2.2 基于矩阵理论的具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性

本节将通过矩阵理论及构造合适的Lyapunov泛函，继续讨论具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性。

2.2.1 模型描述及预备知识

继续考虑形如式（2-1）比例时滞递归神经网络系统 ^[32]

设其中的非线性激活函数 f （ x （ t ））=（ f ₁ （ x ₁ （ t ））， f ₂ （ x ₂ （ t ）），…， f _n （ x _n （ t ））） ^T 满足系列条件

这里， l _i 是非负常数， i =1，2，…， n ，并令 L =diag（ l ₁ ， l ₂ ，…， l _n ）。这里的 f _i （·）， i =1，2，…， n 是Lipschitz连续，但不必是可微的、有界的、单调不减的。

设 为系统（2-17）的平衡点。令 z （ t ）= x （ t ） -x ^* ，由式（2-17）可得

其中， z （ t ）=（ z ₁ （ t ）， z ₂ （ t ），…， z _n （ t ）） ^T ， g （ z （ t ））=（ g 1（ z ₁ （ t ））， g 2（ z ₂ （ t ）），…， gn （ z _n （ t ））） ^T ， 并且注意到每个 f _j （·）满足条件式（2-18），因此每个 g _j （·）满足

令 y （ t ）= z （e ^t ），则式（2-19）等价地变换为

容易验证系统（2-19）和系统（2-21）有相同的平衡点，即 z ^* = y ^* = 0 。于是要证明系统（2-17）的平衡点 x ^* 的稳定性，只需证明系统（2-19）或系统（2-21）的零解的稳定性。

2.2.2 全局渐近稳定性

定理2-3 在条件式（2-18）下，若存在正定对角矩阵 M ={ m _i }∈ℝ ^{n × n} ， N ={ n _i }∈ℝ ^{n × n} 和常数 _β ＞0，使得

则系统（2-19）的平凡解是唯一的平衡点，并且它是全局渐近稳定的。

证明 系统（2-19）的平衡点 z ^* 满足

式（2-23）蕴含着若 g （ z ^* ）= 0 ，则 z ^* = 0 。假设 g （ z ^* ）≠ 0 。在式（2-23）两边同乘2 g ^T （ z ^* ） M ≠ 0 ，并再加上一项和减去一项 q ^-1 β g ^T （ z ^* ） Ng （ z ^* ），得

由于0< q ≤1，则 q ^-1 ≥1，由式（2-24），得

由式（2-20），得

即

-2 g ^T （ z ^* ） z ^* ≤-2 g ^T （ z ^* ） L ^-1 g （ z ^* ）

因此

再由引理1-4，得

结合式（2-25），式（2-26）和式（2-27），得

∀ g （ z ^* ）≠ 0 ，将上式改写为

由式（2-22），∀ g （ z ^* ）≠ 0 ，得

式（2-28）和式（2-29）矛盾，即假设 g （ z ^* ）≠ 0 不正确，也就是说 g （ z ^* ）= 0 ，于是，得 z ^* = 0 。因此，在式（2-22）的条件下，系统（2-19）的平凡解是式（2-17）的唯一解。

现在考虑如下正定的Lyapunov泛函

则 V （ t ）沿着系统（2-19）的轨迹的导数为

由引理1-4，得

根据式（2-17）和式（2-32），得

当 z （ t ）= 0 ， g （ z （ qt ））≠ 0 时，此时，由式（2-20），知 g （ z （ t ））= 0 。由式（2-31），得

当 g （ z （ t ））= 0 ，且 z （ t ）≠ 0 ， g （ z （ qt ））≠ 0 时，由式（2-31），得

当 g （ z （ t ））≠ 0 ， g （ z （ qt ））= 0 时，此时 g （ z （ t ））≠ 0 蕴含着 z （ t ）≠ 0 ，由式（2-31），得

由式（2-22），可知-2 ML ^-1 D + MA + A ^T M + q ^-1 β N ＜0，即 。

综上，由式（2-31），可知当且仅当 z （ t ）= g （ z （ t ））= g （ z （ qt ））= 0 时， =0，否则 。同时，在式（2-30）中，当 时， V （ t ）→∞，即 V （ t ）是径向无界的。因此，系统（2-19）的平凡解 z ^* = 0 或者等价地系统（2-17）的平衡点 x ^* 是全局渐近稳定的。

在定理2-3中，正定对角矩阵 M ={ m _i }∈ℝ ^{n × n} 和 N ={ n _i }∈ℝ ^{n × n} 可以改进为正定矩阵。具体见下面定理2-4。于是所得的稳定性条件的应用范围被扩展了。

定理2-4 在条件式（2-18）下，如果存在正定矩阵 M ={ m _ij }∈ℝ ^{n × n} ， N ={ n _ij }∈ℝ ^{n × n} 和常数 _β ＞0，使得

则系统（2-19）的平凡解是唯一的平衡点，并且它是全局渐近稳定的。

证明 系统（2-19）的平衡点唯一性的证明与定理2-3的相同。现在考虑如下正定的Lyapunov泛函

计算 V （ t ）沿着系统（2-19）的轨迹的时间导数，得

根据式（2-17）和式（2-32），得

余下部分同定理2-3的证明类似。并且当 时， V （ t ）→∞，即 V （ t ）是径向无界的。因此，系统（2-19）的平凡解 z ^* = 0 或者等价地系统（2-17）的平衡点 x ^* 是全局渐近稳定的。

定理2-3和定理2-4给出了系统（2-19）的全局渐近稳定性的时滞依赖的充分条件。下面给出系统（2-21）的全局渐近稳定性的时滞独立的充分条件。

定理2-5 在条件式（2-18）下，如果存在正定矩阵 M ={ m _ij }∈ℝ ^{n × n} ， N ={ n _ij }∈ℝ ^{n × n} 和常数 _β ＞0，使得

则系统（2-21）的平凡解是唯一的平衡点，并且它是全局渐近稳定的。

证明 为了证明系统（2-21）有唯一的平衡点，在式（2-23）两边同乘2 g ^T （ z ^* ） M ≠ 0 ，并再加上一项和减去一项 _β g ^T （ z ^* ） Ng （ z ^* ），得

系统（2-21）有唯一的平衡点的证明的剩余部分同定理2-3的类似，这里省略。

现在考虑如下正定的Lyapunov泛函

计算 V （ t ）沿着系统（2-21）对时间 t 的导数，得

余下部分同定理2-1的证明类似。因此，系统（2-21）的平凡解 y ^* = 0 或者系统（2-17）的平衡点 x ^* 是全局渐近稳定的。

注2-6 在定理2-5，若 L ^-1 = E ， β =1，则（2-34）变为

2 MD-MA-A ^T M-N-MBN ^-1 B ^T M ＞ 0

注2-7 由引理1-6（Schur补定理），定理2-3和定理2-4可以改写成如下线性矩阵不等式的形式：

定理2-5可改写成如下线性矩阵不等式的形式：

因此，定理2-3、定理2-4和定理2-5很容易应用Matlab的LMI工具箱来验证。

2.2.3 数值算例及仿真

例2-3 在系统（2-17）中，取

激活函数为 f _i （ x _i ）=sin（0.5 x _i ）+0.5 x _i ， i =1，2。显然 f _i （ x _i ）是无界的，并且满足条件式（2-18），且 l _i =1， i =1，2。取 M = N = L = E ， β =1，经计算，得

应用定理2-3或者定理2-4可知，这个系统有唯一的平衡点，并且它是全局渐近稳定的。应用Matlab计算该网络的平衡点为（0.0715，0.8715） ^T ，从相平面图可以观测到从不同初始值初始的解轨迹都收敛到平衡点如图2-5所示。从时间响应曲线也可以观测到不同初始值的解轨迹收敛到平衡点（0.0715，0.8715） ^T ，如图2-6所示。

另一方面，对于任何正数 pi ＞0， i =1，2，容易验证

因此文献［28］的稳定性准则不适用例2-3。

例2-4 在系统（2-17）中，取

激活函数为 f _i （ x _i ）=0.5（| x _i +1|-| x _i -1|）， i =1，2，3，且 l _i =1， i =1，2。由注2-6和注2-7知，文献［4-24］的结果不适合于例2-4。

取 M = N = L = E ， β =1，计算得

由定理2-5可知，这个系统有唯一的平衡点，应用Matlab计算该平衡点为（1.4905，0.5165，-0.1329） ^T ，并且它是全局渐近稳定的，该系统的从不同初值初始的解轨迹的相平面图和时间响应曲线如图2-7和图2-8所示。

另外，对于任何正数 p _i >0， i =1，2，3，容易验证

因此文献［28］的稳定性准则不适用例2-4。