好 ” 表示为 （∃x）（S（x）→G（x））。
量词具有辖域，即量词的作用范围。在谓词逻辑中，当命题中既存在真值函项连接词，又有量词时，其辖域有以下 3 种情况：
①量词后面为一对括号时，量词的辖域是它后面的括号范围。
②量词后面为谓词时，量词的辖域是直到后面第一个真值函项的连接词。
③量词后面为另一个量词时，量词的辖域是它本身包括后面的一个量词的辖域。
辖域内与量词中同名的变元称为约束变元，不同名的变元称为自由变元。例如，有命题
其中，（P（x，y）→Q（x，y））是（∃x）的辖域，辖域内的变元x是受（∃x）约束的约束变元，R（x，y）中的x是自由变元，所有y都是自由变元。
在运算过程中，有时需要对命题内的变元进行换名或替代，以增强不同变元之间的差异。此时，针对辖域的换名，需要将辖域中出现的某一约束变元更改为该辖域中另一未曾出现的个体变量符号；而针对辖域的替代，需要用与原公式中所有个体变元符号相异的变量符号去替代自由出现的个体变元。如上述命题可以替换为：
量词的引入扩大了对命题中单个或全体对象的指向约束，使得命题的描述更为精准。基于此，复合命题在运算中还存在若干与量词相关的等价式：
（1）量词转换律
（2）量词分配律
（3）消去量词等价式
设个体域为有穷集合（a 1 ，a 2 ，…，a n ），则有
（4）量词辖域收缩与扩张等价式
谓词公式是将谓词进行自由包含和组合所构成的公式，其中可能含有连接词和量词。由此定义，单个谓词也是谓词公式，被称为原子谓词公式。
一个谓词公式可以由多个具有不同个体域的谓词公式解释（即个体域中实体对谓词演算表达式的每个常量、变量、谓词和函数符号的指派，可以是一个原子谓词公式，也可以是一个量词辖域中的谓词公式）组成，而针对每个谓词公式解释，谓词公式都能够求出一个真值。因此，谓词公式的真假，可以被视为这些若干谓词公式解释的真假运算组合。
谓词公式具有以下性质：
定义 2.1 永真性。如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则P永真。
定义 2.2 永假性。如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则P永假。
定义 2.3 不可满足性。对谓词公式P，如果至少存在一个解释使得P在此解释下的真值为T，则称P是可满足的；否则，则称P是不可满足的。
定义 2.4 等价性。设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域，若对D上的任何一个解释，P与Q都有相同的真值，则称公式P和Q在D上是等价的；若D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记为P⇔Q。
除上述 4 个性质外，谓词公式还存在永真蕴涵的情况，即对于谓词公式P与Q，如果P→Q永真，则称公式P永真蕴涵Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记为P⇒Q。由此定义，可以得出以下推导式：
（1）化简式
（2）附加式
（3）析取三段论
（4）假言推理
（5）拒取式
（6）假言三段论
（7）二难推理
（8）全称固化
其中，y是个体域中任意客体，该式可以消去谓词公式的全称量词。
（9）存在固化
其中，y是个体域中任意客体，该式可以消去谓词公式的存在量词。
需要特别注意的是：如果用永真蕴涵式演算谓词，演算后的谓词与之前的谓词不再等价，此时需要用反证法进行结论的求证。
谓词逻辑的推理是命题逻辑推理的拓展，但是由于存在不同的量词辖域和多个变元，致使形式上相同的变元在经过推导后，各自拥有不同的含义。因此，要实现谓词到命题逻辑的转换，需要对谓词逻辑中的量词进行修改。其指导思想为：删除谓词逻辑式的量词，转换成有参数的命题逻辑式，使用命题逻辑推理方法完成推理，最终转换为谓词逻辑式。
通常按照以下几条转换规则进行：
①全称指定规则。（∀x）P（x），故P（a），a为个体域中任一客体。
②全称推广规则。若对个体域中任一客体a，都有P（a），则推出（∀x）P（x）。
③存在指定规则。（∃x）P（x），故P（a），a为个体域中某一客体。
④存在推广规则。若a个体域中存在某客体a，有P（a），则推出（∃x）P（a）a为个体域中某一客体。
例 2.4 求证 （∀x）（A（x）→B（x）） 和 （∃x）B（x）， 能够推出 （∃x）A（x）。
解 如果有 （∃x）B（x）， 按照存在指定规则 ， 那么有 B（a），a 是个体域中的某一客体 。
又因为 （∀x）（A（x）→B（x））， 按照全称指定规则 ， 那么有 A（a）→B（a）。
对 B（a） 和 A（a）→B（a）， 按照假言推理 ， 有 B（a）， 最终按存在推广规则 ， 证得 （∃x）A（x）。
一阶谓词逻辑表示法是一种重要的知识表示方法，该方法基于数理逻辑表示，利用形式化语言精确表达人类思维活动规律，与人类自然语言较为接近。因其能够方便地存储到计算机中并精确处理，一阶谓词逻辑知识表示法也是最早应用于人工智能的表示方法。
在人与人的日常交流中，一条知识能够用完整表述的句子表示，但这些知识通常缺乏一个规范化格式。因此，人们考虑使用谓词公式表示事物的状态、属性和概念等事实性的知识，也用于表示事物之间具有确定因果关系的规则性知识。在大部分情况下，一个个体只含有常量、变元的谓词公式（个体可以是函数但不可以是谓词，建议个体不含有函数）就能够表达一个基本概念，而存在多个概念时，使用谓词连接词将这些谓词公式连接起来就能够准确表达如事实性知识这样的复杂知识（如以合取符号“∧”和析取符号“∨”连接形成的谓词公式）。针对这样的谓词逻辑表示法，人们定义它为一阶谓词逻辑知识表示法。
例如，知识“小张住在 1508 号房间，他的电话是 2231”可以表示为：
其中，谓词公式Occupant（x，y）表示“x住在y号房间”，谓词公式Tel（x，z）表示“x的电话是”z。通常地，单个谓词公式不超过二元，也可以定义一个谓词Info（x，y，z）表示为“x住在y号房间，他的电话是z”，上例即可表示为：
但是，这样含有多元个体的谓词公式很容易具有狭义的局限性，如在其真值为假时，并不能确定其中的哪个个体导致了该命题的真假性。因此对这类情况，一般需要将其变换为若干个不超过二元谓词的方式，并用连接符连接起来。
由上可知，一阶谓词逻辑对知识的表示通常需要通过以下 3 个步骤建立。
①按照规范化的形式定义谓词及个体，确定各个谓词及个体的具体含义。
②根据需要表述的事物或概念，为每个谓词中的变元赋予特定值。
③根据所要表达知识的语义，用合适的连接词将各谓词连接起来，形成谓词公式。
一阶谓词逻辑表示知识的优点较为明显，主要体现在以下 4 个方面：
①精确性。谓词公式的逻辑值只有“真”“假”两种结果，可以较为准确地表示知识并支持精确推理。
②通用性。具有通用的逻辑演算方法和推理规则。
③自然性。谓词逻辑表示接近于自然语言，便于表示问题的理解。
④模块化。各条知识相对独立，不直接发生联系，有利于知识的添加、删除和修改。
同时，一阶谓词逻辑知识表示法也有不足之处，如仅能表示确定性知识，不能表示非确定性知识、过程性知识和启发性知识。而且知识的组织原则仍然具有随意性，知识库管理困难。同时，由于需要多个谓词公式的连接，从而导致“组合爆炸”效应，推理演算过程冗长，系统效率不高等。