前言

神经网络所具有的非线性映射特性、高度并行的运算能力、联想存储功能、自组织自学习能力使其广泛应用于联想记忆、模式识别、图像处理、信息工程、机器人控制等领域。这些应用大都要求神经网络是稳定的，又因为网络运行中时滞是不可避免的，因此时滞神经网络的各种稳定性得到国内外学者的广泛研究。

2004—2007年，我在哈尔滨工业大学读博士期间，有幸参加了刘明珠教授的时滞微分方程数值解的研究生讨论班，在这里接触到了比例时滞。期间我查阅国内外大量文献，发现关于时滞神经网络的动力学行为的研究都集中在常时滞、变时滞、分布时滞或混合时滞等神经网络。但是没有任何关于具比例时滞神经网络研究的相关报道。比例时滞也是众多时滞之一，是一种无界时变时滞。由于神经网络具有大量不同尺寸轴突的并行路径的空间属性，所以在一段时间内，通过引入连续的比例时滞建立模型是值得期待的。换句话说，根据神经网络的拓扑结构与实际神经网络模型（即电路系统）的材料选择不同，在某些神经网络中引入比例时滞是完全合理的。当时我就试着研究具比例时滞的神经网络的稳定性，但是一般的研究方法都无法直接处理比例时滞的无界性，这可能就是当时没有有关具比例时滞神经网络研究报告的原因之一。具比例时滞神经网络属于比例时滞微分方程的范畴，但比例时滞微分方程的发展相对缓慢，至今还未形成完善的理论体系，这或许是制约具比例时滞神经网络发展的另一个原因。郑祖麻先生曾指出：针对各种具体问题得到的具无界时滞的微分方程，利用经典分析方法给出详尽的研究是十分有意义的。这句话更加坚定了我的信心，之后的几年一直致力于寻求研究具比例时滞神经网络动力学行为的有效的研究方法。因为若能研究得到具比例时滞神经网络动态行为的相关性质和理论，对建立和构造具体可实际应用的具比例时滞神经网络将起到非常重要的理论指导作用。

经过坚持不懈的努力与探究，2011年，我首次将比例时滞引入细胞神经网络，提出具比例时滞细胞神经网络模型，自此开启了具比例时滞神经网络动力学研究的历程。比例时滞是不同于常时滞、可变时滞、分布时滞的一种无界时变时滞。具比例时滞神经网络的优点是可以根据比例时滞因子的大小及网络所能允许的最大时滞来确定网络的运行时间。

本书是我近年来一些研究成果的总结，主要内容都是从我和学生近年来发表的论文中所提炼的，其中有些结果还处于待发表阶段。全书以各种具比例时滞递归神经网络为主线对各种具比例时滞神经网络的稳定性进行论述，并通过诸多数值算例进行仿真阐释。

本书内容安排如下：

第1章概述了递归神经网络、时滞递归神经网络、具比例时滞神经网络研究情况，时滞微分方程稳定性理论，比例时滞微分方程等。

第2章介绍了具单比例时滞细胞神经网络的渐近稳定性。

第3章介绍了具多比例时滞递归神经网络的渐近稳定性。

第4章介绍了具比例时滞递归神经网络的多项式稳定性。多项式稳定性是较指数稳定性更一般的一种稳定性，通过非线性变换将具比例时滞神经网络变换为常时滞和变系数神经网络，通过讨论变换后的模型平衡点的全局指数稳定性，来探讨比例时滞神经网络平衡点的多项式稳定性。

第5章介绍了具比例时滞双向联想神经网络的多项式稳定性。

第6章介绍了具比例时滞递归神经网络的周期解的稳定性。包括：具多比例时滞递归神经网络的多项式周期性与稳定性；具比例时滞神经网络概周期解的多项式稳定性；具比例时滞分流抑制细胞神经网络概周期解的全局吸引性；具比例时滞递归神经网络反周期解的多项式稳定性。

第7章介绍了具比例时滞神经网络的散逸性。

第8章介绍了具比例时滞二阶神经网络的稳定性，包括具比例时滞二阶Hopfield神经网络的多项式稳定性和具比例时滞高阶广义细胞神经网络多项式周期性。

第9章对基于比例时滞Lagrange神经网络稳定性的求解二次规划最优解问题进行了初步探讨。

目前具比例时滞神经网络动力学行为研究还处在发展的初期，还有巨大的研究与发展空间。本书旨在引领具比例时滞神经网络动力学的深入研究，为具比例时滞神经网络的实际应用奠定了一定的理论基础。

由于篇幅有限，本书尚有许多具比例时滞递归神经网络的动力学内容和方法没有涉及，有兴趣的读者可在本书所附的参考文献中查到具体文章。本书部分内容来源于研究生讨论班，感谢这期间已经毕业的研究生张迎迎、常青、翁梁燕、赵山崎、刘纪茹、刘学婷、赵忠颖、苏丽娟、郭盼盼等，他们的很多建议和部分硕士学位论文充实了本书内容。

在本书编写过程中，天津师范大学王贵君教授给予了指导，赵志学老师对部分数值仿真程序的编写给予了无私的帮助，英国利物浦大学刘凯教授对多项式稳定性的概念及相关文献给予了大力支持，东南大学博士后赵桂华老师对本书提出了宝贵的意见，研究生苏丽娟和郭盼盼将我的部分已发表英文文章翻译成中文，周瑞和邢琳对部分手稿进行了校订，在此一并向他们表示衷心的感谢。

最后，诚挚感谢天津市高校中青年骨干教师创新人才培养计划项目（No.135305JF63）和天津市自然科学基金项目（No.18JCYBJC85800）的基金资助，感谢天津师范大学数学科学学院领导的关心与支持。

由于作者水平有限，书中难免存在不妥之处，恳请广大读者批评指正，提出宝贵意见。

周立群