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定义1-19
设
，其中，
A
是
m
阶非奇异矩阵，
D
=
CA
-1
B
为
M
关于
A
的Schur补，记作
M
/
A
。
定义1-20 设 F ：[ a ， b ]→ℝ是函数，定义右上Dini导数为
注1-2 若函数的导数存在，其右上Dini导数与导数相等。
定义1-21 [119] 如果 n 阶矩阵 A =（ a ij ）满足条件 a ii ＞0， a ij ≤0， i ≠ j ，并且有下列条件之一成立：
1） A 的所有特征值的实部都为正的。
2） A 的所有主子式都是正的。
3） A 的所有顺序主子式都是正的。
4） A 的逆存在且为非负矩阵。
5）有正向量 x ，使 Ax 为正向量。
6）对实向量 x ，若 Ax 非负，则 x 非负。
7）若 D =diag（ A ）， C = D-A ， B = D -1 C ，则 ρ （ B ）<1，这里， ρ （ B ）为 B 的特征值的模的最大值（含绝对值），也称为 B 的谱半径。
8） B = λ E-A 为非负矩阵，其中， E 为单位矩阵， λ > ρ （ B ）。
9）若 B 满足 b i i >0， b i j ≤0， i ≠ j ，且 b i j ≥ a i j ， i ， j =1，2，…， n ，则 B 的逆存在。
则称 A 为Minkovski矩阵，或非奇异M-矩阵，简称M-矩阵。
注1-3 定义1-21中的条件1）～9）互相等价。另外，本书中的M-矩阵都是指非奇异的M-矩阵。
定义1-22 如果 n 阶矩阵 A =（ a i j ）存在向量 d =（ d 1 ， d 2 ，…， d n ） T ，使得
则称 A 为广义严格对角占优矩阵。
定义1-23 设 X 是一个非空集合， T 是 X 到 X 中的映射，若果存在 x * ∈ X ，满足 Tx * = x * ，则称 x * 为映射 T 的不动点。
定义1-24 设（ X ， ρ ）为度量空间， T 是 X 到 X 中的映射，如果存在数 α （0< α <1），使得对所有的 x ， y ∈ X ，都有 ρ （ Tx ， Ty ）≤ αρ （ x ， y ），则称 T 是压缩映射， α 称为压缩系数。
显然压缩映射为连续映射。1922年Banach（巴拿赫）给出压缩映射原理，也称为Banach不动点定理，是度量空间理论的一个重要工具。
引理1-1 （Banach压缩映射原理）设（ X ， ρ ）为完备度量空间， T 是 X 到 X 中的映射，则 T 有唯一的不动点，即存在唯一的 x * ∈ X ，使得 Tx * = x * 。
注1-4 Banach压缩映射原理又称Banach不动点定理。完备度量空间是指该空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。
引理1-2 （Brouwer不动点定理）设 D 是ℝ n 中有界凸闭集， Φ ： D → D 连续，则 Φ 在 D 上必有不动点。
注1-5 Brouwer不动点定理可扩展到 n 维拓扑向量空间中闭凸体上的连续映射，并广泛应用于各种方程解存在性定理的证明。
引理1-3 对于任意 a ， b ∈ℝ， ε ＞0，则
εa 2 + ε -1 b 2 ≥2 ab
引理1-4 对于任意 a ， b ∈ℝ n ， ε ＞0，有
2 a T b ≤ ε a T Xa + ε -1 b T X -1 b
和
2 a T Xb ≤ a T Xa + b T X -1 b
成立，其中矩阵 X ∈ℝ n × n ，且 X ＞0。
引理1-5 对于任意 X ， Y ∈ℝ n × n ， P ∈ℝ n × n ，且 p ＞0， ε ＞0，有
X T Y + Y T X ≤ ε X T X + ε -1 Y T Y
或
X T Y + Y T X ≤ ε X T PX + ε -1 Y T P -1 Y
引理1-6 [120] （Schur补定理）线性矩阵不等式
这里 Q （ x ）= Q T （ x ）， R （ x ）= R T （ x ），等价于
R （ x ）＞0， Q （ x ） -S （ x ） R -1 （ x ） S T （ x ）＞0
或
Q （ x ）＞0， R （ x ） -S T （ x ） Q -1 （ x ） S （ x ）＞0
引理1-7 （Jensen不等式）对任意正定矩阵 Q ＞0，标量 γ ＞0，向量函数 ω ：[0， γ ]→ℝ n ，有
引理1-8 （Young不等式）对于任意 a ， b ∈ℝ， a ＞0， b ＞0， p ≥1，则
a p -1 b ≤（ p -1）/ pa p +1/ pb p