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比例时滞是众多时滞之一，不同于常时滞、有界变时滞和分布时滞，它是时变的且无界的时滞，同时也是一种客观存在，如在计算机网络的QoS（服务质量）算法中通常是要求比例时滞保证的 [51-53] 。由于大量具有不同尺寸轴突的并行路径的存在，使得神经网络通常具有空间属性，在一段时间内，通过引入连续的比例时滞建立模型是值得期待的。因此，根据神经网络的拓扑结构与实际神经网络模型（即电路系统）的材料选择不同，在某些神经网络中引入比例时滞是完全合理的。因此，研究具比例时滞神经网络的动态行为，对实际应用起到了非常重要的理论指导作用。
2011年，周立群首次将比例时滞引入细胞神经网络，对具比例时滞神经网络 [54]
通过非线性变换将具比例时滞的细胞神经网络等价变换为具常时滞变系数的细胞神经网络，利用构造特殊的Lyapunov泛函的方法研究了该系统的全局散逸性。其中 q i ， i =1，2为比例时滞因子，满足0< q i <1。比例时滞函数为 τ i （ t ）=（1 -q i ） t ，时滞函数与时间 t 成比例，故称比例时滞函数，且当 t →+∞时， τ i （ t ）=（1 -q i ） t →+∞，即比例时滞函数是无界的和时变的。正是由于比例时滞函数的这种时变的无界性使得其在具比例时滞神经网络的各种动力学行为准则推导过程中比较棘手，比如一般的Lyapunov泛函、Halanly不等式等方法都较难直接处理比例时滞。
尽管比例时滞和分布时滞都是无界时变时滞，但是两者之间有很大差异。如文献［31-36］中，分布时滞具有的时滞核函数
k
ij
：ℝ
+
→ℝ
+
是非负实值连续函数，且满足
，并且存在一个正数
μ
使得
。正是因为核函数这些条件，使得在稳定性条件的推到过程中，分布时滞相对容易处理。然而，在神经网络动力学行为的推导过程中，与分布时滞相比，在
t
→+∞时，比例时滞函数
τ
（
t
）=（1
-q
）
t
→+∞，且没有其他的条件，使得比例时滞很难处理。另外，除分布时滞外，在具有时滞的神经网络动力学行为的研究中，大多数时滞函数
τ
（
t
）都是要求有界的，如文献［23-30］中要求时滞函数
τ
（
t
）满足0≤
τ
（
t
）≤
τ
和其他条件，使得在稳定性条件的推导过程中，时滞项比较容易处理。而比例时滞函数
τ
（
t
）=（1
-q
）
t
随着时间
t
>0的增长是一个单调无界连续函数，处理起来比较困难，许多常规的研究方法不能直接用来研究具比例时滞神经网络的动力学性质。但是具比例时滞神经网络的优点是可以根据比例时滞因子大小和网络允许的最大时滞来控制网络的运行时间。在比例时滞存在的情况下，确保所设计的网络是稳定的很重要，因为只有稳定的网络才可以被应用。因此，研究具比例时滞神经网络的动力学行为具有重要的理论意义。
目前，关于比例时滞递归神经网络的动力学行为的研究也取得了一些有意义研究成果。文献［55-57］对文献［54］中的模型通过不同的方法，如非线性测度 [55] 、Lyapunov稳定性理论 [56] 及构造时滞微分不等式 [57] 等进行了研究。下面列举一些具比例时滞递归神经网络模型的动力学行为的研究情况。
2013年，文献［58］通过应用内积性质的方法研究模型
得到该系统全局散逸性的充分条件，这种内积的方法对其他时滞神经网络的散逸性研究也提供了新思路、新方法。2014年，文献［59］应用构造Lyapunov泛函方法研究了该系统的全局渐近稳定性。
同年，文献［60］通过应用矩阵理论和Lyapunov稳定性理论研究模型
得到该系统时滞依赖的全局指数稳定性的充分条件。2016年，文献［61］通过构造Lyapunov泛函和时滞微分不等式研究了该系统的全局指数周期性与稳定性。
2014年，文献［62］通过应用矩阵理论和Lyapunov稳定性理论研究模型
的全局渐近稳定性。
同年，文献［63］讨论了具比例时滞杂交双向联想记忆神经网络
利用Brouwer不动点定理和构造时滞微分不等式，得到了确保系统全局指数稳定的时滞独立的充分条件。文献［64］考虑上述模型当 p j = q 1 ， q j = q 2 时，利用矩阵范数性质及构造时滞微分不等式方法研究该模型的全局指数稳定性。
2015年，文献［65］讨论了具比例时滞高阶神经网络
基于Lyapunov稳定性理论，利用矩阵测度和推广的Halanay型不等式的方法，得到了保证系统 p 阶指数稳定的充分条件。同年，文献［66］以
为驱动系统，以
为响应系统，其中 u i （ t ）表示控制输入，通过构造适当的Lyapunov泛函，研究了该驱动-响应系统的全局同步性。
2016年，文献［67］讨论了具比例时滞竞争神经网络
通过不动点定理与构造时滞微分不等式的方法，给出该系统平衡点存在唯一及指数稳定的充分条件。
2016年，文献［68］讨论了如下具比例时滞脉冲递归神经网络
通过应用固定点定理和一些不等式的分析技巧，获得了两个新的保证系统平衡点存在唯一且全局指数稳定的新的充分条件。
2017年，文献［69］利用构造Lyapunov泛函，研究了带Markov（马尔可夫）跳的具比例时滞脉冲递归神经网络
的时滞依赖的指数稳定性，其中 { r （ t ）， t ≥1} 表示右连续的Markov过程。
同年，文献［70］对随机具比例时滞神经网络
初始条件为
x
i
（
s
）=
φi
（
s
），
s
∈[
q
，1]，
，通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函，应用随即分析理论和Itô公式，得到该系统的输入状态的均方指数稳定性。文献［71］讨论了具多比例时滞忆阻神经网络模型
的无源性，通过应用微分包含理论，获得了一些保证该系统无源性的充分条件。
2018年，文献［72］通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函和矩阵不等式方法讨论了
具比例时滞脉冲递归神经网络的时滞依赖和时滞独立的无源性。
与此同时，国内外的一些学者对具比例时滞的神经网络的研究给予了关注。Hiena和Son [73-74] 通过建立时滞微分不等式、微分不等式的比较方法和M-矩阵理论，研究了具比例时滞的神经网络的有限时间稳定性和散逸性。Yu、Liu和Xu等 [75-78] 应用时滞微分不等式的方法研究了几类具多比例时滞细胞神经网络和一般双向联想记忆神经网络的有限时间稳定性和全局指数收敛性。Zheng、Li和Cao [79] 应用Lyapunov泛函、矩阵测度和广义Halany不等式研究了具比例时滞高阶网络的稳定性。Feng、Wu和Wang等 [80] 应用Lyapunov泛函理论和不等式技巧，研究了一类具比例时滞神经网络的指数同步性。Song、Zhao和Xing等 [81] 利用非线性测度的方法研究了具多比例时滞和脉冲的细胞神经网络的全局渐近稳定性。Wang、Li和Peng等 [82] 应用微分包含的方法研究了具比例时滞忆阻神经网络的反同步性，得到时滞相关的反同步性判据。在文献［83-86］中，通过构造Lyapunov泛函，分析了具比例时滞神经网络的无源性、同步性、全局渐近稳定及鲁棒性等。
目前具比例时滞神经网络动力学行为的研究还比较缓慢，一方面受比例时滞微分方程理论研究发展水平的制约，另一方面，当时间趋于无穷时，比例时滞函数也趋于无穷，且没有其他条件的限制，在具体的推导过程中不容易处理。尽管分布时滞与比例时滞都是无界时滞，但它们却有很大的区别。就分布时滞而言，它的延迟核函数具有良好的性质使得分布时滞项在不等式的具体推导中比较容易处理。虽然分布时滞也是无界时滞，且分布时滞神经网络的动力学研究相对成熟，但是还有一定的不足，目前所得到的具分布时滞的神经网络的动力学判定准则基本上都是时滞独立的，即与时滞的大小无关。这并不能完全反映网络运行过程中对时滞的依赖性关系。而比例时滞能比较好地解决这样的问题。具比例时滞神经网络可以根据比例时滞因子的大小，确定网络时滞的大小，进而可以根据网络所能允许的最大时滞合理地确定网络运行时间。另外，所得到的动力学性质（如稳定性准则）可以是时滞依赖的，也可以是时滞独立的。这样就可以根据网络的实际情况运用相应的判定准则判定该网络是否是稳定的。正是由于这种良好的特性，才促使我们对具比例时滞神经网络的动力学行为进行研究。
