3.2 截交线

如图 3.19 所示，在建筑形体表面上，经常见到平面与立体表面相交。这时，可认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面；截平面与立体表面的交线，称为截交线；立体被截切后的断面，称为截断面。

由图 3.19 可知，截交线既属于截平面，又属于立体表面，因此，截交线上的每个点都是截平面和立体表面的共有点。这些共有点的连线就是截交线。求作截交线的投影就是求截交线上一系列共有点的投影，并按一定顺序连接成线。由于立体具有一定的大小和范围，因此，截交线一般是封闭的平面图形。

3.2.1 平面立体的截交线画法

如图 3.19（a）所示，平面立体的表面是平面图形，因此，平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线。

（1）棱柱的截交线画法

求作棱柱的截交线就是求出截平面与棱柱表面的一系列共有点，然后依次连接即可。

如图 3.20（a）所示，已知斜截正四棱柱的两面投影，完成其左侧立面图。通过分析已知的两面投影图可知，截平面为一正垂面，截交线是一个五边形，五边形上的 5 个顶点是截平面与棱柱棱线及上表面的交线，如图 3.20（b）所示。

截交线的正立面投影积聚成一条。根据投影的类似性原理，截交线的水平面投影是一个五边形。同理，截交线的左侧立面投影为与其类似的五边形。根据截交线各顶点的正立面投影及水平面投影，并按照投影的“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，即可求得截交线顶点的左侧立面投影，依次连接各点即可绘制出截交线的左侧立面图，如图 3.20（c）所示。

因为棱柱的左、上部被切去，所以截交线的左侧立面投影可见。四棱柱右棱线的上半部分在左侧立面投影不可见，故画成虚线，如图 3.20（c）所示。

如图 3.21（a）—（d）所示为棱柱的截交线画法范例。

（2）棱锥的截交线画法

棱锥的截交线同棱柱一样也是平面多边形。当特殊位置平面与棱锥相交时，因棱锥的 3个投影都没有积聚性，故此时截交线与截平面有积聚性的投影重合，可直接得出，其余两个投影则需先在棱锥表面上定点，然后用作辅助线的方法求出。

如图 3.22（a）所示，已知斜截正四棱锥的两面投影，完成其平面图。通过分析已知的两面投影图可知，截平面为一正垂面，截交线是一个四边形，四边形上的 4 个顶点是截平面与棱锥棱线的交线，如图 3.22（b）所示。

截交线的正立面投影积聚成一条，左侧立面投影反映其类似形状。根据投影的类似性原理，截交线的水平面投影也应该是一个四边形。根据截交线各顶点的正立面投影及左侧立面投影，并按照投影的“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，即可求得截交线顶点的水平面投影，依次连接各点即可绘制出截交线的平面图，如图 3.22（ c）所示。因为棱锥的左、上部被切去，所以截交线的水平面投影可见。

如图 3.23（a）—（d）所示为棱锥的截交线画法范例。

3.2.2 曲面立体的截交线画法

如图 3.19（b）所示，平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。

曲面立体的截交线就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的投影依次光滑连接起来。当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。

（1）圆柱的截交线画法

如图 3.24 所示，平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有 3种不同的形状。

如图 3.24（a）所示，当截平面垂直于圆柱轴线时，截交线为圆，其水平面投影与圆柱面的水平面投影重合，正立面投影和左侧立面投影分别积聚成直线段。

如图 3.24（b）所示，当截平面平行于圆柱轴线时，截平面与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的两条平行线，与圆柱的截交线为矩形。由于截平面平行于正立投影面，因此，截交线的正立面投影反映实形，水平面投影和左侧立面投影分别积聚成直线段。

如图 3.24（c）所示，当截平面倾斜于圆柱轴线时，截交线为椭圆，其正立面投影积聚为直线段，水平投影面与圆柱面的水平面投影重合，左侧立面投影仍为椭圆。

如图 3.25（a）所示，补画开槽圆柱的左侧立面图。

如图 3.25（b）所示，圆柱的开槽部分是由两个平行于轴线的侧平面和一个垂直于轴线的水平面截切而成的。侧平面与圆柱的截交线是直线，其截平面都是矩形。水平面与圆柱面的截交线分别是槽底平面的前后两段圆弧。

因为矩形截断面是侧平面，其正立面投影有积聚性，投影为直线段。圆柱开槽的底面是一个水平面，其正立面投影有积聚性，投影也为直线段。

根据以上分析结果，先按照如图 3.25（ c）所示画出完整圆柱的左侧立面图。接着根据槽的正立面投影和水平面投影求作截交线的左侧立面投影即可完成作图，如图 3.25（d）所示。

如图 3.26（a）—（d）所示为圆柱的截交线画法范例。

（2）圆锥的截交线画法

圆锥被平面截切后产生的截交线，因截平面与圆锥轴线的相对位置不同而有 5 种不同的形状。当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个圆，如图 3.27（a）所示。当截平面与圆锥轴线斜交时，截交线是一个椭圆，如图 3.27（b）所示。当截平面与圆锥轴线斜交，且平行一条素线时，截交线是一条抛物线，如图 3.27（ c）所示。当截平面与圆锥轴线平行时，截交线为双曲线，如图 3.27（d）所示。当截平面过锥顶时，截交线是等腰三角形，如图 3.27（e）所示。

如图 3.28（a）所示，求作被正平面截切的圆锥的平面图。

如图 3.28（b）—（c）所示，由于截平面与圆锥面的轴线垂直，截交线是圆弧和直线，因此，其正立面投影和左侧立面投影具有积聚性，投影为直线段。如图 3.28（d）所示，截交线与水平面平行，因此，其水平面投影反映实形，为两个大小不等的圆弧面。

根据以上分析结果，先按照如图 3.28（ c）所示画出完整圆锥的平面图。接着根据截交线的正立面投影和左侧立面投影求作截交线的水平面投影即可完成作图，如图 3.28 （ d）所示。

（3）圆球的截交线画法

如图 3.29 所示，截平面与圆球相交，不论截平面与圆球的相对位置如何，其截交线在空间都是一个圆。当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形。当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线。当截平面倾斜于投影面时，截交线在该面上的投影为椭圆。

如图 3.30（a）所示，求作圆球截切后的平面图。

如图 3.30（b）所示，圆球被侧垂面和水平面截切，其截平面分别是水平圆弧面和垂直圆弧面，它们的水平投影分别是圆和直线段。

根据以上分析结果，先按照如图 3.30（ c）所示画出完整圆球的平面图。接着根据截交线的正立面投影和左侧立面投影求作截交线的水平面投影即可完成作图，如图 3.28 （ d）所示。