3.1 基本形体的投影图

在建筑工程中，经常会接触到各种形状的建筑物，这些建筑物及其构配件的形状虽然复杂，但是一般都是由一些形状简单、形成也简单的几何体组合而成的。在建筑制图中常把这些工程上经常使用的单一几何形体如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球和圆环等称为基本几何体，简称基本形体。

基本形体按其表面的性质不同，可分为平面立体和曲面立体。把表面全部由平面围成的基本几何体，称为平面立体，简称平面体。工程中常见的平面立体主要有棱柱、棱锥和棱台等，如图 3.1（a）所示。把表面全部或部分由曲面围成的基本几何体称为曲面立体，简称曲面体。工程中，常见的曲面立体主要有圆柱、圆锥和圆球等，如图 3.1（b）所示。

如图 3.2 所示为一个房屋建筑的模型，它可被分解为两个四棱柱和一个五棱柱。因此，理解并掌握基本形体的投影规律，对认识和理解建筑物的投影规律，更好地掌握识图与制图技能很有帮助。

3.1.1 平面立体的投影

如图 3.1（a）所示，平面立体的各表面均为多边形，称为棱面。各棱面的交线称为棱线。棱线与棱线的交点称为顶点。求作平面立体的投影就是作出组成平面立体的各表面、各棱线和各顶点的投影，由于点、线和面是构成平面立体表面的几何元素，因此绘制平面立体的投影，归根结底是绘制直线和平面的投影。其中，可见的棱线投影画成粗实线，不可见的棱线的投影画成细虚线，以区分可见表面和不可见表面。当粗实线和虚线重合时，可只画粗实线。

（1）棱柱

棱柱由两个相互平行的底面和若干个侧棱面围成，相邻两侧棱面的交线称为侧棱线，简称棱线。棱柱的棱线相互平行。如图 3.3 所示，建筑工程中常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱及六棱柱等。

1）棱柱的投影

以正六棱柱为例，如图 3.4（a）所示为正六棱柱的立体图。它是由上下两个正六边形底面和 6 个四边形的棱面构成。选择形体的正视方向时，需要考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状态。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直投影面。

如图 3.4（b）所示，从正六棱柱的投影图中可知，其平面图是一个正六边形。它是正六棱柱上下底面的投影，正六边形的 6 条边分别是 6 个棱面的积聚性投影，正六边形的 6 个顶点分别是正六棱柱的 6 条棱线的水平面投影。它反映了投影的积聚性。正立面图中 3 个并立的矩形是正六棱柱左、中和右 3 个棱面的投影，正立面图的外形轮廓分别是正六棱柱上下底面和左右棱线的投影。左侧立面图的两个并列的矩形是正六棱柱左右 4 个棱面的重叠投影，上下两条水平线是正六棱柱上下底面的积聚性投影，前后两条投影垂直线分别是正六棱柱前后棱面的积聚性投影，中间的垂直投影线则是正六棱柱左右两条棱线的重叠投影。

2）棱柱表面上求点

棱柱表面上求点可利用柱体表面的积聚性投影来作图。立体表面上的点一般用大写字母表示，如 M 。正立面图上立体表面上的点一般用小写字母加一撇表示，如 m′ 。平面图上立体表面上的点一般用小写字母表示，如 m 。左侧立面图上立体表面上的点一般用小写字母加两撇表示，如 m″ 。

如图 3.5 所示，已知正五棱柱的三面投影及其表面 ABCD 上点 M 的正立面投影 m′ ，求作它的另两个投影 m 和 m″ 。

根据已知条件，同时依据点 M 的正立面投影点 m′ 的可见性条件，推断出 M 点必在三棱柱前面的棱面上。利用棱柱各棱面的水平投影具有积聚性特点，可向下作辅助线直接找到点 M 的水平面投影 m ，最后可按“高平齐、宽相等”的投影规律求出点的左侧立面投影点 m″ 。

（2）棱锥

棱锥由一个底面和若干个三角形侧棱面围成，且所有棱面相交于一点，称为锥顶，常记为 S 。棱锥相邻两棱面的交线称为棱线，所有的棱线都交于锥顶 S 。工程中，常用的棱锥包括三棱锥、四棱锥和五棱锥等。

1）棱锥的投影

由如图 3.6 所示的正三棱锥的三面投影图中可知，其平面图是由 3 个全等的三角形组成。它们分别是 3 个棱面的水平投影，形状为等边三角形的外形轮廓则是三棱锥底面的投影。它反映了底面的实际形状。正立面图由两个三角形组成。它们是三棱锥左右三棱面的投影，而外形轮廓的等腰三角形则是后棱面的投影，其底边为三棱锥底面的投影。左侧立面图是一个三角形。它是左右两个棱面的重叠投影，靠里侧的斜边是侧垂位置的后棱面的投影，底边仍为三棱锥底面的投影。

2）棱锥表面上求点

棱锥表面上求点可在锥体表面上过点任意作一条直线作为解题的辅助线。为了作图方便，一般这条辅助线可绘制成过锥顶的直线或过点作平行于锥底的直线。

如图3.7 所示为过锥顶作辅助线法求作三棱锥表面上的点。已知三棱锥表面上的点 K 的正立面投影 k′ ，求作点 K 的水平面投影点 k 和左侧立面图的投影点 k″ 。首先在正立面图上过锥顶作辅助线 s′d′ ，接着利用“长对正”的投影规律求出点 d 和点 k ，最后利用“高平齐，宽相等”的投影规律求出点 d″ 和点 k″ 。

如图3.8 所示为过点作平行锥底辅助线法求作三棱锥表面上的点。已知点 K 的正立面投影点 k′ ，求作水平面投影点 k 和左侧立面投影点 k″ 。首先在正立面图上作辅助线 m′n′// a′c′ ，接着利用“长对正”的投影规律求作点 m ，然后在平面图上作 mn // ac 以求作点 n 和点 k ，最后利用“高平齐、宽相等”的投影规律求作左侧立面投影图上的点 m″ 、点 n″ 和点 k″ 。

3.1.2 曲面立体的投影

建筑工程中有很多种曲面，从几何形成来分，曲面可分为规则曲面和不规则曲面。建筑工程中常用的曲面一般是规则曲面。

由曲面围成或由曲面和平面围成的立体称为曲面立体，如圆柱体由圆形平面和柱面构成，圆环体由圆环面构成，圆锥体由圆锥面和锥底平面构成。只要作出围成曲面立体表面的所有曲面和平面的投影，便可得到曲面立体的投影。

建筑工程中常见的曲面立体包括圆柱、圆锥和圆球等。

（1）圆柱

如图 3.9（a）所示，圆柱面是由两条相互平行的直线，其中一条直线（称为母线）绕另一条直线（称为轴线）旋转一周而形成。圆柱体（简称圆柱）由两个相互平行的底平面（圆）和圆柱面围成。圆柱面上与轴线平行的直线称为圆柱面上的素线，素线相互平行。

圆柱面上有 4 条特殊的素线，它们分别位于圆柱面的最左、最右、最前和最后处，如图3.9（b）所示。

1）圆柱的投影

如图 3.10（a）所示，当圆柱的轴线为铅垂线时，圆柱面上所有素线都是铅垂线，圆柱面的水平面投影积聚成一个圆，圆柱面上的点和线的水平面投影都积聚在这个圆上。圆柱的顶面和底面是水平面，它们的水平面投影反映实形。在水平投影圆上用点画线画出对称中心线，对称中心线的交点是圆柱轴线的水平面投影。

圆柱的顶面和底面的正立面投影和左侧立面投影都积聚成直线。圆柱的轴线和素线的正立面投影和左侧立面投影仍是铅垂线，用点画线画出轴线的正立面投影和左侧立面投影。

圆柱的正立面图的左右两侧的投影线分别是圆柱面上最左、最右素线的正立面投影。圆柱的左侧立面图的前后两侧的投影线分别是圆柱面上最前、最后素线的左侧立面投影。

2）圆柱表面上求点

圆柱面上点的投影可利用投影的积聚性求出。

如图 3.11 所示，若已知圆柱面上点 A 的正立面投影 a′ ，求出它的水平面投影 a 和左侧立面投影 a″ 。

根据已知条件 a′ 可知，由此可知 A 点在前半个圆柱面上。利用圆柱的水平面投影具有积聚性可直接求出水平面投影点 a ，接着根据点 A 的两面投影 a 和 a′ 即可求出左侧立面投影点 a″ 。

（2）圆锥

如图 3.12 所示，圆锥面是由两条相交的直线，其中一条直线（简称母线）绕另一条直线（称为轴线）旋转一周而形成，交点称为锥顶。圆锥体（简称圆锥）由圆锥面和一个底平面（圆）围成。圆锥面上交于锥顶的直线称为锥面上的素线。

1）圆锥的投影

如图 3.13 所示，圆锥的平面图反映圆锥底面的实形。在平面图中，用点画线画出对称中心线，对称中心线的交点，既是轴线的水平投影，又是锥顶的水平面投影。

与圆柱的投影相似，圆锥正立面图中，等腰三角形的两腰是圆锥面上最左、最右两条素线的投影。它们是圆锥面的正立面投影轮廓线。最左、最右两条素线的左侧立面投影与轴线的左侧立面投影重合，不必画出。

圆锥左侧立面图中，等腰三角形的两腰是圆锥面上最前、最后两条素线的投影。它们是圆锥面的侧立面投影轮廓线。最前、最后两条素线的正立面投影与轴线的左侧立面投影重合，不必画出。

2）圆锥表面上求点

在圆锥面上求作已知点的其余两面投影，作图方法有素线法和纬圆法。

如图 3.14 所示为素线法求作圆锥表面上的点。若已知圆锥面上 M 点的正立面投影 m′ ，求作它的水平面投影 m 和左侧立面投影 m″ 。根据已知条件 m′ 可知，故 M 点位于前半个圆锥面上， m 必在水平投影中前半个圆内，且投影为可见。 m″ 在左侧立面投影中靠三角形外侧，投影也为可见。作图步骤如下：

①连 s′m′ 并延长，使与底圆的正面投影相交于 a′ 点。利用“长对正”的投影基本规律求出 sa 和点 m 。

②根据点 m′ 和 m ，应用“宽相等、高平齐”的投影规律求作点 m″ 。

如图 3.15 所示为纬圆法求作圆锥表面上的点。若已知圆锥面上 M 点的正立面投影 m′ ，求作它的水平面投影 m 和左侧立面投影 m″ 。根据已知条件 m′ 可知，故 M 点位于前半个圆锥面上， m 必在水平投影中前半个圆内，且投影为可见。 m″ 在左侧立面投影中靠三角形外侧，投影也可见。其作图步骤如下：

①作过 M 点的纬圆。在正立面图中过 m′ 作水平线，与正面投影轮廓线相交（该直线段即纬圆的正面投影）于点 1′和点 2′。

②取线段 1′2′的一半长度为半径，在平面图中画底面轮廓圆的同心圆（该圆是纬圆的水平面投影）。

③过 m′ 向下引投影连线，在纬圆水平投影的前半圆上求出 m ，并根据 m′ 和 m 即可求出 m″ 。

（3）圆球

如图 3.16 所示，圆球面是由圆（母线）绕它的直径（轴线）旋转一周而形成。圆球体（简称圆球）由圆球面围成。

1）圆球的投影

如图 3.17 所示，球的三面投影都是直径与球直径相等的圆。它们分别是这个球面的 3 个投影的转向轮廓线。正立面投影的转向轮廓线是球面上平行于正面的大圆（前后半球面的分界线）的正立面投影。水平面投影的转向轮廓线是球面上平行于水平面的大圆（上下半球面的分界线）的水平面投影。左侧立面投影的转向轮廓线是球面上平行于左侧面的大圆（左右半球面的分界线）的左侧立面投影。在球的三面投影中，应分别用点画线画出对称中心线，对称中心线的交点是球心的投影。

2）圆球表面上求点

圆球表面上求点只有一种方法，即纬圆法。

如图 3.18 所示，已知圆球面上点 A 的正立面投影 a′ 。求作它的另两面投影。

根据题意得知，点 a′ 为可见，因此 A 点位于前半球，而且还在上半球，故其水平面投影应为可见。又因 a′ 还在左半球上，故其左侧立面投影也必为可见。其作图步骤如下：

①过 a′ 作水平辅助纬圆，该圆的正立面投影为过 a′ 且垂直于铅垂轴线的水平线，其两端与正面转向轮廓圆交于 1′,2′两点。

②以 1′2′线段的一半长度为半径，以水平面投影轮廓圆的中心为圆心画圆，此即为辅助纬圆的水平面投影。

③由 a′ 向下引投影连线与辅助圆的前半圆相交得点 a ，然后再根据 a′ 及 a 即可按照投影的“三等关系”求作侧立面投影 a″ 。