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本节通过构造Lyapunov泛函讨论具比例神经网络的全局渐近稳定性，所得结果以线性矩阵不等式（LMI）的形式给出，便于应用Matlab进行验证。
本节仍然讨论2.1节和2.2节中的具比例时滞递归神经网络模型 [30]
设激活函数 f （·）=（ f 1 （·）， f 2 （·），…， f n （·）） T ，每个 f j （·）， j =1，2，…， n 满足下面条件：
（ H 1 ） f j （ ξ ） ≤ M ， ξ ∈ℝ， M ＞0， f j （0）=0；
（ H 2 ）0≤ f j （ x ） -f j （ y ）≤ l j （ x-y ），∀ x ， y ∈ℝ， L =diag（ l 1 ， l 2 ，…， l n ）， l j ≥0。
由激活函数满足条件（ H 1 ）和（ H 2 ），可知系统（2-35）的平衡点一定存在。
令 u （ t ）= x （e t ），则式（2-35）变换成
其中， ξ （ s ）= φ （e s ）∈ C （[ -τ ，0]，ℝ n ）。
设系统（2-36）存在平衡点
。令
y
（·）=
u
（·）
-u
*
，则式（2-36）可以变为
其中， ψ （ s ）= ξ （ s ） -u * 。
定理2-6 在条件（ H 1 ）和（ H 2 ）下，如果存在正定对称的矩阵 P 、 Q 、 Z 和正定对角矩阵 C 、 C 1 、 C 2 、 C 3 、 C 4 ，使得矩阵满足 Ξ <0，则系统（2-35）的平衡点是全局渐近稳定的。其中，
其中， τ =-ln q ≥0。
证明 选取如下正定的Lyapunov泛函
则 V i （ t ）， i =1，2，3，4沿系统（2-37）对时间 t 的导数分别为
由条件（ H 2 ），有以下不等式成立
进一步，如果存在正定的对角矩阵 C i ， i =1，2，3，4，并且有以下不等式成立
于是，得
其中， e T （ t ）=（ y T （ t ）， f T （ y （ t ））， y T （ t-τ ）， f T （ y （ t-τ ））），矩阵 Ξ 为定理2-6中所示。
在（2-38）式中，
，当且仅当
y
（
t
）=
y
（
t-τ
）=
f
（
y
（
t
））=
f
（
y
（
t-τ
））=
0
。满足了Lyapunov全局渐近稳定定理的条件，因此定理2-6得证。
定理2-7 如果存在正定对称的矩阵 P 、 Q 和正定对角矩阵 C 、 C 1 、 C 2 、 C 3 、 C 4 ，并且矩阵满足 Θ <0，那么系统（2-35）的平衡点是全局渐近稳定的。其中
证明 构造如下正定的Lyapunov泛函
这里， V 1 （ t ）、 V 3 （ t ）、 V 4 （ t ）沿系统（2-35）的导数同定理2-6。
如果存在正定的对角矩阵 C i ， i =1，2，3，4，满足定理2-6中的证明过程中的不等式 Δ 1 ≥0， Δ 2 ≥0，则有
其中， e T （ t ）=（ y T （ t ）， f T （ y （ t ））， y T （ t-τ ）， f T （ y （ t-τ ））），矩阵 Θ 为定理2-7中所示。
在式（2-39）中，
，当且仅当
y
（
t
）=
y
（
t-τ
）=
f
（
y
（
t
））=
f
（
y
（
t-τ
））=
0
。满足了Lyapunov全局渐近稳定定理的条件，因此定理2-7得证。
例2-5 考虑如下二维具比例时滞递归神经网络
其中，
。取激活函数为分段线性函数
f
j
（
x
j
（
t
））=0.5（|
x
j
（
t
）+1|-|
x
j
（
t
）-1|），
j
=1，2。显然，
f
j
（
x
j
（
t
））的Lipschitz常数为
l
j
=1，
j
=1，2。有
τ
=-ln
q
=-ln0.5≈0.6931。
运用Matlab线性工具箱LMI，得到满足定理2-6的矩阵
利用Matlab，计算得
当 q =0.5时，得到 τ ≈0.6931，在时滞不超过0.6931时满足定理2-6的条件，系统（2-40）是全局渐近稳定的。利用Matlab计算得到该系统的平衡点为（-2.1675，2.1245） T ，平衡点的全局渐近稳定性，如图2-9和图2-10所示。
图2-9 系统（2-40）的相轨迹
图2-10 系统（2-40）的时间响应曲线
2.2节和2.3节都是通过建立合适的Lyapunov泛函和利用线性矩阵不等式的方法，得到基于线性矩阵不等式的时滞相关与时滞独立的稳定性判据。基于线性矩阵不等式的结果的特征是可以考虑神经元对神经网络的抑制和兴奋作用，并且可以有效地应用Matlab进行数值求解。