前言

多项式插值作为重要的逼近工具之一，其理论和算法一直以来受到研究者们的广泛关注。按照插值条件的不同，多项式插值又可以分为Lagrange插值、Hermite插值及Birkhoff插值 3 种类型。前两种插值，由于满足齐次插值条件的多项式可以构成一个理想，因此也被称为理想插值；而后一种插值，满足齐次插值条件的多项式不能构成理想，因此也被称为非理想插值。近几十年以来,Groebner基理论的快速发展促进了理想插值理论的进一步完善，但其理论不能直接应用到非理想插值上，加之非理想插值条件的复杂性，使得研究成果远不如理想插值那么丰富。尤其是多元的非理想插值，虽然已有一些专著做了深入探讨，但多数是基于传统逼近论角度讨论Birkhoff插值求积公式、余项表示以及插值多项式的收敛性等问题，从代数几何角度出发研究插值基结构的成果较少；另一方面，所讨论的问题多限制在单项微分插值条件的情形，对于更一般的多项式微分插值条件的研究成果很少，且多数研究成果建立在精确插值结点集的基础上，未考虑结点的摄动。基于此，笔者从代数几何的角度出发，对多项式微分插值条件及摄动结点集的非理想插值问题进行研究，得到了若干研究成果，整理出《多元非理想插值的计算方法及应用》一书，呈现给读者，可供相关领域的研究者及高校教师参考，也可作为学习数值分析的学生的参考书.

本书内容安排如下：第 1 章绪论，主要介绍了Birkhoff插值问题的研究历史和现状，本书的主要研究成果及相关预备知识；第 2 章提出了更一般的多元Birkhoff插值格式，给出了插值格式正则性及奇异性的判定方法；第 3 章提出了基于多项式微分插值条件的多元非理想插值问题，并将理想插值中计算极小单项基的经典算法推广到非理想插值情形；第 4 章主要讨论了基于摄动结点集的非理想插值问题，给出了计算稳定单项基的BSMB算法，辅以数值算例，并将该算法应用于曲面重建，与传统算法相比,BSMB算法在结点摄动的情形下对曲面的逼近度更高.

在本书出版之际，衷心地感谢沈阳师范大学学术文库出版基金以及数学与系统科学学院对本书的资助；感谢数学学院的王贺元教授对系列丛书的大力支持；感谢数学学院的姜雪副教授对本书初稿所做的大量编辑与修改工作；同时，还要感谢重庆大学出版社的编辑同志和相关人员为本书的出版所付出的艰辛劳动.

崔凯
2022年12月