第四讲
弹性的学问

常言道：木秀于林，风必摧之。高大的树木，必然会首先遭受风雨的洗礼。即便如此，每一片森林中，还是会有无数向往蓝天的林木迎风而上，成为森林中最亮丽的风景。恰如我们历经艰险的中华民族，我们清醒地知道，我们越是长高，就越要承受更多的责难和压力，但我们还是要长高，我们的志向只有一个：“会当凌绝顶，一览众山小。”

然而，对于每一个志在蓝天的民族和个人，都希望战胜风雨，屹立不倒，这里边有没有学问呢？或许，关于弹性的知识可以给我们一些宝贵的建议。

一、弹簧与细丝的弹性

弹簧是大家再熟悉不过的物体，生活中用到的弹簧秤就是一根弹簧，一般由金属材料制成。它的模样如图4-1所示。

在初中学物理时，我们便学习了胡克定律。如图4-2所示，我们在弹簧的下端挂一个砝码，弹簧受到拉力，其长度会伸长。在弹性限度内，其伸长量与拉力大小成正比。而且，压缩时也满足同样的规律，可以统一用式（4-1）表示。

从图中可以看出，相对于图4-1的弹簧，图4-2中的弹簧金属丝缠绕得要稀疏一些。那么，弹簧对金属丝缠绕的疏密有没有规定呢？没有，即使是弹簧最终退化为一根直的细丝，在拉力的作用下，它依然会伸长，而且满足胡克定律。只不过伸长量很小，我们平常难以察觉罢了。

二、弹簧的串并联与固体的弹性

1.弹簧的串联

如图4-3所示，将两根相同的弹性细丝串联。设单根细丝的原长为 l ₀ ，则总的原长为2 l ₀ ，在拉力 F 的作用下，弹簧总的伸长量为2（ l - l ₀ ），根据胡克定律，有

也就是说，当两个相同的弹簧串联成一根新的弹簧时，其弹性系数为单根弹簧弹性系数的一半。

进一步分析，若 n 根相同的弹簧串联，则 k = 。

若将单根弹簧截断成相等长度的 n 节，则每一小节的弹性系数为 k = nk _单 。

综合起来考虑，我们可以得出结论：对于一根横截面积固定、长度可变的弹性细丝，其拉伸或压缩时的弹性系数与其长度成反比。

2.弹簧的并联

如图4-4所示， n 根相同的细丝弹簧并联，当施加拉力时，单根弹簧受到的拉力为合力的 ，由胡克定律可得

即

也就是说，将 n 根相同的细丝弹簧紧密排列在一起，便形成了一根长度不变、横截面积增大的“粗”丝弹簧。很显然，“粗”丝弹簧的弹性系数与其横截面积成正比。

3.固体的弹性

通过前面的讨论，我们知道，通过若干根细丝弹簧的无缝排列，可以形成任何形状的固体块。我们讨论如图4-5所示的圆柱形固体。

当圆柱体处于不受力的自由状态时，设长度为 l ₀ ，横截面积为 S 。

其受到作用力 F 的作用时，长度变为 l ，在一般情况下，固体形变较小，可近似认为横截面积 S 不发生变化。

根据前面的讨论，圆柱体的弹性系数与其长度成反比，与其横截面积成正比，则

式中， E 是由材料性质决定的常数，称为杨氏模量。

三、应变、应力及相互关系

我们将式（4-5）进行变形，得

很显然， 是柱体横截面上单位面积受到的拉力，我们称为应力； 是柱体产生拉伸形变的相对值，我们称为应变。

为了进一步说明应力、应变的物理意义，我们对图4-5所示的圆柱体重新进行虚拟分割，如图4-6所示，并对分割后的下半部分进行受力分析。

很明显，由于受力平衡，斜剖面上所受合力还是等于 F ，此力可以分解为垂直和平行于斜剖面两个方向，分别为法向力 F _N ，切向力 F _τ 。很显然，这两个力的存在，使得圆柱体不会在虚拟剖面处沿垂直斜剖面方向断开，也不会沿平行于斜剖面的方向滑动。

也就是说，固体在外力的作用下发生形变时，其内部各处也会相应发生形变，处于“紧张”状态，从而使固体内部也存在内力的相互作用。我们可以用虚拟剖面进行分割使内力表现出来，其根本原因是分子间的相对位置较不受力时发生了改变，从而引起了分子间作用力的变化。

式（4-6）正好对应虚拟剖面为横截面的情形，作用在截面上的力垂直于截面。我们将 定义为正应力，将 ε = 定义为线应变，则式（4-6）简化为

即：正应力与线应变成正比。

我们将 τ = 定义为切应力，它与什么有关呢？

如图4-7所示，左图为一立方体，中图为立方体的正视图，其底面积为 S ，高为 d 。右图所示，在拉力 F 的作用下，上表面相对于下表面的位移为 Δx ，我们将 γ =tan φ = 定义为剪切应变或切应变，则切应力与切应变的关系仍满足胡克定律，成正比关系。

其中， G 为材料切变模量。

当然，前面讨论的应力与应变的正比关系，都只适用于应变、应力较小时的情形。当应变大到一定程度，应力、应变将不再满足正比关系，但是，当外力消失，应变和应力都归零。物体回到原来的形状，这样的应变称为弹性应变。继续增大应变、应力到某一极限后，即使撤销外力后，物体也不会回复到原来的状态，这样的应变称为非弹性应变。再继续增大应变，物体会发生断裂，对应的应力和应变称为断裂点。

四、秀木的智慧

有了应力应变的知识，我们来研究一下挺拔的秀木如何抵抗狂风的摧残。

现实中的大树多姿多彩，树冠如盖，颇为壮观。为了分析简单，我们将大树简化成立方体模型。

设大树横截面的长和宽分别为 a ， b ，树高为 h 。

如图4-8所示，大树的迎风面积 S = bh ，迎风面积越大，则底面受到的剪切力越大，剪切应力越大。假设迎风面所受的作用力与迎风面积 S 、风速 v 成正比，比例系数为 k ，则大树底部横截面上的应力为：

根据应力应变的相关知识，树可以长高，但其能承受的最大应力却是基本不变的。当树长高时，为了保持应力不增加，必须增加 a ，即增加树干的宽度。当然，树干是圆形的，就是要让树干变粗，直径增大。

这便是秀木的第一个智慧： 欲求枝头高 ， 先长树干肥 。

正在上学的同学们是不是经常听老师讲要打好基础，要博览群书，要德智体美劳全面发展。

国家也一样，发展要全面，政治、经济、军事、教育、科技等协调发展，重在基础要扎实，如果只想在单一领域放卫星，以求领先世界，常常好梦难成。即使偶有成功，也常常难以为继。

具有弹性的物体，在外力的作用下，会改变形状，然而，这种形状的改变不是没有原则地随波逐流；当外力消失的时候，又能恢复原状，不改初心，回归本色。

在狂风到来的时候，飞沙走石，那些粗壮的大树勇敢地和狂风搏斗，树下的小花小草因为大树的遮挡才能从容生长。

树干弯了，树枝低头了，树叶掉了很多，甚至一些枝杈都被吹断了。但大树还是要努力地保持挺立，在狂风过后，又会昂首挺胸，继续向高处进发。我们欣赏大树的顽强，更欣赏大树的智慧。

那是 既要挺立 ， 又懂形变的智慧 。

人们都喜欢宁折不弯的硬汉，认为他们是真正的英雄。然而，真正改写历史的却常常是既有刚性又具弹性的智慧型英雄。

大树在狂风中暂时的弯腰低头，枝叶聚拢，从而减少了迎风的面积，受到的摧折力便减小一些，如此，既阻挡了狂风，又保护了自己。经历风雨过后，本色不改，越长越高，越长越壮，便能抵抗更大的狂风。这或许才是真正的坚韧，真正的刚强。

在森林中，除了大树最吸引目光之外，修竹也常常赢得人们的称赞。“咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。”

五、竹的智慧——固表而虚心

我们进一步来研究物体的弯曲形变。如图4-10所示，当一根直梁在力的作用下弯曲时，上层和下层的形变是不一样的。

很明显，横梁上层长度变短，下层长度变长。也就是说，上层是被压缩，下层是被拉长。

如果仔细分析横梁内部的应力，则横梁上层为压应力，下层为拉应力。而且，越是靠近表面，应力越大。

从上层到下层，由压缩到拉伸，必然存在一个中心层，其长度没变，既没有压缩，也没有伸长，应力为零。既然这一层没有应力，如果去掉，其力学性能不受影响。中心层附近应力很小，将里面掏空，横梁的力学性能不会受大的影响，却可以节省材料，减轻横梁的质量。

看到图4-11中的这些建筑材料，我们恐怕不能随便批评竹子外强中干了吧。事实上， 竹 子因为空心 ， 把好钢用在刀刃上 ， 把更多的力量用在重要的地方 ， 成就了竹子的坚韧 。在生活中，竹席、竹篱、竹床、竹筷、竹桥、竹筏、钓竿、扫把、扁担、床柱、手杖等不计其数。这些，都是利用了竹韧而轻的特性。

竹子的虚心不仅是其君子品性的主要特点 ，更是让人们的生活变得多姿多彩。因为竹的虚心，才有了玉笛声声脆，秦娥箫声咽；因为竹的虚心，才有了古人的引水槽，今天的竹筒饭；因为竹的虚心，才有了天然的水管、烟筒、吹火筒以及日常生活中的各种储具和量具等。我们应该感谢竹的虚心，感谢竹子为我们提供的物质和精神文明。

得到竹子真传的还有沙漠中的瓶子树（图4-12）。

瓶子树原产于南美，主要分布在南美洲的巴西高原上。其干如瓶，可以存储大量的水分，从而帮助它度过漫长的旱季。

“瓶子”中存水可达数吨，可以为游客和居民提供救命之水，解燃眉之急。

在我们的身体中，骨最懂得“固表虚心”的真谛。

骨骼是人体的支持系统。没有骨骼，我们就成了一摊烂泥。长辈经常教育我们，做人要挺直腰杆，要有骨气。

骨除了刚硬之外，最大的妙处是它的“虚心”。“虚心”，在不降低骨力学性能的同时，为生命的灿烂创造了空间。骨骼的外表抵抗了外力，在中心营造了一个安全、安静的空间。在这个空间里，柔软的骨髓不停地工作，红细胞、粒细胞、单核细胞、淋巴细胞和血小板等源源不断地被创造出来，才有了我们生命不可或缺的满腔热血。头盖骨的功劳更大，在它安全的“心”中，娇嫩的脑组织无拘无束，智慧和灵感不断地迸发，这才有了宇宙中的万物之灵。

坚强勇敢的边防军人，战高原、斗雪山，以血肉之躯抵挡着各种腥风血雨，万千忠魂围成神州大地上最坚硬的“头骨”，在“头骨”的空心里，幼苗茁壮成长，青年放飞梦想，老人幸福安康……

感谢所有为保证“空心”安全安宁而承受重负的人们，感谢竹子“固表虚心”的高级智慧。

思考题

1.查阅资料，了解骨折断面的主要类型，试用弹性知识分析原因。

2.梳理一下自己的学习和生活，想一想是哪些人给我们营造了自由安全的学习和生活空间，他们分别做了哪些事情？承受了什么样的重负？

3.你心目中“固表虚心”的含义是什么？“固表虚心”对我们生活、处世有什么启示？ FFKzLyb9Fg7GJJn6iJYVqfeYVQfbdu2qA7m6i2/gPqj6Tru3W/sryPluXmWPZ6Gm