3.1 具不等比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性

比例时滞是一种无界时变时滞，目前关于具比例时滞细胞神经网络的动力学研究已取得了一些研究成果 ^[1-15] 。比例时滞是众多时滞之一，具比例时滞神经网络可根据比例时滞因子的大小及网络所允许的最大时滞来控制网络的运行时间。本节针对一类具比例时滞细胞神经网络，通过非线性变换，同胚映射理论及Lyapunov理论，分析该系统的全局渐近稳定性。

3.1.1 模型描述及预备知识

考虑如下具比例时滞细胞神经网络 ^[1] ：

其中， f _j （·）， g _j （·）， j =1，2，…， n 表示激活函数， q _j 是比例时滞因子，满足0＜ q _j ≤1， q _j t = t -（1 -q _j ） t ，（1 -q _j ） t 是时滞函数，且当 t →∞时，（1 -q _j ） t →∞，（ q _j ≠1），即此时时滞函数是无界函数， φ _i （ s ）∈ C （[ q ，1]，ℝ）表示初始函数， q = }。其余参数意义与第2章模型的相同。

假设激活函数满足如下条件：

其中， u ， v ∈ℝ， j =1，2，…， n 。

令

由式（3-3），系统（3-1）等价地变换成如下模型

其中， _ψi （ s ）= φi （e ^s ）， _ψi （ s ）∈ C （[ -τ ，0]，ℝ）， τ _j =-ln q _j ≥0， 。

注3-1 容易验证，系统（3-1）和系统（3-4）具有相同的平衡点，因此要研究系统（3-1）的平衡点的稳定性，只要研究系统（3-4）的平衡点的稳定性即可。

定义3-1 如果 K 是连续的，且它是一一映射，并且它具有逆映射 K ^-1 ，且 K ^-1 也是连续的，那么映射 K ：ℝ ⁿ ↦ℝ ⁿ 就是到其自身的一个同胚映射。

引理3-1 设函数 K ：ℝ ⁿ ↦ℝ ⁿ 保持连续。如果函数 K 满足以下两个条件：① K （ y ）是ℝ ⁿ 上的单射；②当‖ y ‖→∞时，‖ K （ y ）‖→∞，则 K 是同胚映射。

3.1.2 平衡点的存在性和唯一性

设 是系统（3-4）的平衡点，则有

相应的矩阵形式为

因此，由式（3-5）定义映射 H ：

其中， f （ y ）=（ f 1（ y 1）， f ₂ （ y ₂ ），…， fn （ yn ）） ^T ， g （ y ）=（ g ₁ （ y ₁ ）， g ₂ （ y ₂ ），…， gn （ yn ）） ^T ， H （ y ）=（ h ₁ （ y ₁ ）， h ₂ （ y ₂ ），…， h _n （ yn ）） ^T ， h _i （ yi ） =-d _i yi （ t ） + 。

引理3-2 假设条件式（3-2）成立，且

成立，则由式（3-6）定义的映射 H 是一个单射。

证明 要证明映射 H 是一个单射，即要证明当 时，有 H （ y （ t ））≠ 。

由式（3-2）得到

令 ，有 τ _j ）），则

进而

由式（3-7），可知

这意味着至少存在这样一个指标 k ≠ i ，使得 ，则有 D ⁺ ，即 ，故 ，从而可以得到 ，因此映射 H 是单射。

引理3-3 假设式（3-2）和式（3-7）成立，则由式（3-6）所定义的映射 H 为ℝ ⁿ 上的同胚映射。

证明 由引理3-2，可知 H 是单射，则由引理3-1，可知只需要证明当‖ y ‖→∞时，‖ H （ y ）‖→∞即可。令

H ^* （ y （ t ））= H （ y （ t ）） -H （ 0 ）=col{ h _i ^* （ yi （ t ））}

其中， ，有

又因为‖ H ^* （ y ）‖和‖ H （ y ）‖是等价的，所以只要证明当‖ y ‖→∞时，‖ H ^* （ y ）‖→∞。

其中， 。

因此，可以得到

即

-γyi （ t ）/ n ≤‖ H ^* （ y ）‖

从而，当‖ y ‖→∞时，‖ H ^* （ y ）‖→∞，故当‖ y ‖→∞时，‖ H （ y ）‖→∞。由引理3-1，可知映射 H 为ℝ ⁿ 上的同胚映射。

定理3-1 如果式（3-2）和式（3-7）成立，则系统（3-4）存在唯一的平衡点 y ^* 。

证明 由引理3-3可知， H 为ℝ ⁿ 上的同胚映射，因此有唯一的 y = y ^* ，使得 H （ y ^* ）= 0 。故系统（3-4）存在唯一的平衡点 y ^* 。

3.1.3 全局渐近稳定性

定理3-2 若式（3-2）和式（3-7）成立，则系统（3-4）的平衡点是全局渐近稳定的。

证明 构造如下正定的Lyapunov泛函

于是 V （ t ）沿着系统（3-4）对时间 t 的导数为

假设 z （ t ）=（ z ₁ （ t ）， z ₂ （ t ），…， z _n （ t ）） ^T ≠ 0 ，即至少存在某个 z _i （ t ）≠0，由式（3-7），可知

再由式（3-8），有 D ⁺ V （ t ）<0。

假设 z （ t ）=（ z ₁ （ t ）， z ₂ （ t ），…， z _n （ t ）） ^T = 0 ，则 z _i （ t ）=0， i =1，2，…， n ，有 V （ t ）=0，则有 D ⁺ V （ t ）=0。

综上可知，只有当 z _i （ t ）=0， i =1，2，…， n 时， D ⁺ V （ t ）=0；当在某 z _i （ t ）≠0时， D ⁺ V （ t ）＜0。同时，当‖ z （ t ）‖→+∞时， V （ t ）→+∞，即 V （ t ）是径向无界的。因此，系统（3-4）的平衡点是全局渐近稳定的。

3.1.4 数值算例及仿真

例3-1 考虑如下二维具比例时滞细胞神经网络

其中， ， q 1=0.5， q 2=0.6，激活函数取为

显然， L ₁ =1， L ₂ =0.5， M ₁ =1， M ₂ =1。

当 i =1时， ；

当 i =2时， ，

所以满足定理3-1和定理3-2的条件，因此系统（3-8）具有唯一平衡点，且它是全局渐近稳定的。经计算该系统平衡点为（0.2175，1.4375） ^T ，全局渐近稳定性的仿真结果如图3-1和图3-2所示。